Хаймулданов ерлан сеилханович


ҚОСЫМША А    Қысқаша көбейту



Pdf көрінісі
бет70/70
Дата17.05.2022
өлшемі3,24 Mb.
#34749
1   ...   62   63   64   65   66   67   68   69   70
Байланысты:
Хаймулданов-Е-С-диссертациясы

ҚОСЫМША А 
 
Қысқаша көбейту 
формулалары 
Дәреженің 
қасиеттері 
Арифметикалық түбір және оның 
қасиеттері 
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2

 
(a-b)
2
= a
2
-2ab+b
2

 
a
2
-b
2
=(a-b)(a+b), 
 
(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3

 
(a-b)
3
=a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3

 
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
), 
 
a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
), 
 
a
2
+bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
), 
мұндағы x және x
2
 
ax
2
+bx+c=0 теңдеуінің 
түбірлері. 
x
n
-a
n
=(x-a)(x
n-1
+ax
n-
2
+a
2
x
n-3
+…+a
n-2
x+a
n-1
)
 
a
0
=1 
 
a
m
∙a
n
=a
m+n
 
(a∙b)
m
=a
m
∙b
m
 
(
𝑎
𝑏
)
−𝑚
= (
𝑏
𝑎
)
𝑚
 
 
a
m
:a
n
= a
m-n 
(
𝑎
𝑏
)
𝑚
=
𝑎
𝑚
𝑏
𝑚
 
𝑎
1
𝑛
= √𝑎
𝑛
 
 
(a
m
)
n
=a
mn
 
𝑎
−𝑛
=
1
𝑎
𝑛
 
𝑎
𝑚
𝑛
= √𝑎
𝑚
𝑛
 
Егер a≥0 болса, онда  √𝑎
𝑛
= 𝑥; 
1) a≥0; 2) xn=a болатынын білдіреді 
(арифметикалық түбірдің анықтамасы) 
 
√𝑎𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛
∙ √𝑏
𝑛
,   
 
( √𝑎
𝑛
)
𝑘
= √𝑎
𝑘
𝑛
, 
 
√𝑎
𝑘𝑚
𝑛𝑚
= √𝑎
𝑘
,
𝑛
 
 

𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
, 
 
√ √𝑎
𝑘
𝑛
= √𝑎,
𝑛𝑘
 
 
√𝑎
2
= |𝑎| 
Арифметикалық 
прогрессия 
Геометриялық прогрессия 
a
n+1
=a
n
+d 
(арифметикалық 
прогрессияның 
анықтамасы). 
a
n
=a
1
+d(n-1) (n-ші 
мүшесінің формуласы). 
 
𝑎
𝑛
=
𝑎
𝑛−1
+ 𝑎
𝑛+1
2
 
 
𝑆
𝑛
=
𝑎
1
+ 𝑎
𝑛
2
∙ 𝑛
=
2𝑎
1
+ 𝑑(𝑛 − 1)
2
∙ 𝑛 
 
(алғашқы n мүшелерінің 
қосындысының 
формуласы). 
b
n+1
=b
n
∙qb
1
≠0, q≠0,  
(геометриялық прогрессияның анықтамасы), 
b
n
=b
1
∙q
n-1
 (n-ші мүшесінің формуласы), 
𝑏
𝑛
2
= 𝑏
𝑛−1
∙ 𝑏
𝑛+1
, 
 
𝑆
𝑛
=
𝑏
𝑛
∙ 𝑞 − 𝑏
1
𝑞 − 1
=
𝑏
1
(𝑞
𝑛
− 1)
𝑞 − 1
 
(алғашқы n-мүшесінің қосындысының формуласы). 
𝑆 =
𝑏
1
1 − 𝑞
; |𝑞| < 1 
(болғандағы шексіз геометриялық прогрессияның 
формуласы). 
Туынды 
Алғашқы функция және интеграл 
𝑦

= 𝑓

(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
∆𝑓
∆𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑥
 
(туындының 
анықтамасы). 
Егер 𝐹

(𝑥) = 𝑓(𝑥) болса, онда F(𝑥) 𝑓(𝑥) функциясының 
алғашқы функциясы болады
1. Алғашқы функцияларды есептеудің формулалары: 
Егер F(𝑥) 𝑓(𝑥)-тің алғашқы функциясы болса, ал 𝐻(𝑥) ℎ(𝑥)-


123 
 
 
 
1. Дифференциалдау 
ережелері: 
(u
'
+v
'
)=u
'
+v
'
       (cu)
'
=cu
'

(u·v)
 '
=uv
'
+uv
'
,    
(
𝑢
𝑣
)

=
𝑢

𝑣−𝑢𝑣

𝑣
2
,       
(f(g(x)))
 '
=f
''
(g(x))·g
'
(x) 
2. Дифференциалдау 
формулалары:  
𝑐

= 0,    (𝑠𝑖𝑛𝑥)

= 𝑐𝑜𝑠𝑥, 
(𝑘𝑥 + 𝑏)

= 𝑘,     (𝑐𝑜𝑠𝑥)

= −𝑠𝑖𝑛𝑥, 
(𝑥
𝑛
)

= 𝑛𝑥
𝑛−1
,       (𝑡𝑔𝑥)

=
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
, 
(𝑒
𝑥
)

= 𝑒
𝑥
,      (𝑐𝑡𝑔𝑥)

= −
1
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥
, 
(𝑎
𝑥
)

= 𝑎
𝑥
𝑙𝑛𝑎,     
(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)

= (−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)

=
1
√1 − 𝑥
2
, 
(𝑙𝑛𝑥)

=
1
2

(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)

= (−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥)

=
1
1 + 𝑥
2
, 
(𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑥)

=
1
𝑥𝑙𝑛𝑎

3. 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
функциясының 
графигіне жүргізілген 
жанаманың теңдеуі: 
𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓

(𝑎)(𝑥 − 𝑎), 
мұндағы  x=a-жанасу 
нүктесінің абсциссасы. 
тің алғашқы функциясы болса, онда 
𝐹(𝑥) + 𝐻(𝑥) − 𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥)-тің алғашқы функциясы болады; 
𝑘𝐹(𝑥) 𝑘𝑓(𝑥)- тің алғашқы функциясы болады; 
1
𝑘
𝐹(𝑘𝑥 + 𝑏) − 𝑓(𝑘𝑥 + 𝑏)-ның алғашқы функциясы болады; 
2. Алғашқы функциялардың таблицасы. 
Функция 
Алғашқы функция 
𝑓(𝑥) = 𝑘 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑛
(𝑛 ≠ −1) 
𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
𝑓(𝑥) = 𝑒
𝑥
 
𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥
 
𝐹(𝑥) = 𝑘𝑥 
 
𝐹(𝑥) =
𝑥
𝑛+1
𝑛 + 1
 
𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥| 
𝐹(𝑥) = 𝑒
𝑥
 
𝐹(𝑥) =
𝑎
𝑥
𝑙𝑛𝑎
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝑓(𝑥) =
1
𝑠𝑖𝑛
2
𝑥
 
𝑓(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝑥
 
𝑓(𝑥) =
1
√1 − 𝑥
2
 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥
2
 
𝐹(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
𝐹(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 
 
𝐹(𝑥) = −𝑐𝑡𝑔𝑥 
 
𝐹(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 
 
𝐹(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 
 
𝐹(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 
 
 3. 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏)
𝑏
𝑎
-Ньютон-Лейбниц формуласы. 
4. OX осімен, x=a, x=b түзетулермен және теріс емес y=f(x) 
функциясының [𝑎; 𝑏] кесіндісіндегі графигімен шектелген 
қисық сызықты трапецияның ауданы: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
-
формуласымен анықталады. 
5. Анықталмаған интегралдар. 
(С кез келген тұрақты сан) 
∫ 𝑥
𝑎
𝑑𝑥 =
𝑥
𝑎+1
𝑎 + 1
+ 𝐶,    𝑎 ≠ −1; 

𝑑𝑥
𝑥
= 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶; 
∫ 𝑎
𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎
𝑥
𝑙𝑛𝑎
+ 𝐶,    𝑎 > 1, 𝑎 ≠ 1; 
∫ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒
𝑥
+ 𝐶; 
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶; 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶. 
Логарифмдер 
Тригонометрия 
log
a
b=x  a
x
=b екендігін 
көрсетеді; 
мұндағы a>0, a≠1 
1. sin(-x)=-sinx, cos(-x)=cosx, tg(x)=-tgx, ctg(-x)=-ctgx, 
sin(x+2pk)=sinx, k ϵ Z, cos(x+2pk)=cosx, k ϵ Z, tg(x+2pk)=tnx, k 
ϵ Z, ctg(x+2pk)=ctgx, k ϵ Z 


124 
 
 
 
(Анықтама). 
lgb log
10
b-қысқаша 
жазылуы (ондық 
логарифм). 
lg1=0, lg10=1, 
lg100=2,…,lg10
n
=n 
lg0,1=-1, lg0,01=-
2,…,lg10
-n
=-n 
lnx  log
e
x-тің қысқаша 
жазылуы (натурал 
логарифм), 
e=2,7182818284590…; 
lne=1, ln1=0 
a
log
a
b
=b, 10
lgb
=b, elnb=b,  
log
a
(x
1
·x
2
)=log
a
x
1
+log
a
x
2
,  
𝑙𝑜𝑔
𝑎
(
𝑥
1
𝑥
2
) = 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑥
1
− 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑥
2
, (𝑥
1
> 0, 𝑥
2
> 0). 
𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑥
𝑛
=
𝑛𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑥; 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑏 =
𝑙𝑜𝑔
𝑐
𝑏
𝑙𝑜𝑔
𝑐
𝑎
 
(жаңа негізге көшу 
формуласы). 
2. Кейбір бұрыштардың тригонометриялық функцияларының 
мәндері: 
 
Функция 
Аргумент 
 

𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
𝝅
𝟐
 
π 
𝟑𝝅
𝟐
 
2π 
 
sinα 
 

1
2
 
√2
2
 
√3
2
 
 

 

 

 

 
cosα 
 

√3
2
 
√2
2
 
1
2
 
 

 
-1 
 

 

 
tgα 
 

√3
3
 
 

 
√3 
 

 

 

 

 
ctgα 
 

 
√3 
 

√3
3
 
 

 

 

 

 
Ескерту: Бұрыштық градустық және радиандық 
өлшеулерінің арасындағыбайланыс: 1
0
=
𝜋
180
0
 рад. 
 
 
Бір ғана аргументтің 
тригонометриялық 
функцияларының 
арасындағы 
қатынастар 
 
 
Қосу формулалары 
 
sin
2
α+cos
2
α=1, 𝑡𝑔𝛼 =
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
, 𝑐𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼
, 
1 + 𝑡𝑔
2
𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼
,                 
1 + 𝑐𝑡𝑔
2
𝛼 =
1
𝑠𝑖𝑛
2
𝛼
 
sin(α±β)=sinα∙cosβ±cosα∙sinβ, 
cos(α±β)=cosα∙cosβsinα∙sinβ, 
𝑡𝑔(𝛼 ± 𝛽) =
𝑡𝑔𝛼±𝑡𝑔𝛽
1∓𝑡𝑔𝛼∙𝑡𝑔𝛽
.  
Кері тригонометриялық функциялар 

𝜋
2
≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤
𝜋
2
, 0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 𝜋,  
 

𝜋
2
< 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 <
𝜋
2
, 0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 < 𝜋,  
 
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(−𝑥) = −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥;  
 
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(−𝑥) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥.  
Дәрежелерді төмендету 
формулалары 
𝑠𝑖𝑛
2
𝛼 =
1−𝑐𝑜𝑠2𝛼
2
,  
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼 =
1+𝑐𝑜𝑠2𝛼
2
.  
Тригонометриялық 
функциялардың 
қосындысын 
көбейтіндіге түрлендіру 
 
Тригонометриялық функциялардың таңбалары
 


125 
 
 
 
𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 2𝑠𝑖𝑛
𝛼+𝛽
2

𝑐𝑜𝑠
𝛼−𝛽
2
,  
𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
2𝑐𝑜𝑠
𝛼+𝛽
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝛼−𝛽
2
,  
𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 2𝑠𝑖𝑛
𝛼−𝛽
2

𝑐𝑜𝑠
𝛼+𝛽
2
,  
𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
−2𝑠𝑖𝑛
𝛼+𝛽
2
∙ 𝑠𝑖𝑛
𝛼−𝛽
2
,  
𝑡𝑔𝛼 ± 𝑡𝑔𝛽 =
𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽)
𝑐𝑜𝑠𝛼∙𝑐𝑜𝑠𝛽
,  
𝑐𝑡𝑔𝛼 ± 𝑐𝑡𝑔𝛽 =
𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽)
𝑠𝑖𝑛𝛼∙𝑠𝑖𝑛𝛽
.  
 
 
Функция 
 
Ширек 
І 
ІІ 
ІІІ 
ІV 
sin 




cos 




tg 




ctg 




 
Қос бұрышты 
формулалары 
 
Келтіру формулалары 
sin2α=2sinα∙cosα, 
 
cos2α=cos
2
α-sin
2
α, 
 
𝑡𝑔2𝛼 =
2𝑡𝑔𝛼
1−𝑡𝑔
2
𝛼
.  
 
 
Функция 
 
𝜋
2
− 𝛼 
𝜋
2
+ 𝛼
 
𝜋 − 𝛼
 
𝜋 + 𝛼
 
3𝜋
2
− 𝛼
 
3𝜋
2
+ 𝛼
 
2𝜋 − 𝛼
 
sint 
cosα 
cosα 
sinα 
-sinα 
-cosα 
- cosα 
- sinα 
cost 
sinα 
- sinα 
-cosα 
-cosα 
- sinα 
sinα 
cosα 
tgt 
ctgα  - ctgα 
- tgα 
tgα 
ctgα 
- ctgα 
tgα 
ctgt 
tgα 
- tgα 
- ctgα 
ctgα 
tgα 
- tgα 
- ctgα 
 
Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу 
1. 
𝑠𝑖𝑛𝑥 = |𝑎| ≤ 1, 𝑥 = (−1)
𝑛
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍; 
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝛼, |𝑎| ≤ 1, 𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝛼 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;  
𝑡𝑔𝑥 = 𝛼, 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝛼 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;  
𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝛼, 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝛼 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.  
2. а-ның дербес мәндеріндегі кейбір қарапайым тригонометриялық теңдеулердің 
шешулері: 
Теңдеу 
Теңдеудің түбірлері 
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1   
𝑥 =
𝜋
2
𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 
𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1 
𝑥 = −
𝜋
2
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 
𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 
𝑥 =
𝜋
2
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1 
𝑥 = (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍  
tgx=1 
𝑥 =
𝜋
4
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
tgx=0 
𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
tgx=-1 
𝑥 = −
𝜋
4
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
ctgx=1 
𝑥 =
𝜋
4
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
ctgx=0 
𝑥 =
𝜋
2
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
ctgx=-1 
𝑥 =
3
4
𝜋 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍  
 
Алгебраның негізгі заңдары 
Пропорциялар 


126 
 
 
 
Кез келген a, b, c нақты сандары үшін 
төмендегі теңдіктер дұрыс болады: 
a+b=b+a 
(қосудың ауыстырымдылық заңы) 
a+(b+c)=(a+b)+c 
a+0=a 
a+(-a)=0 
ab=ba 
(көбейтудің ауыстырымдылық заңы) 
a(bc)=(ab)c 
(көбейтудің терілімділік заңы) 
a(b+c)=ab+ac 
(көбейтудің қосуға қатысты 
үлестірілімділік заңы) 
a∙1=a 
𝑎 ∙
1
𝑎
= 1  (𝑎 ≠ 0)  
a∙1=a 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
;   𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐  
Қалдықпен бөлу 
Егер m, n, p, r-натурал сандар және m-бөлінгіш, 
n-бқлгіш, p-бөлінді, r-қалдық болса (r
m=np+r  
Сан теңсіздіктері 
Егер a>b болса, онда b
Егер a>b және bc. 
Егер a>b болса, онда a+c>b+c. 
Егер a>b және c
Егер a>b және c>d болса, онда a+c>b+d. 
Егер a>0, b>0, c>0, d>0 және a>b, c>d болса, 
онда ac>bd. 
Егер a>b және c
Егер a>b>0 және n-натурал сан болса, онда 
a
n
>b
n

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


127 
 
 
 
ҚОСЫМША Ә 
 
Тікбұрышты үшбұрыш 
Тікбұрышты үшбұрыш - бұл бір 
бұрышы тік (яғни 90 градус) 
болып келетін үшбұрыш.  
Тікбұрышты үшбұрыштың 
қабырғалары мен бұрыштарының 
арақатынасы тригонометрияға 
негізделеді. 
a
2
 + b

= c

a = c sin 
a = b tg 
b = c cos 
a және b катеттердің ұзындығы, ал 
c  гипотенузаның ұзындығы. 
Тікбұрышты 
үшбұрыштың ауданы 
екі катетінің 
көбейтіндісінің 
жартысына тең. Яғни, 
𝑠 =
1
2
𝑎𝑏 
 
Синустар теоремасы: 
Синустар теоремасы - үшбұрыш 
қабырғаларының ұзындығы мен 
оларға қарсы бұрыштардың 
шамасы арасындағы тәуелділікті 
белгілейтін теорема. Теореманың 
екі нұсқасы бар: синустардың 
әдеттегі теоремасы және 
синустардың кеңейтілген 
теоремасы. 
 
 
Үшбұрыштың 
қабырғалары қарсы 
бұрыштардың синусына 
пропорционалды: 
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝛾
 
Еркін үшбұрыш үшін: 
𝑎
𝑠𝑖𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝛾
= 2𝑅 
мұнда a, b, c – 
үшбұрыштың 
қабырғалары, α, β, γ – 
оларға сәйкес 
бұрыштары, ал R – 
үшбұрыштың 
жанындағы шеңбердің 
радиусы. 
 
Косинустар теоремасы:   
Косинустар теоремасы – еркін 
жазық үшбұрыштарға Пифагор 
теоремасын қорытатын  евклидтік 
геометрия теоремасы. 
а,b,c қабырғалары және а қарама-
қарсы α бұрышы бар жазық 
үшбұрыш үшін әділ қатынас: 
a

= b

+ c

− 2 bc cos 
Косинустар теоремасы 
үшбұрыш бұрышының 
косинусын табу үшін 
пайдаланылуы мүмкін: 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑏
2
+ 𝑐
2
− 𝑎
2
2𝑏𝑐
 
Атап айтқанда, 
Егер 𝑏
2
+ 𝑐
2
− 𝑎
2
> 0 ,  
α бұрышы - сүйір болса. 
Егер 𝑏
2
+ 𝑐
2
− 𝑎
2
= 0 ,  
α бұрышы - тік болса. 
Егер 𝑏
2
+ 𝑐
2
− 𝑎
2
< 0 ,  
α бұрышы - доғал болса. 
 
Фигуралардың ауданы 


128 
 
 
 
Тіктөртбұрыш: 
 
 
𝑆 = 𝑎𝑏 
 
𝑆 =
1
2
𝑑
2
𝑆𝑖𝑛𝛼 
d
 
-  диагональ 
 - диагональдардың 
қиылысу бұрышы 
 
Параллелограмм: 
 
 
 
 
 
 
𝑆 = 𝑎ℎ
𝑎
 
 
𝑆 = 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼 
 
 
 
 
 
𝑆 =
1
2
𝑑
1
𝑑
2
𝑠𝑖𝑛𝛾 
d
 
-  диагональ 
γ -  диагональ арасындағы 
бұрыш 
Трапеция: 
 
 
 
 
 
𝑆 =
𝑎+𝑏
2
ℎ 
𝑆 = 𝑝𝑟 
 
𝑆 = 𝑚ℎ  
 
 
 
 
 
 
𝑆 =
1
2
𝑑
1
𝑑
2
𝑠𝑖𝑛𝛾  
 
Шеңбер: 
 
 
 
 
 
 
𝑆 = 𝜋𝑅
2

𝑆 = 𝜋
𝑑
2
4
 
 
 
 
 
 
 
𝑆 =
𝜋𝑅
2
360
°
𝛼 
 
𝑆 =
𝜋𝑅
2
360
°
𝛼 ± 𝑆

  
Үшбұрыш: 
 
1
2
𝑎𝑏  
𝑆 =
𝑆 =
1
2
𝑎ℎ
𝑎
  
𝑆 =
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛾 


129 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), 
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
 
𝑆 = 𝜋𝑟, 
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
 
𝑆 =
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
   
Шеңберге іштей сызылған 
үшбұрыштың ауданы. 
𝑆 =
1
2
𝑃𝑟 
онда r- шеңбердің 
үшбұрышына сызылған 
радиусы ,  
P- үшбұрыштың 
периметрі ,  
S- оның ауданы. 
 
Шеңберге сырттай сызылған 
үшбұрыштың ауданы 
𝑆 =
𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐
4𝑅
 
онда a, b, c
үшбұрыштың жақтары ,  
S-оның ауданы ,  
R- сызылған шеңбердің 
радиусы. 
 
 
 
Шаршы 
 
 
𝑆 = 𝑎
2

 
𝑆 =
𝑑
2
2
 
 
 
 
 
 
 
Ромб 
 
𝑆 = 𝑎ℎ,  
 
𝑆 = 𝑎
2
𝑆𝑖𝑛𝛼, 
 
𝑆 =
1
2
𝑑
1
𝑑
2

 
𝑆 = 𝜋𝑟 
 
Денелердің көлемі және олардың беттерінің ауданы 
Көлемі 
Толық беті 
Сурет 
Параллелепипед 


130 
 
 
 
 
𝑉 = 𝑆
таб
ℎ  
 
𝑆 = 2𝑆
таб
+ 𝑆
жан
  
S
осн
 – табанының 
ауданы  
h – биіктігі 
 
Тікбұрышты параллелепипед 
 
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐  
 
𝑆 = 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) 
 
Куб 
 
𝑉 = 𝑎
3
  
а –  кубтың қабырғасы 
 
𝑆 = 6𝑎
2
 
𝑑 = 𝑎√3 
d –  диагональ 
ұзындығы 
 
Призма 
 
𝑉 = 𝑆
таб
ℎ  
𝑆 = 2𝑆
таб
+ 𝑆
жан
 
S
таб
 –  табанының 
ауданы   
h – биіктігі 
 
Үшбұрышты призма 
 
𝑉 =
𝑎
2
4
𝐻√3  
𝑆
таб
= 3𝑎𝐻 
𝑆
толы
=
𝑎
2
(𝑎√3 + 6𝐻) 
 
Алтыбұрышты призма 
 
𝑉 =
3𝑎
2
4
𝐻√3  
 
𝑆
таб
= 6𝑎𝐻  
 
𝑆
толық
= 3𝑎(𝑎√3 + 2𝐻) 
 
Пирамида 
 
𝑉 =
1
3
𝑆
таб
ℎ  
 
𝑆 = 𝑆
таб
+ 𝑆
б.б.
  
 


131 
 
 
 
Тетраэдр 
 
𝑉 =
𝑎
3
12
√2  
𝑆
таб
=
3𝑎
2
4
√3 
𝑆
толық
= 𝑎
2
√3 
 
Үшбұрышты пирамида 
 
𝑉 =
𝑎
3
𝐻
4√3
  
𝑆
таб
=
3
2
𝑎𝐻 
𝑆
толық
=
𝑎
4
(𝑎√3 + 6𝐻) 
 
Төртбұрышты пирамида 
 
𝑉 =
1
3
𝑎
2
ℎ  
 
𝑆
таб
= 2𝑎ℎ  
𝑆
толық
= 𝑎(𝑎 + 2ℎ) 
 
Алты бұрышты пирамида 
 
𝑉 =
𝑎
2
2
𝐻√3  
𝑆
таб
= 3𝑎ℎ 
𝑆
толық
=
3
2
𝑎(𝑎√3 +
+ 2ℎ) 
 
Цилиндр 
𝑉 = 𝜋𝑅
2
ℎ  
R –  негіз радиусы 
h – биіктігі 
 
𝑆 = 𝑆
б.б.
+ 2𝑆
таб
= 
= 2𝜋𝑅
2
+ 2𝜋𝑅ℎ 
 
Конус 
 
 
𝑉 =
1
3
𝑆
таб
ℎ  
 
𝑆 = 𝑆
б.б.
+ 𝑆
таб

= 𝜋𝑅
2
+ 𝜋𝑅𝐿  
L –  жасаушысы 
𝐿 = √𝑅
2
+ ℎ
2
  
 
Шар 


132 
 
 
 
 
                                               
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟
3
=
1
6
𝜋𝐷
3
  
 
 
𝑆 = 4𝜋𝑟
2
𝜋𝐷
2
  
 


133 
 
 
 
ҚОСЫМША Б 
 
 


134 
 
 
 
 
 
 


135 
 
 
 
 
 
 


136 
 
 
 
 


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   62   63   64   65   66   67   68   69   70




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет