Коммерциялық емес акционерлік қоғам

51 

13-Дәріс.  Параболалық  типті  теңдеулер.  Айнымалыларды  бөлу 

(Фурье) әдісі 

 

Дәріс  мақсаты:  параболалық  типті  жылуөткізгіштік  теңдеуді 

айнымалыларды  бөлу  (Фурье)  әдісімен  шешу,  яғни  жылуөткізгіштік  теңдеуі 

үшін шеттік есебін қарастыру. 

 

  Ұзындығы 

  тең  біртекті  стерженьді 

қарастырайық.  Айталық 

стерженьнін  бүйір беті жылу  өткізбейтін  болсын  және  стерженьнін  көлденең 

қимасының  барлық  нүктелерінде  температура  бірдей  делік.  Стерженьде 

жылудын таратылу процессін зерттейік. 

 

 

 

13.1 сурет. 

   

ОХ  осінін  орналасуы  келесідей  болсын:  стерженьнін бір ұшы 

,  ал 

екіншісі 

  нүктесімен  беттессін  (13.1  сурет).  Айталық 

  функциясы 

абсциссасы  х-ке  тең  t  моменттегі  температура  болсын.  Жылудың  таралу 

жылдамдығы,  яғни  абсциссасы  х-ке  тең  уақыттың  бірлігінде  қимадан  өтетін 

жылу мөлшері келесі формула бойынша есептеледі: 

 

, 

 

 

 

 

 

мұндағы    –  стержень  қимасынын  ауданы,    –  жылуөткізгіштік 

коэффициенті. 

 

 

Абсциссалары    және   

  болатын  қималар  арасындағы 

стержень элементін (бір бөлігін) қарастырайық. 

 

 уақытта абсциссасы 

 тең қимадан өтетін жылу мөлшері: 

 

. 

 

Осы сияқты абсциссасы   болатын қима үшін: 

 

. 

 

 уақытта стержень элементінде жылу мөлшері 

 тең болады: 

 

.      (13.1) 

52 

 айырымы үшін Лагранж теоремасын қолдандық. 

 уақытында келген жылу стержень элементінін температурасын 

-ге 

дейін көтеруге жұмсалды: 

 

 

немесе  

,                                   (13.2) 

 

мұндағы  с  -  стерженьнін  жылуды  қабылдауы, 

  -  стерженьнін 

тығыздығы (

 – стержень элементінің массасы). 

(13.1) мен (13.2) теңістіріп, аламыз: 

 

 

немесе  

. 

 

  деп  белгілеп  біртекті  стержень  үшін  жылуөткізгіштік  теңдеуін 

аламыз 

. 

 

Бұл  теңдеудің  шешімі  анықталған  болуы  үшін 

  функциясы 

физикалық шарттарға сәйкес берілген шеттік шарттарды қанағаттандыру тиіс. 

Айнымалыларды бөлу (Фурье) әдісі.  

Біртекті  жіңішке  стерженьнін 

  бүйір  беті  жылу  өткізбейтін 

болсын,  ал 

  және 

  үштарында  температура  нөлге  тең  болсын.  Бұл 

есеп жылуөткізгіштік теңдеуі үшін шеттік есепті шешуге әкеледі: 

 

                                              (13.3) 

 

бастапқы шарты 

                                            (13.4) 

 

және шекаралық шарттары 

.                                (13.5) 

 

 

Айнымалыларды бөлу (Фурье) әдісін қолданып, бірдей нөл емес дербес 

шешімдерін келесі түрде іздейміз: 

 

.                                            (13.6) 

53 

 

(13.3)-ші теідеуге 

 қойып және айнымалыларды бөліп, аламыз: 

  

,

                                       (13.7) 

 

 

мұндағы   – кез келген тұрақты. 

 

(13.7)-ші теідеуден екі теңдеу аламыз: 

 

,                                           (13.8) 

 

.                                           (13.9) 

 

(13.6)-ші  түріндегі  (13.3)-ші  теідеудің  (13.5)-ші  шекаралық  шарттарды 

қанағаттандыратың 

  тривиалды  емес  (нөлге  тең  емес) 

шешімдерін табу есебі Штурм-Лиувилль есебіне әкеледі. 

Тек 

-ның 

  тең  мәндері  үшін  (13.8)-(13.9) 

есебінің  тривиалды  емес 

  шешімдері  бар  болады.  Бұл  меншікті  мәндер 

үшін: 

  

 

меншікті функциялар сәйкес келеді. 

 мәндері үшін (13.8)-ші теңдеудің келесі шешімдері сәйкес: 

 

, 

 

мұндағы 

 – кез келген тұрақтылар. 

(13.6)-ші шешімге 

 және 

 қойып, (13.5) шекаралық шарттарды 

қанағаттандыратын (13.3)-ші теңдеудің дербес шешімдерін табамыз: 

 

 

 

. 

 

(13.4)  бастапқы  шартты  қанағаттандыратын  (13.3)-ші  теңдеудің  жалпы 

шешімін келесі қатар түрінде іздейміз: 

 

  

 

. 

 

54 

Енді  берілген  теңдеудің  анықталған  жалпы  шешімінен  және  (13.4) 

бастапқы шарттан аламыз: 

 

, 

мұндағы: 

. 

 

Мысал.  Бастапқы  шартты 

 

және  шекаралық 

шарттарды 

, 

 

 

 

қанағаттандыратың 

 

жылуөткізгіштік теңдеуін Фурье әдісімен шешіңіз. 

 

Шешуі. Жылуөткізгіштік теңдеуінің Фурье әдісімен шешуі келесі түрде 

ізделінеді: 

 

, 

 

 

мұндағы 

 

– 

берілген 

шекаралық 

шарттарды 

қанағаттандыратын Штурм–Лиувилль есебінің меншікті функциялары, 

, 

  -  Штурм–Лиувилль  есебінің  меншікті 

сандары, 

 – бастапқы шарттар бойынша анықталатың коэффициенттер. 

Сонымен: 

 

 

жылуөткізгіштік  теңдеуі  үшін  аралас  есебінің  шешімі  келесі  түрде 

анықталады: 

 

  

 

. 

 

 

Бастапқы шартты қолданып, аламыз: 

 

. 

 

 

Берілген  аралас  есебінің  Фурье  қатарына  жіктелуі  бастапқы  шарттың 

Фурье  қатарына  жіктелуінен  айырмашылығы  тек  келесі  көбейткіште  екенін 

байқаймыз: 

. 

 

55 

Есеп шарты бойынша 

 бастапқы шарт бойынша 

 болады, 

яғни: 

, 

онда есеп шешімі: 

 

 

 

 

Жауабы: 

. 

 

жүктеу/скачать 1,79 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: