§ 16. Резонансные явления при действии негармонической

42

Гл. I. Основные понятия. Механические колебания

К такому же заключению приводит и следующая постановка

опыта: вместо о д н о й колебательной системы (маятника), на

которую мы действуем п о о ч е р е д н о силами разного пери-

ода, можно взять н а б о р однотипных систем с различными

собственными частотами и действовать на все эти системы о д-

н о в р е м е н н о одной и той же периодической силой. Чтобы

резонансные явления были острыми, системы должны обладать

достаточно малым затуханием. Воспользуемся снова набором

маятников, но не таким, как на рис. 26. Там длины наиболь-

шего и наименьшего маятников отличались лишь в два раза,

т. е. собственные частоты отличались лишь в

√

2 = 1,4 раза.

Теперь мы возьмем маятники, собственные частоты которых

лежат в более широком диапазоне и среди которых имеются,

в частности, маятники с кратными частотами. Пусть, например,

Рис. 29. Набор маятников, ча-

стоты которых указаны на ри-

сунке

собственные частоты составляют

1/2; 3/4; 1; 5/4; 3/2 и 2 Гц. Со-

ответствующие длины маятников

будут равны приблизительно 100;

44,4; 25; 16; 11,1 и 6,3 см. Этот

набор показан на рис. 29.

Разумеется, и здесь мы мо-

жем убедиться, что при дей-

ствии г а р м о н и ч е с к о й си-

лы большую амплитуду приобре-

тает только тот маятник, который

настроен в резонанс на частоту

силы.

Гармоническую силу можно

создать прежним способом, под-

весив к общей рейке массивный

маятник и сделав его равным по

длине какому-либо из маятников

нашего набора. Опыт хорошо уда-

ется и в том случае, если просто

покачивать всю стойку рукой, со-

общая ей гармонические колеба-

ния в такт с колебаниями одного из маятников.

Именно этот маятник и будет раскачиваться с большой ам-

плитудой, остальные же останутся практически в покое.

Картина получится совсем иная, если вместо гармонического

покачивания стойки сообщать ей резкие периодические толчки,

т. е. действовать на все маятники с п е р и о д и ч е с к о й, но уже

н е г а р м о н и ч е с к о й силой. Т о л к а я стойку с периодом

Гл. I. Основные понятия. Механические колебания

43

самого длинного маятника — один раз в 2 с, мы увидим, что

раскачивается не только этот маятник, но и другие, однако

не в с е, а лишь те, собственные частоты которых в ц е л о е

ч и с л о р а з б о л ь ш е, чем частота самого длинного маятника

(1/2 Гц). Иными словами, кроме маятника с частотой 1/2 Гц,

сильно раскачаются маятники с частотами 1, 3/2 и 2 Гц, осталь-

ные же останутся почти в покое. Сопоставляя этот результат

с предыдущим, когда г а р м о н и ч е с к а я сила раскачивала

только о д и н маятник, мы приходим к такому заключению.

Негармоническое периодическое воздействие с периодом

T равносильно одновременному действию гармонических сил

с разными частотами, а именно, с частотами, кратными наибо-

лее низкой частоте ν = 1/T .

Это заключение, касающееся периодической с и л ы, является

лишь частным случаем общей математической теоремы, которую

доказал в 1822 г. французский математик Жан Батист Фурье

(1768–1830). Теорема Фурье гласит: всякое периодическое ко-

лебание периода T может быть представлено в виде суммы

гармонических колебаний с периодами, равными T , T /2, T /3,

T /4 и т. д., т. е. с частотами ν = 1/T , 2ν, 3ν, 4ν и т. д.

Наиболее низкая частота ν называется основной частотой.

Колебание с основной частотой ν называется

первой гармоникой

или основным тоном, а колебания с частотами 2ν, 3ν, 4ν и т. д.

называются высшими гармониками (второй, третьей, четвертой)

или обертонами (первым — 2ν, вторым — 3ν и т. д.).

Теорема Фурье — это математическая теорема совершенно

общего характера, позволяющая любую периодическую величину

(перемещение, скорость, силу и т. п.) представить в виде суммы

величин (перемещений, скоростей, сил и т. п.), меняющихся по

синусоидальному закону.

Применительно к рассматриваемой нами задаче о действии

негармонической периодической силы эта теорема сразу же объ-

ясняет, почему можно раскачать маятник не только толчками,

следующими друг за другом с периодом, равным периоду маят-

ника, но и вдвое реже, втрое реже и т. д.

Пусть собственная частота маятника равна 1 Гц. Толкая его

один раз в секунду, мы создаем периодическую силу, состоящую

из следующих гармонических колебаний: основного с частотой

1 Гц и обертонов с частотами 2, 3, 4 Гц и т. д. Таким образом,

в этом случае в резонанс с собственной частотой маятника попа-

дает о с н о в н о е гармоническое колебание силы. Если толкать

маятник через раз, т. е. один раз в 2 с, то сила будет состоять

44

Гл. I. Основные понятия. Механические колебания

из основного колебания с частотой 1/2 Гц и гармоник с частота-

ми 1, 3/2, 2, 5/2 Гц и т. д.

Следовательно, в этом случае маятник раскачивается потому,

что в резонанс действует п е р в ы й о б е р т о н силы. При толч-

ках, повторяющихся через каждые 3 с, с собственной частотой

маятника совпадает в т о р о й о б е р т о н силы, и т. д.

Итак, периодическая негармоническая сила сильно раскачи-

вает колебательную систему тогда, когда в резонанс с соб-

ственной частотой системы попадает какое-либо из гармо-

нических колебаний, входящих в состав силы.

Описанный в § 15 язычковый частотомер может быть исполь-

зован подобно набору однотипных маятников, упоминавшихся

в начале этого параграфа, для г а р м о н и ч е с к о г о а н а л и-

з а негармонической силы.

Как мы видели, под действием гармонической силы опреде-

ленной частоты раскачивается один из язычков частотомера; при

всяком же негармоническом воздействии (например, прерыви-

стый ток) будет колебаться не один язычок, а несколько, именно

те, которые попадают в резонанс с гармониками, входящими

в состав тока. Раскачка каждого язычка будет при этом прямо

пропорциональна амплитуде той гармонической слагающей тока,

на которую этот язычок резонирует. Частотомером можно вос-

пользоваться и для определения гармонического состава меха-

нических колебаний, например колебаний фундамента машины.

Для этого достаточно поставить прибор на колеблющийся фун-

дамент.

жүктеу/скачать 6,71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: