Комментированные ответы: 1. При глаголе с отрицанием управляемое слово ставится в родительном падеже, если оно имеет отвлеченное значение: не поколебали нравственных устоев. 2. Глагол восхищаться требует постановки зависимого слова в творительном падеже: героизмом, мужеством. В данном предложении можно оставить дательный падеж в случае замены глагола его синонимом: поражаться героизму, мужеству. 3. Глагол видим управляет винительным падежом существительного, а глагол встречаемся – творительным, то есть глаголы – однородные сказуемые управляют разными падежными формами. Редакторская правка: «... видим Теркина и встречаемся с ним…». 4. Неопределенно-количественное числительное много управляет формой родительного падежа женского рода множественного числа: много ран (ср. с другими числительными: пять, десять ран). 5. Употребление предлога “с” вместо “из” со значением направленности действия носит просторечный характер. Следует: бежать из плена. 6. Синонимичные предлоги “в” и “на”, выражающие пространственные значения, различаются смысловыми оттенками: предлог “в” обозначает нахождение внутри чего-нибудь, предлог «на» – соответственно нахождение на поверхности. В данном примере: засиделись на своих местах. 7. Предлог «с» употребляется с творительным падежом при обозначении явления или состояния, которым сопровождается какое-нибудь действие: обошлась с жестокостью. Употребление падежной формы без предлога считается ошибочным. 8. Глагол зачитывается в значении «увлекшись чтением, забыть о времени» управляет творительным падежом без предлога: зачитываться романом. 9. То же самое, что и в предыдущем примере, глагол гордиться в значении испытывать гордость от чего-нибудь требует творительного падежа без предлога. 10. Глагол насмотреться в значении «вполне насладиться созерцанием, рассматриванием кого-чего-нибудь» употребляется в сочетании с предложно-падежной конструкцией: не мог насмотреться на красоту (на кого-что). Ср. управление синонимических глаголов с творительным падежом: не мог налюбоваться красотой, или с дательным падежом: не мог не радоваться красоте.
II 1. Шли добровольцы на помощь восстановления деревень и сел. 2. Чехов призывает бороться с мещанством, которое мешает для развития человека и общества. 3. Главная роль в романе Горький отводит образу Павла Власова. 4. Писательница была счастлива, что внесла свою лепту в борьбе с врагом. 5. Я постараюсь описать о моем городе, которым я горжусь. 6. Выпивая третий стакан, он отламывает и закусывает маленьким кусочком хлеба. 7. В «Старухе Изергиль» Горький описывает три разных судеб. 8. В этот период молодые люди не могли применить свои силы за освобождение народа. 9. В царские времена отправляли в Сибирь на ссылку каторжников. 10. Мы, молодое поколение, о прошлом знаем разве с учебников истории и с газетных страниц.