И. К. Бейсембетов ректор Зам главного редактора
● Физика–математика ғылымдары
жүктеу/скачать 51,43 Mb. Pdf көрінісі
|
● Физика–математика ғылымдары
ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016 479
где t s
, получим рекуррентное соотношение для переходных вероятностей: ) 0 , , ' ' ( ) 0 , ' ' , ' ( ) 0 , , ' ( h h n h h i h h in (6) Но поскольку процесс непрерывен по глубине проникновения и частица всегда находится на какой-то глубине, то вместо суммы имеем интеграл, который берется по всей глубине от h' до h. Таким образом, получаем следующие соотношения:
h h h k n dh h h k h h n '
), 0 , , ' ' ( 1 0 ' ' ) 0 , ' ' , ' ( ) 0 , , ' (
(7) ), ,
( ) , , ( ) , , ( 0 0 0 1 0
h h h d h h h h k h h k n n ). 1 ( 1 n k (8) Или в более простой форме: 0 0 1 0 0 0 ) , , ( ) , , ( ) , , ( h d h h h h h h n h h n , (9)
h n n dh h h h h h h ' 0 0 0 0 1 0 ' ' , , ' ' , '' , ' , , ' , (10) где
0 , , ' h h n - вероятность испытать частице n соударений, достигнув глубины h - вероятность перехода за n шагов;
cos
0 ; 0 1 , ' ' , ' h h n - вероятность испытать частице (n-1) соударение - вероятность перехода за (n-1) шаг; 0 0 , , ' ' h h - вероятность того, что частица достигнет глубины h, не испытав при этом ни одного соударения - вероятность перехода за 1 шаг; 0 ' ' dh - вероятность того, что частица испытает соударение на глубине h''. Из (1) получим при n=0 вероятность того, что частица достигнет глубины h, не испытав при этом ни одного соударения:
'
0 0 , , ' h h a e e h h , (11) где
0 '
h h a . Используя рекуррентное соотношение (10), получим вероятность того, что частица достигнет глубины h, испытав при этом одно, два, … n соударений для случая, когда
и
не изменяются после столкновения [1,2,7]: 0 0 0 ' exp ! 1 ' , , ' h h n h h h h n n . (12) В нашем случае цепь Маркова неоднородна, поскольку переходные вероятности
... , 1 , 0
,
меняются на каждом шаге k, интенсивность потока не зависит от глубины проникновения, т.е. все потоки, переводящие систему S из одного состояния в другое, являются простейшими стационарными пуассоновскими. Данная цепь Маркова не имеет стационарного режима, поскольку не обладает эргодическим свойством. Простейшая КВФ в предельном случае, а именно, при
0 '
h переходит в распределение Пуассона. Рассмотрим случай, когда после соударения частица не изменяет направление своего движения, интенсивность потока зависит от времени, а следовательно, и от глубины проникновения, т.е. [8]:
) ' ' ' ( 1 1 ) ( 0 0 kh E a h . (13) Но поскольку процесс непрерывен по глубине проникновения и частица всегда находится на какой-то глубине, то вместо суммы имеем интеграл, который берется по всей глубине от h' до h. Таким образом, получаем следующие соотношения: h h k n k n kh E a E h h E h h E h h ' 0 0 0 1 0 0
' dh'
1 ) ' ' ' ( 1 1 ) , , '' ( ) , '' , ' ( ) , , ' (
, (14) ● Физико–математические науки
№2 2016 Вестник КазНИТУ 480
h k k n n kh E a E h h E h h E h h ' 0 0 0 0 1 0
' dh'
1 ) ' ' ' ( 1 1 ) , , ' ' ( ) , ' ' , ' ( ) , , ' ( (15) Или в более простой форме:
'' 1 ) '' ' ( 1 1 ) , , '' ( ) , '' , ' ( , , ' ' 0 0 0 0 0 1 0 dh kh E a E h h E h h E h h h h n n
, (16) где h', h - глубины генерации и регистрации налетающего иона, E 0 - первоначальная энергия иона, 0 , , ' E h h n - вероятность испытать частице n соударений, достигнув глубины h,
1 , '' , '
h h n - вероятность испытать частице n-1 соударение, пройдя глубину от h' до h'',
0 , , '' E h h - вероятность того, что частица достигнет глубины h, не испытав при этом ни одного соударения,
, a, E 0 ', k – параметры аппроксимации. Откуда имеем выражение КВФ для ионов в виде [8]: ) ,
( 0
h h n
=
! 1 l kh E h k E 0 0 0 exp h h *
h h ak kh E h k E ) ( ln 0 0 , (17) n - число взаимодействий. Энергетический спектр первично-выбитых атомов вычисляется по формуле [8]:
1 0 2 2 ) ( 1 , 2 , 1 2 exp ) ( , 2 , 0 n n n h k h h h d h E E w h h h n h E E W , (19) где
(h') – каскадно-вероятностная функция в модифицированном виде; 2 1
– пробеги на ион – атомное и атом – атомное соударение, соответственно;
– целое число, большее единицы; n 0 ,
1 – начальное и конечное значение числа взаимодействий из области определения каскадно- вероятностной функции, h E E w , , 2 1 - спектр ПВА в элементарном акте, E 2 – энергия первично- выбитого атома. Выражение концентрации вакансионных кластеров при ионном облучении твердого тела имеет вид [8]: max 2 2 ) , 2 , 0 ( ) , 0 ( E c E dE h E E W h E k C , (20)
max
2 E – максимально возможная энергия, приобретенная атомом. Формулу (19) также можно записать в виде уравнения Колмогорова-Чэпмена, налетающей частицей является ион. Очевидно, что процесс взаимодействия ионов с твердым телом, образования первично-выбитых атомов также описывается цепью Маркова. В выражении для спектра первично-выбитых атомов (19) под знаком интеграла содержится произведение вероятностей. Перечислим их: 1.
n h ak h k E E h ak h k E E n n h n 0 0 ln 0 exp 0 1 0 0 0 ! 1 ) ( =
ik ,
(21)
– вероятность того, что ион достигнет глубины h' после (n-1)-го соударения при условии, что произошло предыдущее событие, а именно: на некоторой глубине была генерирована первичная частица – ион. 2.
km h E E w ' , , 2 0 – условная вероятность того, что образовался первично-выбитый атом с энергией Е
от иона с энергией Е 0 после n-кратного соударения. ● Физика–математика ғылымдары
ҚазҰТЗУ хабаршысы №2 2016 481
3. ms h h 2 2 / ' exp
– условная вероятность того, что ПВА, образованный на глубине h в n- кратном взаимодействии иона с веществом достигнет глубины h. Спектр ПВА ) ,
( 2 0 h E E W есть вероятность того, что от 1-го иона с энергией 0
образуется определенное количество вторичных частиц с энергией 2
на глубине h. В общем случае все функции ms km ik
, , представляют собой вероятности перехода для цепи Маркова, соответственно из i-го состояния в k-е; из k-го в m-е; из m-го в s-е. Тогда уравнение Колмогорова-Чэпмена запишется в следующем виде:
m ms km ik ij , (22)
ij
– вероятность перехода из i-го состояния в j-е. Поскольку состояния системы непрерывны по глубине, то выражение (22) преобразуется в следующее: 1 0 0 2 0 ) , , ( n n h ms km ik ij h E E W
(23)
ферментативную активность, кинетику Михаэлиса-Ментена, можно рассматривать как цепь Маркова, где на каждом временном шаге реакция протекает в некотором направлении. В то время как кинетика Михаэлиса-Ментен довольно проста, гораздо сложные реакционные сети также могут быть смоделированы с помощью цепей Маркова [9]. В физике рост (и состав) сополимеров могут быть смоделированы с использованием цепей Маркова. На основе соотношений реактивности мономеров, которые составляют растущую полимерную цепь, состав цепи может быть рассчитан [10]. Цепи Маркова используются в области финансов и экономики, чтобы смоделировать различные явления, в том числе цены на активы и обвала рынка [11,12]. В нашей работе показана связь процессов взаимодействия частиц с веществом и радиационного дефектообразования в твердых телах, облученных ионами, с цепями Маркова и Марковскими процессами, т.е. получены рекуррентные соотношения для каскадно-вероятностных функций, выражения для спектров первично- выбитых атомов и концентрации радиационных дефектов из цепей Маркова. Аналогично можно показать связь процессов радиационного дефектообразования в твердых телах, облученных электронами, протонами, альфа-частицами с Марковскими процессами и цепями Маркова. Таким образом, процесс взаимодействия частиц с твердым телом и образования радиационных дефектов в твердых телах, облученных заряженными частицами можно описать цепями Маркова и Марковскими процессами. В отличие от других, наши исследования используются в радиационной физике твердого тела. Также можно использовать цепи Маркова и Марковские процессы в космических исследованиях.
жүктеу/скачать 51,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|