Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

5.  решение линейных неравенств с одной переменной
35
Полученное неравенство при любом значении x превращается 
в неверное числовое неравенство 0 < –9.
В этой задаче ответ можно записать одним из способов:  решений 
нет либо ∅. 
◄
Каждое из неравенств, рассмотренных в примерах 1–5, сводилось 
к равносильному неравенству одного из четырех видов: ax > b, ax < b, 
ax b
l , ax b
m , где x — переменная, a и b — некоторые числа. Такие 
неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной.
Приведем таблицу обозначений и изображений изученных чис-
ловых промежутков:
Неравенство
Промежуток
Изображение
x > a
(a; +∞)
a
x < a
(–∞; a)
a
x a
l
[a; +∞)
a
x a
m
(–∞; a]
a
1.  сформулируйте правила, с помощью которых можно получить нера-
венство, равносильное данному.
2.  Какие неравенства называют линейными неравенствами с одной пе-
ременной?
3.  Как записывают, читают, называют и изображают промежуток, являю-
щийся  множеством  решений  неравенства  вида: 
x
 > 
a
? 
x
 < 
a
? 
x a
l ?
 
x a
m ?
4. решением неравенства является любое число. Как в таком случае за-
писывают, читают и называют промежуток, являющийся множеством 
решений неравенства?
Упражнения

 5.1.° Изобразите на координатной прямой промежуток:
1)  [
;
);
− +
5
×
 
2)  (
;
);
− +
5
×
 
3)  (
;
);
−
−
×
5  
4)  (
;
].
−
−
×
5

§ 1.  НераВеНстВа
36

 5.2.° Изобразите на координатной прямой и запишите промежу-
ток, который задается неравенством:
1) x < 8; 
2)  x m
−4;  
3)  x l
−1;  
4) x > 0.

 
5.3.°
 Изобразите на координатной прямой и запишите промежу-
ток, который задается неравенством:
1)  x m 0;  
2)  x l
1
3
;  
3) x > –1,4; 
4) x < 16.
5.4.°
  Укажите  наименьшее  целое  число,  принадлежащее  проме-
жутку:
1)  ( ;
);
6
+
×
 
2)  [ ;
);
6
+
×
 
3)  (
, ;
);
−
+
3 4
×
  4)  [
, ;
).
−
+
0 9
×
5.5.°
  Укажите  наибольшее  целое  число,  принадлежащее  проме-
жутку:
1)  (
;
);
−
−
×
4  
2)  (
;
, ];
−
−
×
6 2   3)  (
; ];
−
×
1  
4)  (
;
, ).
−
−
×
1 8
5.6.°
 Каким из данных промежутков принадлежит число –7:
1)  (
;
);
−
−
×
7  
2)  [
;
);
− +
7
×
 
3)  (
; ];
−
×
0  
4)  (
;
)?
−
−
×
6
5.7.°
 Какому из данных промежутков не принадлежит число 9:
1)  ( , ;
);
8 99
+
×
  2)  (
;
);
−
×
10  
3)  (
; ,
];
−
×
8 99   4)  [ ;
)?
9
+
×
5.8.° Решите неравенство:
1) 6x > 18; 
  6) –10x < 0; 
11) 4 – x < 5;
2) 
−2
10
x l
;  
  7)  2
1
1
4
4
5
x m
−
;  
12)  5 8
6
− x l ;
3) 
1
3
9
x
< ;  
  8) 
−
>
7
14
15
x
;  
13) 12 4
6
+ x
x
l
;
4)  0 1
0
,
;
x l
 
  9) 7x – 2 > 19; 
14) 36 – 2x < 4x;
5) 
3
4
24
x
>
;  
10)  5
16 6
x
+
m ;  
15) 
x
+
<
2
5
2.
5.9.°
 Решите неравенство:
1) 5x < 30; 
5) 
−
<
3
6
7
x
;  
  9) 13 6
23
−
−
x l
;
2) 
−
−
4
16
x m
;  
6) 
−
>
2
1
1
3
5
9
x
;  
10) 5 – 9x > 16;
3) 
2
3
6
x m ;  
7) 4x + 5 > –7; 
11)  3
2
7
x
x
+
−
m
;
4) 
−12
0
x l ;  
8)  9
2
− x
x
l
;  
12) 
x
−
> −
3
4
1.
5.10.° Решите неравенство:
1) 0x > 10; 
3) 0x > –8; 
5)  0
1
x l ;  
7)  0
0
x m ;
2) 0x < 15; 
4) 0x < –3; 
6)  0
2
x m ;  
8) 0x > 0.

5.  решение линейных неравенств с одной переменной
37
5.11.° Найдите наименьшее целое решение неравенства:
1)  5
40
x l
;  
2) 5x > 40; 
3) –2x < –3; 
4) –7x < 15.
5.12.°
 Найдите наибольшее целое решение неравенства:
1)  8
16
x m
− ;  
2) 8x < –16; 
3) 3x < 10; 
4) –6x > –25.
5.13.° При каких значениях a выражение 6a + 1 принимает отри-
цательные значения?
5.14.°
 При каких значениях b выражение 7 – 2b принимает поло-
жительные значения?
5.15.°  При  каких  значениях  m  значение  выражения  2 – 4m  не 
меньше –22?
5.16.°
  При  каких  значениях  n  значение  выражения  12n – 5  не 
больше –53?
5.17.° При каких значениях x имеет смысл выражение:
1)  4
20
x
+
;  
2)  5 14
− x;  
3) 
10
4
10
x
+
?
5.18.°
 Найдите область определения функции:
1)  f x
x
( )
;
=
−
13 2
 
2)  f x
x
x
( )
.
=
− − 1
5.19.° Решите неравенство:
1) 8x + 2 < 9x – 3; 
4)  3 11
3
6
−
−
+
y
y
l
;
2) 6 – 6x > 10 – 4x; 
5) –8p – 2 < 3 – 10p;
3)  6
8 10
8
y
y
+
−
m
;  
6)  3
1 1 5
5
m
m
−
+
m ,
.
5.20.°
 Решите неравенство:
1) 4 + 11x > 7 + 12x; 
3) 3x – 10 < 6x + 2;
2)  35
28 32
2
x
x
−
+
m
;  
4)  6
3 2
25
x
x
−
−
l
.
5.21.° При каких значениях c значения двучлена 9c – 2 не больше 
соответствующих значений двучлена 4c + 4?
5.22.°
 При каких значениях k значения двучлена 11k – 3 не меньше 
соответствующих значений двучлена 15k – 13?
5.23.° Решите неравенство:
1) 
4
3
2
11
x
x
+ < ;  
3) 
5
7
4
x
x
− > − ;
2) 
2
3
3
4
1
6
x
x
−
l ;  
4) 
x
x
8
1
4
− m .
5.24.°
 Решите неравенство:
1) 
y
y
6
5
4
1
−
< ;  
2) 
x
x
10
5
2
− > − .

§ 1.  НераВеНстВа
38
5.25.
•
 Решите неравенство:
1)  3 5 2
4
7 2
−
+
−
(
)
;
x
x
l
2)  6
3
1
2 5
x
x
x
−
−
+
(
)
;
m
3)  x
x
x
−
−
+
+
2
1
10 3
4
(
)
(
);
l
4) 2 (2x – 3,5) – 3 (2 – 3x) < 6 (1 – x);
5)  (
) (
) (
) (
);
x
x
x
x
+
−
−
+
1
2
3
3
m
6)  (
)
(
)
(
) ;
4
3
3
2
5
1
2
2
2
x
x
x
−
+
+
+
l
7) 
2
1
4
3
5
5
x
x
−
−
l
;
8) 
3
7
4
5
2
2
x
x
x
+
−
−
< ;
9)  (
) (
)
(
) ;
x
x
x
−
+
+
−
5
1
3
2
2
m
10) 
x
x
x
+
−
−
> +
1
2
3
3
6
2
;
11)  (
)
(
)
;
6
1
4
9
3
1
2
x
x x
−
−
− m
12) 
x
x
x
−
+
−
−
>
3
9
4
4
8
6
.
5.26.
•
 Найдите множество решений неравенства:
1) 3 (4x + 9) + 5 > 7 (8 – x); 
2)  (
) (
) (
) (
);
2
3
4
6
−
+
+
−
y
y
y
y
m
 
3) (y + 3) (y – 5) – (y – 1)
2
 > –16; 
4) 
3
7
5
2
6
3
1
x
x
−
−
− l
;
5) 
2
3
1
6
2
2
0
x
x
x
−
−
<
−
+
;
6) 
y
y
y
−
+
−
− <
1
2
2
1
8
2.
5.27.
•
 Найдите наибольшее целое решение неравенства:
1) 7 (x + 2) – 3 (x – 8) < 10;
2) (x – 4) (x + 4) – 5x > (x – 1)
2
 – 17.
5.28.
•
 Найдите наименьшее целое решение неравенства:
1) 
4
13
10
5 2
4
6 7
20
2
x
x
x
+
+
−
−
>
− ;
2)  (
) (
) (
) (
)
.
x
x
x
x
−
+ −
−
+
1
1
4
2
0
l
5.29.
•
 Сколько целых отрицательных решений имеет неравенство
x
x
x
x
−
−
<
+
+
−
7
4
11
30
12
5
3
?

5.  решение линейных неравенств с одной переменной
39
5.30.
•
 Сколько натуральных решений имеет неравенство
 
2 3
4
1
5
5
6
8
−
+
−
x
x
l
?
5.31.
•
 При каких значениях x верно равенство:
1) | x – 5 | = x – 5; 
2) | 2x + 14 | = –2x – 14?
5.32.
•
 При каких значениях y верно равенство:
1) 
y
y
+
+
=
7
7
1;  
2) 
6
6
1
−
−
=
y
y
?
5.33.
•
 При каких значениях a уравнение:
1) x
2
 + 3x – a = 0 не имеет корней;
2) 2x
2
 – 8x + 5a = 0 имеет хотя бы один корень?
5.34.
•
 При каких значениях b уравнение:
1) 3x
2
 – 6x + b = 0 имеет два различных корня;
2) x
2
 – x – 2b = 0 не имеет корней?
5.35.
•
  Лодка  проплыла  некоторое  расстояние  по  течению  реки, 
а  потом  вернулась  обратно,  потратив  на  всё  путешествие  не 
более пяти часов. Скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч, 
а  скорость  течения — 1  км/ч.  Какое  наибольшее  расстояние 
могла проплыть лодка по течению реки?
5.36.
•
 Берут четыре последовательных целых числа и рассматривают 
разность произведений крайних и средних чисел. Существуют 
ли такие четыре последовательных целых числа, для которых 
эта разность больше нуля?
5.37.
•
  В  коробке  находятся  синие  и  желтые  шары.  Количество 
синих шаров относится к количеству желтых как 3 : 4. Какое 
наибольшее  количество  синих  шаров  может  быть  в  коробке, 
если всего шаров не больше 44?
5.38.
•
 В саду растут яблони, вишни и сливы, количества которых 
относятся как 5 : 4 : 2 соответственно. Каким может быть наи-
меньшее количество вишен, если всего деревьев в саду не ме- 
нее 120?
5.39.
•
 Стороны треугольника равны 8 см, 14 см и a см, где a — нату-
ральное число. Какое наибольшее значение может принимать a?
5.40.
•
 Сумма трех последовательных натуральных четных чисел не 
меньше 85. Найдите наименьшие три числа, удовлетворяющие 
этому условию.
5.41.
•
 Сумма трех последовательных натуральных чисел, кратных 5, 
не превышает 100. Какие наибольшие три числа удовлетворяют 
этому условию?

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: