1.3.Көрсеткіштік функция және көрсеткіштік функцияның графигі.
Көрсеткіштік функция , экспоненциялық функция, экспонента – y=ezexpz функциясы [мұндағы е (натурал логарифмдердің негізі) – непер саны]. z-тің кез келген (нақты немесе комплекс) мәні үшін ол ez=формуласы бойынша анықталады. z=1 болса, К. ф-ның мәні e=2,7182... болады. К. ф-ның негізгі қасиеттері: және z1 мен z2-нің кез келген мәндері үшін дұрыс орындалады. Кез келген n саны үшін z ұмтылғанда К. ф. xn дәрежелік функцияға қарағанда жылдамырақ өседі де, z– ұмтылғанда жылдамырақ кемиді (қ. сурет). К. ф. – дифференциалдау мен интегралдау кезінде өзгермейтін бірден-бір элементар функция: (ez)=ez, . К. ф. кез келген z үшін жинақталатын мынадай дәрежелік қатарға жіктеледі: ez= =z комплекс сан болғанда К. ф. тригонометриялық функциялармен ez=ex+іy=ex(cosy+іsіny) түріндегі Эйлер формуласы арқылы байланысады. a>0 болған жағдайдағы az К. ф-сы мен ez (негізгі) К. ф-сы арасындағы байланыс az=ezlna формуласы арқылы өрнектеледі.Көрсеткіштік функцияға кері функция логарифмдік функция деп аталады.
y ═ log a x логарифмдік функция y ═ log 2 x
y
2 x y
1 0
1 y ═ log 2 x, a ˃1 2 1
x 4 2
-2 -1 О 1 2 1
-1 2 -1
1
-2 4 -2
y ═ ax көрсеткіштік функция y ═ 2 x
y
2
1
О x
-2 -1 1 2
-1
-2
Енді екі функцияның графигін координаталық жазықтыққа салсақ, y ═ x түзуіне қарағанда симметриялы графиктер шығады.
y
y═2x
2 y ═x
y═log2x
1
O x
-2 -1 1 2
-1
-2
0 ˂ a ˂1
y ═ 1 x y
2 2
y ═ x
1
O
x
-2 -1 1 2
-1 y═log1 x
2
-2
Логарифмдік функцияның қасиеттері :
1) Д (log a x) – барлық оң сандар жиынтығы R + 0; + ∞
2) Е (log a x) – барлық нақты сандар жиынтығы R -∞; + ∞
3) а ˃1 болса, функция өспелі болады, 0 ˂ а ˂ 1 функция кемиді.
4) Функция өзінің анықталу облысында үзіліссіз
y y ═ x0,5
1
O x
-1 1
-1
y ═ 2 x
y
y═2x
1
x
-1 O 1
-1
y
y ═ log2 x
1
O
-1 1 x
-1
y
1
-1 O 1 x
-1
y
y ═ log2x 0 ˂ a ˂ 1
1
x
-1 O 1
-1
y
y ═ x
1
-1 O 1 x
-1
y
y ═ log2x
1
O x
-1 1
-1
y
y═x3
1
O x
-1 1
-1
y
1 y ═ x2
O x
-1 1
-1
Мысалдар:*y ═ f(x) функциясының анықталу облысын табыңдар
1) f(x) ═log2 (x+1)
D(f) ═?
Шешуі: х + 1˃-1
х˃-1
жауабы: (-1; + ∞)
2) f(x) ═log0,7 (x-8)
D(f) ═?
Шешуі: х -8 ˃0
х˃8
жауабы: (8; + ∞)
3) f(x) ═log1 (3x+4)
3
D(f) ═?
Шешуі: 3х + 4˃0
3х˃-4
х ˃-4
3
жауабы: (-4; + ∞)
3
4) f(x) ═log5 (2x-1)
D(f) ═?
Шешуі: 2х +1 ˃0
2х˃1
х˃0,5
жауабы: (0,5; + ∞)
есеп
1) f(x) ═log1(2 - x)
4
D(f) ═?
Шешуі: 2 - х ˃0
-х˃-2
х ˂2
жауабы: (- ∞; 2)
2 ) f (x) ═log2,5 (5 - 2x)
D(f) ═?
Шешуі: 5 - 2х ˃0
-2х˃-5
х ˂2,5
жауабы: (- ∞; 2,5)
есеп
1) f(x) ═lg (3x - 1)+ lg (x2 + x + 1)
D(f) ═?
Шешуі: D(f) ═ 3x - 1˃0 => 3x > 1 =˃ x ˃ 1
x2 + x +1˃0 x > 0 3
x > 0
жауабы: 1 + ∞
3;
Достарыңызбен бөлісу: |