Казахского государственного женского педагогического университета

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы № 1 (77), 2019 
 
77 
 
 При наличии градиента температуры Δ
T
поток тепла определяется как 
 
T
Y





, 
2
/T
L
qq


, 
 
,
1



T
L
Y
qq

 (2.11) 
где  связь  коэффициента  теплопроводности 

  с  кинетическим  коэффициентом 
qq
L  
выбрана  в  виде,  удолетворяющем  (2.9).  Полное  производство  энтропии 

  равно  объемному 
интегралу от плотности источника 

: 
 
 







r
d
T
L
r
d
qq


2
1

. (2.12) 
 Найдем  условия  минимальности  функционала  (2.12)  при  постоянстве  температуры  на 
границах  объема.  Уравнение  Эйлера–Лагранжа  для  данной  вариационной  задачи  имеет  вид 
[4,10]: 
 
 
 



























a
a
a
a
X
T
f
X
T
f
1
1
1
, (2.13) 
где 




3
2
1
2
1
,
,
,
X
X
X
r
T
f





. После выполнения дифференцирования (2.13) 
получим, 
 
 
0
1



T
, (2.14) 
что  эквивалентно  уравнению  Лапласа,  описывающему  стационарное 


0



t
T
 
распределение  температуры 
0


T
.  Следовательно,  доказано,  что  состояние  с  минимальным 
производством энтропии является стационарным. Этот принцип выражается неравенством: 
 
 
t
cт
t
d
d
dt
S
d






,
0
2
2
, (2.15) 
где 
cт

–  производство  энтропии  в  стационарном  состоянии,  а 
 
t

  –  в  момент 
t
 
процесса  установления  стационарного  состояния.  Теорема  Пригожина  доказана  в  рамках 
линейной термодинамики. В области далекой от равновесия универсальный критерий эволюции 
в виде (1,13) установлен для неполного дифференциала 

. Несмотря на это, теорема правильно 
указывает  на  существование  стационарного  состояния  неравновесных  систем,  что  доказано 
многочисленными экспериментами различного характера. 
 Возможно  обобщение  «принципа  минимума  производства  энтропии  в  стационарных 
состояниях»  на  случай  процессов  самоорганизации.  В  [11]  приводится  расчет  величин 
лам
турб


,
,  входящих  в  уравнение (2.13),  при  фиксированном  напряжении  на  стенках  трубы, 
который  показал,  что  при  выполнении  указанного  дополнительного  условия  имеет  место 
неравенство: 
 
лам
турб



. (2.16) 
 Основываясь  на  этом  результате,  Ю.Л.Климонтович  сформулировал  более  общий 
«принцип  минимума  производства  энтропии  в  процессах  самоорганизации».  Им,  процесс 
самоорганизации, 
примером 
которого 
является 
гидродинамическая 
турбулентность, 
рассматривается  как  результат  неравновесного  фазового  перехода.  Тогда,  сформулированный 
выше принцип выражается неравенством: 
 
лам
уст



, (2.17) 
имеющим более общий характер чем (2.16). Таким образом, в новом устойчивом состоянии 
производства  энтропии  меньше,  чем  в  предыдущем  неустойчивом  состоянии.  Вопросы  общего 
доказательства  принципа  минимума  производства  энтропии  в  процессах  самоорганизации 
подробно изложены в [11,12].  
 Нам следует рассмотреть еще принцип максимума информации, так как информационная 
интерпретация  второго  начала  термодинамики  более  удобна  применению  к  равновесным 
системам. По смыслу этот принцип исследованный Хакеном равнозначен принципу максимума, 

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы № 1 (77), 2019 
 
78 
 
если под информацией понять необходимую (априорную) меру определенности о системе. Так, J. 
Джейнс показал [1,4], что из принципа максимума информационной энтропии  
 S = 
i
i
i
X
L

 
(2.18) 
при ограничениях 
 
1
,
)
((




i
k
k
i
i
i
P
f
f
P
 
(2.19) 
 можно  вывести  все  основные  формулы  термодинамики.  Первое  из  условий  (2.19) 
соответствует  законам  сохранения.  Например, 
k
f
  может  означать  энергию  системы  в  k  – 
состоянии.  Экстремум  энтропии  (2.18)  ищется  методом  множителей  Лагранжа,  широко 
применяемым  в  теоретической  физике[4,8].  Неизвестные  коэффициенты  находятся  из  условия 
нормировки 
i
P
.  
 В  таком  подходе  к  проблеме  неравновесных  явлений  основную  трудность  представляет 
адекватный выбор законов сохранения открытой нелинейной диссипативной системы.  
  

жүктеу/скачать 6,41 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: