Issn 2306-7365 Ғылыми журнал 1996 жылдың қарашасынан бастап екі айда бір рет шығады

54 
 
  АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
ӘОЖ 519.624 
 
К.Ж.НАЗАРОВА 
физика-математика ғылымдарының кандидаты 
Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ 
 
Г.Б.КУЛМЕТОВА 
Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ-нің магистранты 
 
ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ ҮШІН 
СЫЗЫҚТЫ ЕКІ НҮКТЕЛІ ПАРАМЕТРЛІ ШЕТТІК ЕСЕПТІҢ БІР 
ШЕШІМІ ТУРАЛЫ 
 
Жай  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі  үшін  екі  нүктелі  параметрлі  
шеттік  есебі  қарастырылады.  Параметрлеу  әдісі  арқылы  бірмәнді  шешімін 
табудың  конструктивті  алгоритмі  ұсынылады.  Бұл  әдістің  негізгі  мақсаты  
дифференциалдық  теңдеу  қарастырылған  аралық   
0
h
    қадамымен 
бөліктерге  бөлінеді  де  бастапқы  есеп  эквивалентті  көпнүктелі    параметрлі 
шеттік  есепке  келтіріледі.    Параметрлеу  есебінің    шешімі    параметр  мен 
функция жұбы жүйесінің тізбектерінің шегі түрінде анықталады. 
 Дифференциалдық   теңдеудің    оң  жағы    және  шекаралық  шарт  бойынша 
анықталған  сызықтық  теңдеулер  жүйесінен  енгізілген  белгісіз  параметр 
анықталады  да,  ал  қосымша  функция  интегралдық  теңдеуден  табылады. 
Алгоритмнің жинақтылығының  және зерттелініп отырған  есептің  бірмәнді 
шешілімдігінің  жеткілікті шарттары тағайындалады.  
  
Кілт  сөздер:  дифференциалдық  теңдеу,  параметрлі  шеттік  есеп, 
интегралдық теңдеу, Коши есебі, матрица, алгоритм жинақтылығы. 
 
Жай      дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі    үшін    параметрлі    шеттік 
есептер  көбінесе  қолданбалы  математиканың    және  ғылым  мен  техника 
саласындағы түрлі есептердің шығарылуында кеңінен таралған. 
Параметрлі        шеттік        есептер      шешімінің      құрылуы      және      оның 
бірмәнді  шешілімділігі  жайындағы  сұрақтар  бірнеше  әдістермен    зерттеліп 
көптеген  ғалымдардың  [1-4]  жұмыстарында  қарастырылған.  Сызықты  екі 
нүктелі шеттік есеп негізгі  параметрлеу әдісі [5]  арқылыда қарастырылған 
[6].  Параметрлеу  есебінің    шешімі  параметр  мен  функция  жұбы  жүйесінің 
тізбектерінің  шегі  түрінде  анықталады.  Параметр 
  бастапқы  берілімдер 
терминдері 
( ), ,
A t B C
  және 
0,T
  аралығы  арқылы  анықталған  сызықтық 
теңдеулер жүйесінен табылады, ал функция параметрдің  табылған мәніндегі  
Коши есебінің шешімі.  Мақалада  параметрлеу әдісі арқылы  (1), (2) есебін 
шешудің  модификацияланған  алгоритмі  ұсынылып,    оның    бірмәнді 
шешілімділігі алынған.  
T
,
0
   кесіндісінде   сызықты   екі    нүктелі    параметрлі   шеттік  есепті  

55 
 
    
 
              АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
 
қарастырайық: 
( )
( )
( ),
0,
,
,
n
n
dx
A t x
B t
f t
t
T
x
R
R
dt
        (1) 
1
2
(0)
0,
( )
,
n
C x
C
x T
d
d
R
                     (2) 
мұндағы 
)
(
),
(
t
B
t
A
матрицалар, 
T
t
f
,
0
)
(
  аралығында  үзіліссіз  вектор-
функция, 
1
2
,
(
)
C C
n n
 
тұрақты 
матрица, 
i
n
i
x
x
,
1
max
,  
,
)
(
max
)
(
1
t
a
t
A
n
j
ij
i
. 
1
( )
max
( )
n
ij
i
j
B t
b t
,   
,
,
1,
const i
n
. 
(1), 
(2) 
есебінің 
шешімі 
деп 
T
,
0
 
аралығында 
үзіліссіз 
дифференциалданатын және 
 мәнінде (1) дифференциалдық теңдеуін, 
(2) шеттік шартты қанағаттандыратын 
)
(
,
t
x
 жұбын айтады. 
  
T
Nh
h
:
0
  қадамын  алып,  осы  бойынша 
T
,
0
    кесіндісін  бөліктеу 
жасаймыз: 

N
r
rh
h
r
T
1
,
)
1
(
,
0
 
rh
h
r
,
)
1
(
  аралығындағы 
)
(t
x
  функциясының  сығылуын 
)
(t
x
r
, яғни 
)
(
)
(
t
x
t
x
r
,  мұндағы 
N
r
rh
h
r
t
,
1
,
,
)
1
(
  арқылы  белгілейміз  де 
T
,
0
 кесіндісінің бөліктеу нүктелерінде  
0
1
1
2
2
3
3
,
0
0,
,
2
,...,
(
1)
N
N
x
x h
x
h
x
N
h
   
параметрлерін  енгізіп,  әрбір  
rh
h
r
,
1
 интервалында   
1
1
2
2
2
3
3
3
( ),
( )
,
( )
, ...,
( )
,
N
N
N
u t
x t
u t
x t
u t
x t
u
t
x t
  алмастыру жасаймыз.  Сонда көпнүктелі  параметрлі шеттік есепті аламыз:                        
1
1
0
1
0
( )
( )
( ),
(0)
0,
0,
,
( )
( )
( )
( ),
1
0,
(
1) ,
,
2,
,
r
r
r
r
du
A t u
B t
f t
u
t
h
dt
du
A t u
A t
B t
f t
u
r
h
dt
t
r
h rh
r
N
          (6) 
0
0
lim
( )
N
N
t
T
C
u t
d
,                             (7) 
1
2
1
0
0
lim
( )
,
lim
( )
,
2,
1
s
s
s
t
h
t
sh
u t
u t
s
N
,      (8) 
(6)-(8)  есебінің  шешімі  деп   
,
0, 2, 3,...
r
r
r
N
  мәндерінде  үзіліссіз 
дифференциалданатын,   (6)   Коши   есебін    және   (7),    (8)    шарттарын 
 

56 
 
  АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
қанағаттандыратын 
N
r
t
u
r
,
1
,
  функциясынан  тұратын 
,
]
[
,
t
u
 
мұндағы   
0
2
,
...,
,
nN
N
R
    
t
u
t
u
t
u
t
u
N
),...,
(
),
(
]
[
2
1
, жұбын 
айтады. 
(3)-(5)  және   (6)-(8) есептері  өзара эквивалентті.  Егер 
]
[
,
t
u
  жұбы 
(6)-(8)  есебінің  шешімі  болса,  онда 
1
2
2
[ ]
( ),
( ),...,
( )
N
N
x t
u t
u t
u
t
 
функциялар  жүйесінен  тұратын   
0
, x t
  жұбы  (3)-(5)  есебінің  шешімі 
болады. Керісінше, егер  
0
, x t
 жұбы (3)-(5) есебінің шешімі болса, онда 
]
[
~
,
~
t
u
, мұндағы       
0
2
,
( ),...,
((
1) )
N
x h
x
N
h
, 
1
2
2
( ),
( )
( ),...,
( )
1
N
N
u t
x t x t
x h
x t
x
N
h
, 
жұбы (6)-(8) есебінің шешімі болады. (6)-(8) есебі (3)-(5) есебінен 
h
r
t
1
 
нүктелерінде  бастапқы  шарттың  бар  болуымен  ерекшеленеді. 
0
,
r
 
параметрлерінің  тиянақты  мәндерінде  (6)  Коши  есебі  Вольтеррдің  2-текті 
интегралдық  теңдеуіне    эквивалентті. 
)
(t
u
r
  функциясын  осы  интегралдық 
теңдеуден анықтауға болады: 
0
(
1)
(
1)
(
1)
( )
( )
( )
( )
( )
t
t
t
r
r
r
r
h
r
h
r
h
u t
A
u
d
B
d
f
d
    (9) 
)
(
r
u
  -ның  орнына  (9)  теңдігінің  оң  жағын  қоямыз  және  осы  процесті 
 рет қайталаймыз, сонда 
)
(t
u
r
 функциясы мынадай түрге келеді 
0
( )
( )
( )
( )
( , )
r
r
r
r
r
r
u t
D
t
B
t
F
t
G
u t
      (10) 
мұндағы  
rh
h
r
rh
h
r
h
r
h
r
h
r
rh
h
r
r
d
B
d
d
B
A
d
d
B
A
A
rh
B
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
(
)
(
)
(
...
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
~
1
  
1
1
1
1
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
( )
( )
( )...
( )
...
...
( )
( )
( )
rh
rh
rh
r
r
h
r
h
r
h
r
h
r
h
r
h
D
rh
A
A
A
d
d
A
A
d d
A
d
 
d
f
d
d
f
A
d
d
f
A
A
rh
F
rh
h
r
h
r
rh
h
r
h
r
h
r
rh
h
r
r
)
1
(
)
1
(
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
(
)
(
)
(
...
...
)
(
)...
(
)
(
)
(
1
   
d
d
u
A
A
A
rh
u
G
r
h
r
h
r
rh
h
r
r
...
)
(
)
(
)...
(
)
(
)
,
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
. 

57 
 
    
 
              АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
(10)  теңдігінің 
0
rh
t
  шегін  анықтап  (7),  (8)  шарттарына  қоямыз.    (7) 
шартын  
0
h
  мәніне көбейтіп 
,
0, 2, 3,...,
r
r
N
 белгісіз  параметрлерге 
байланысты сызықты теңдеулер жүйесін аламыз:   
2
0
1
0
2
1
1
0
1
( )
( )
( )
( , )
( )
( )
( , )
(
)
(
)
(
)
( ,
),
2,
1
N
N
N
N
N
s
s
s
s
s
s
h C
B
T
h I
D
T
hd
hF
T
hG
u T
B
h
F
h
G
u h
B
sh
I
D
sh
F
sh
G
u sh
s
N
      (11) 
мұндағы 
I
бірлік  матрица.        (11)      теңдеулер  жүйесінің  қысқаша  жазылу 
түрі: 
                                  
( )
( )
( , ),
nN
Q h
F h
G u h
R
,              (12) 
мұндағы          
 
 
2
1
2
2
,
1
,
1
( )
0
0
...
0
( )
( )
0
...
0
0
( )
(2 )
(2 )
...
0
0
...
...
...
...
...
...
((
1) )
0
0
...
((
1) )
N
N
N
N
h C
B
T
h I
D
T
B
h
I
Q h
B
h
I
D
h
I
B
N
h
I
D
N
h
I
, 
 
1
2
1
( )
( ),
( ),
(2 ),...,
((
1) )
N
N
F h
hd
hF
T F h F
h
F
N
h
, 
                    
1
2
,
1
( , )
( ,
),
( , ),
( , ),...,
( ,(
1) )
N
N
G u h
hG
u Nh G u h G
u h
G
u N
h
 .                                                                                                                                
Енді    (6)-(8)    көпнүктелі  параметрлі  шеттік  есептің    шешімі 
)
(
,
t
u
r
r
, 
1, 2,...
r
N
,    жұптар  тізбегін  табу  үшін    (10),  (12)  теңдеулер  жүйесін  бірге 
қарастырып келесі алгоритмді құрамыз: 
Қадам 
0: 
 
а) 
 
Тиянақты 
N
T
Nh
h
,
:
0
 
мәндерінде 
( ) :
nN
nN
Q h
R
R
  матрицасының  кері  матрицасы  бар  деп  жорамалдап,  
(0)
(0)
(0)
(0)
0
2
(
,
,...,
)
nN
N
R
 параметрі бойынша алғашқы жуықтауды  
)
(
)
(
)
0
(
h
F
h
Q
 
теңдеулер жүйесінен анықтаймыз, яғни 
)
(
)
(
1
)
0
(
h
F
h
Q
 
б)Әрбір 
N
r
rh
h
r
,
1
,
,
)
1
(
 
интервалда 
)
0
(
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
,...,
,
]
[
N
u
u
u
t
u
 
функциялар жүйесінің компоненттерін (10) теңдігі бойынша табамыз, яғни  
(0)
(0)
(0)
0
( )
( )
( )
( )
r
r
r
r
r
u
t
D
t
B
t
F
t
. 
Қадам 1: а) Табылған 
)
(
)
0
(
t
u
r
  мәнін (12) сызықты теңдеулер жүйесіне қойып  

58 
 
  АХМЕТ ЯСАУИ УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРШЫСЫ, №1, 2013 
 
(1)
(1)
(1)
(1)
0
2
(
,
,...,
)
nN
N
R
  параметрі   бойынша   бірінші     жуықтауды  
)
,
(
)
(
)
(
)
0
(
)
1
(
h
u
G
h
F
h
Q
 
теңдеулер 
жүйесінен 
анықтаймыз, 
яғни    
)
,
(
)
(
)
(
)
0
(
1
)
1
(
h
u
G
h
F
h
Q
 
б)  Әрбір 
N
r
rh
h
r
,
1
,
,
)
1
(
 
интервалда 
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
)
1
(
,...,
,
]
[
N
u
u
u
t
u
 
функциялар жүйесінің компоненттерін (10) теңдігі бойынша табамыз, яғни  
(1)
(1)
(1)
(0)
0
( )
( )
( )
( )
(
, )
r
r
r
r
r
r
r
u
t
D
t
B
t
F
t
G
u
t
. 
Осылайша процесті жалғастыра отырып 
k
шы қадамда 
N
k
t
u
k
k
,
]
[
,
)
(
)
(
 
жұбын аламыз [6]. 
Алгоритм жинақтылығының, параметрлі шеттік есептің  жалғыз шешімі 
бар болуының жеткілікті шарты келесі тұжырымда тағайындалады. 
Теорема  1:    Қандай  да  бір 
0 :
h
Nh
T
    және 
N
  үшін 
:
nN
nN
Q h
R
R
    матрицасының  кері  матрицасы    бар  болып  келесі 
теңсіздіктер орындалсын:  
а)        
1
Q h
h
, 
б)        
1
1
0
( )
( ) max 1,
1
1
!
!
!
j
j
j
j
h
h
h
q
h
h
h
h
j
j
 
Онда   
t
u
k
k
,
  жұптар  тізбегі 
k
  ұмтылғанда  (6)-(8)    есебінің 
жалғыз  шешімі 
t
u
,
-ға  жинақталады  және    келесі  теңсіздіктер 
орындалады: 
( )
( )
(
1)
( )
1
( )
k
k
k
q h
u
u
u
u
q h
                    (13) 
( )
( )
(
1)
( )
max 1,
1
( )
!
k
k
k
h
h
h
u
u
q h
             (14) 

жүктеу/скачать 6,74 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: