Компания «Ваш репетитор» Электродинамика



жүктеу 5.01 Kb.

бет12/13
Дата15.03.2017
өлшемі5.01 Kb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.
Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального
значения v
0
. Деформация пружины равна нулю.
Вторая четверть: T /4 < t < T /2. Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется
заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис.
103
).
−q
+q
I
Рис. 103. T /4 < t < T /2
Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убыва-
ющий ток, сонаправлено с током.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой край-
ней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.
Конец второй четверти: t = T /2. Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять
равен q
0
(но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис.
104
). Сейчас начнётся обратная
перезарядка конденсатора.
−q
0
+q
0
Рис. 104. t = T /2
Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Дефор-
мация пружины максимальна и равна x
0
.
113

Третья четверть: T /2 < t < 3T /4. Началась вторая половина периода колебаний; процессы
пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис.
105
).
−q
+q
I
Рис. 105. T /2 < t < 3T /4
Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.
Конец третьей четверти: t = 3T /4. Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и
снова равен I
0
, но на сей раз имеет другое направление (рис.
106
).
I
0
Рис. 106. t = 3T /4
Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью v
0
, но
на сей раз в обратном направлении.
Четвёртая четверть: 3T /4 < t < T . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис.
107
).
+q
−q
I
Рис. 107. 3T /4 < t < T
Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней
левой точке.
Конец четвёртой четверти и всего периода: t = T . Обратная перезарядка конденсатора
завершена, ток равен нулю (рис.
108
).
+q
0
−q
0
Рис. 108. t = T
114

Данный момент идентичен моменту t = 0, а данный рисунок — рисунку
100
. Совершилось
одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы
будут происходить точно так же, как описано выше.
Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут про-
должаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!
Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном
колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на кон-
денсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся
энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки
и соединительных проводов.
Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия
маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.
21.2
Энергетические превращения в колебательном контуре
Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катуш-
ки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость C, индуктивность катушки равна L.
Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспре-
деляется между конденсатором и катушкой.
Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен q
0
, а ток отсут-
ствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия W контура
сосредоточена в конденсаторе:
W =
q
2
0
2C
.
Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен I
0
, а конденсатор раз-
ряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:
W =
LI
2
0
2
.
В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен q и через катушку течёт
ток I, энергия контура равна:
W =
q
2
2C
+
LI
2
2
.
Таким образом,
q
2
2C
+
LI
2
2
=
q
2
0
2C
=
LI
2
0
2
.
(85)
Соотношение (
85
) применяется при решении многих задач.
21.3
Электромеханические аналогии
В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и мас-
сой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими
и механическими величинами.
Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (
85
):
kx
2
2
+
mv
2
2
=
kx
2
0
2
=
mv
2
0
2
.
(86)
115

Здесь, как вы уже поняли, k — жёсткость пружины, m — масса маятника, x и v — текущие
значения координаты и скорости маятника, x
0
и v
0
— их наибольшие значения.
Сопоставляя друг с другом равенства (
85
) и (
86
), мы видим следующие соответствия:
q ←→ x;
(87)
I ←→ v;
(88)
L ←→ m;
(89)
1/C ←→ k.
(90)
Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для пери-
ода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
T = 2π
m
k
.
B соответствии с аналогиями (
89
) и (
90
) заменяем здесь массу m на индуктивность L, а
жёсткость k на обратную ёмкость 1/C. Получим:
T = 2π

LC .
(91)
Электромеханические аналогии не подводят: формула (
91
) даёт верное выражение для пе-
риода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре при-
ведём её более строгий вывод.
21.4
Гармонический закон колебаний в контуре
Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется
со временем по закону синуса или косинуса.
Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими.
Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда
конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как
положительные, так и отрицательные значения.
Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет;
пусть это будет направление против часовой стрелки (рис.
109
).
q
Рис. 109. Положительное направление обхода
Сила тока считается положительной (I > 0), если ток течёт в положительном направлении.
В противном случае сила тока будет отрицательной (I < 0).
Заряд конденсатора q — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток
(т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае q —
заряд левой пластины конденсатора.
При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: ˙
q = I (при ином выборе
знаков могло случиться ˙
q = −I). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если I > 0, то
заряд q левой пластины возрастает, и потому ˙
q > 0.
116

Величины q = q(t) и I = I(t) меняются со временем, но энергия контура остаётся неизмен-
ной:
q
2
2C
+
LI
2
2
= W = const.
(92)
Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: ˙
W = 0. Берём производную по
времени от обеих частей соотношения (
92
); не забываем, что слева дифференцируются сложные
функции
45
:
2q ˙
q
2C
+
L · 2I ˙
I
2
= ˙
W = 0.
Подставляя сюда ˙
q = I и ˙
I = ¨
q, получим:
qI
C
+ LI ¨
q = 0,
I
q
C
+ L¨
q
= 0.
Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому
q
C
+ L¨
q = 0.
Перепишем это в виде:
¨
q +
1
LC
q = 0.
(93)
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида ¨
q + ω
2
0
q = 0, где
ω
2
0
= 1/LC. Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т. е.
по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:
ω
0
=
1

LC
.
(94)
Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в конту-
ре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний
равен:
T =

ω
0
= 2π

LC .
Мы снова пришли к формуле Томсона.
Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
q = q
0
cos(ω
0
t + α).
(95)
Циклическая частота ω
0
находится по формуле (
94
); амплитуда q
0
и начальная фаза α опреде-
ляются из начальных условий.
Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при t = 0
заряд конденсатора максимален и равен q
0
(как на рис.
100
); ток в контуре отсутствует. Тогда
начальная фаза α = 0, так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой q
0
:
q = q
0
cos ω
0
t = q
0
cos
t

LC
.
(96)
45
Если y = y(x) — функция от x, то по правилу дифференцирования сложной функции производная от
квадрата нашей функции будет равна: (y
2
) = 2yy .
117

Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение
(
96
), опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
I = ˙
q = −q
0
ω
0
sin ω
0
t.
Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону
синуса:
I = −I
0
sin ω
0
t = −I
0
sin
t

LC
.
(97)
Амплитуда силы тока равна:
I
0
= q
0
ω
0
=
q
0

LC
.
Наличие «минуса» в законе изменения тока (
97
) понять не сложно. Возьмём, к примеру,
интервал времени 0 < t < T /4 (рис. 2).
Ток течёт в отрицательном направлении: I < 0. Поскольку ω
0
= 2π/T , фаза колебаний
находится в первой четверти: 0 < ω
0
t < π/2. Синус в первой четверти положителен; стало
быть, синус в (
97
) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для
обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (
97
).
А теперь посмотрите на рис.
107
. Ток течёт в положительном направлении. Как же работает
наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!
Изобразим графики колебаний заряда и тока, т. е. графики функций (
96
) и (
97
). Для на-
глядности представим эти графики в одних координатных осях (рис.
110
).
t
q, I
0
q = q(t)
I = I(t)
Рис. 110. Графики колебаний заряда и тока
Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот,
нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
Используя формулу приведения
cos ϕ +
π
2
= − sin ϕ,
запишем закон изменения тока (
97
) в виде:
I = −I
0
sin ω
0
t = I
0
cos ω
0
t +
π
2
.
Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда q = q
0
cos ω
0
t, мы видим, что фаза
тока, равная ω
0
t + π/2, больше фазы заряда ω
0
t на величину π/2. В таком случае говорят, что
ток опережает по фазе заряд на π/2; или сдвиг фаз между током и зарядом равен π/2; или
разность фаз между током и зарядом равна π/2.
118

Опережение током заряда по фазе на π/2 графически проявляется в том, что график тока
сдвинут влево на π/2 относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего
максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода
как раз и соответствует разности фаз π/2).
21.5
Вынужденные электромагнитные колебания
Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической
вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей
силы.
Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к
источнику синусоидального напряжения (рис.
111
).

U
C
L
Рис. 111. Вынужденные колебания
Если напряжение источника меняется по закону:
U = U
0
sin ωt,
то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой ω (и с периодом,
соответственно, T = 2π/ω). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру
свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте ω
0
= 1/

LC.
Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты ω: амплитуда тем
больше, чем ближе ω к собственной частоте контура ω
0
. При ω = ω
0
наступает резонанс — резкое
возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем
листке, посвящённом переменному току.
119

22
Переменный ток. 1
Переменный ток — это вынужденные электромагнитные колебания, вызываемые в электриче-
ской цепи источником переменного (чаще всего синусоидального) напряжения.
Переменный ток присутствует всюду. Он течёт по проводам наших квартир, в промышлен-
ных электросетях, в высоковольтных линиях электропередач. И если вам нужен постоянный
ток, чтобы зарядить аккумулятор телефона или ноутбука, вы используете специальный адап-
тер, выпрямляющий переменный ток из розетки.
Почему переменный ток распространён так широко? Оказывается, он прост в получении и
идеально приспособлен для передачи электроэнергии на большие расстояния. Подробнее об этих
вопросах мы поговорим позже — в разделе, посвящённом производству, передаче и потреблению
электрической энергии.
А сейчас мы рассмотрим простейшие цепи переменного тока. Будем подключать к источнику
синусоидального напряжения поочерёдно:
• резистор сопротивлением R;
• конденсатор ёмкости C;
• катушку индуктивности L.
Изучив поведение резистора, конденсатора и катушки в цепи переменного тока, мы затем
подключим их одновременно и исследуем прохождение переменного тока через колебательный
контур, обладающий сопротивлением.
Напряжение на клеммах источника меняется по закону:
U = U
0
sin ωt.
(98)
Как видим, напряжение может быть положительным и отрицательным. Каков смысл знака
напряжения?
Всегда подразумевается, что выбрано положительное направление обхода контура. Напря-
жение считается положительным, если электрическое поле зарядов, образующих ток, имеет
положительное направление. В противном случае напряжение считается отрицательным.
Начальная фаза напряжения не играет никакой роли, поскольку мы рассматриваем процес-
сы, установившиеся во времени. При желании вместо синуса в выражении (
98
) можно было бы
взять косинус — принципиально от этого ничего не изменится.
Текущее значение напряжения U (t) в момент времени t называется мгновенным значением
напряжения.
22.1
Условие квазистационарности
В случае переменного тока возникает один тонкий момент. Предположим, что цепь состоит из
нескольких последовательно соединённых элементов.
Если напряжение источника меняется по синусоидальному закону, то сила тока не успевает
мгновенно принимать одно и то же значение во всей цепи — на передачу взаимодействий между
заряженными частицами вдоль цепи требуется некоторое время.
Между тем, как и в случае постоянного тока, нам хотелось бы считать силу тока одинаковой
во всех элементах цепи. К счастью, во многих практически важных случаях мы действительно
имеем на это право.
Возьмём, к примеру, переменное напряжение частоты ν = 50 Гц (это промышленный стан-
дарт России и многих других стран). Период колебаний напряжения: T = 1/ν = 0,02 с.
120

Взаимодействие между зарядами передаётся со скоростью света: c = 3 · 10
8
м/с. За время,
равное периоду колебаний, это взаимодействие распространится на расстояние:
cT = 6 · 10
6
м = 6000 км.
Поэтому в тех случаях, когда длина цепи на несколько порядков меньше данного расстояния,
мы можем пренебречь временем распространения взаимодействия и считать, что сила тока
мгновенно принимает одно и то же значение во всей цепи.
Теперь рассмотрим общий случай, когда напряжение колеблется с циклической частотой ω.
Период колебаний равен T = 2π/ω, и за это время взаимодействие между зарядами передаётся
на расстояние cT . Пусть l — длина цепи. Мы можем пренебречь временем распространения
взаимодействия, если l много меньше cT :
l
cT.
(99)
Неравенство (
99
) называется условием квазистационарности. При выполнении этого усло-
вия можно считать, что сила тока в цепи мгновенно принимает одно и то же значение во всей
цепи. Такой ток называется квазистационарным.
В дальнейшем мы подразумеваем, что переменный ток меняется достаточно медленно и его
можно считать квазистационарным. Поэтому сила тока I во всех последовательно включённых
элементах цепи будет принимать одинаковое значение — своё в каждый момент времени. Оно
называется мгновенным значением силы тока.
22.2
Резистор в цепи переменного тока
Простейшая цепь переменного тока получится, если к источнику переменного напряжения
U = U
0
sin ωt подключить обычный резистор
46
R, называемый также активным сопротив-
лением (рис.
112
)

U
R
Рис. 112. Резистор в цепи переменного тока
Положительное направление обхода цепи выбираем против часовой стрелки, как показано на
рисунке. Напомним, что сила тока считается положительной, если ток течёт в положительном
направлении; в противном случае сила тока отрицательна.
Оказывается, мгновенные значения силы тока и напряжения связаны формулой, аналогич-
ной закону Ома для постоянного тока:
I =
U
R
=
U
0
R
sin ωt.
Таким образом, сила тока в резисторе также меняется по закону синуса:
I = I
0
sin ωt.
46
Мы полагаем, разумеется, что индуктивность этого резистора пренебрежимо мала, так что эффект самоин-
дукции можно не принимать во внимание.
121

Амплитуда тока I
0
равна отношению амплитуды напряжения U
0
к сопротивлению R:
I
0
=
U
0
R
.
Мы видим, что сила тока через резистор и напряжение на нём меняются «синхронно», точнее
говоря — синфазно (рис.
113
).
t
U, I
O
U = U (t)
I = I(t)
Рис. 113. Ток через резистор совпадает по фазе с напряжением
Фаза тока равна фазе напряжения, то есть сдвиг фаз между током и напряжением равен
нулю.
22.3
Конденсатор в цепи переменного тока
Постоянный ток через конденсатор не течёт — для постоянного тока конденсатор является
разрывом цепи. Однако переменному току конденсатор не помеха! Протекание переменного
тока через конденсатор обеспечивается периодическим изменением заряда на его пластинах.
Рассмотрим конденсатор ёмкости C, подключённый к источнику синусоидального напряже-
ния (рис.
114
). Активное сопротивление проводов, как всегда, считаем равным нулю. Положи-
тельное направление обхода цепи снова выбираем против часовой стрелки.

U
C
Рис. 114. Конденсатор в цепи переменного тока
Как и ранее, обозначим через q заряд той пластины конденсатора, на которую течёт поло-
жительный ток — в данном случае это будет правая пластина. Тогда знак величины q совпадает
со знаком напряжения U . Кроме того, как мы помним из предыдущего листка, при таком со-
гласовании знака заряда и направления тока будет выполнено равенство ˙
q = I.
Напряжение на конденсаторе равно напряжению источника:
q
C
= U = U
0
sin ωt.
Отсюда
q = CU
0
sin ωt.
122

Дифференцируя это равенство по времени, находим силу тока через конденсатор:
I = ˙
q = CU
0
ω cos ωt.
(100)
Графики тока и напряжения представлены на рис.
115
. Мы видим, что сила тока каждый
раз достигает максимума на четверть периода раньше, чем напряжение. Это означает, что фаза
силы тока на π/2 больше фазы напряжения (ток опережает по фазе напряжение на π/2).
t
U, I
O
U = U (t)
I = I(t)
Рис. 115. Ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на π/2
Найти сдвиг фаз между током и напряжением можно также с помощью формулы приведе-
ния:
cos ϕ = sin ϕ +
π
2
.
Используя её, получим из (
100
):
I = CU
0
ω sin ωt +
π
2
.
И теперь мы чётко видим, что фаза тока больше фазы напряжения на π/2.
Для амплитуды силы тока имеем:
I
0
= CU
0
ω =
U
0
1/(ωC)
.
Таким образом, амплитуда силы тока связана с амплитудой напряжения соотношением, анало-
гичным закону Ома:
I
0
=
U
0
X
C
,
где
X
C
=
1
ωC
.
Величина X
C
называется ёмкостным сопротивлением конденсатора. Чем больше ёмкостное
сопротивление конденсатора, тем меньше амплитуда тока, протекающего через него, и наоборот.
Ёмкостное сопротивление обратно пропорционально циклической частоте колебаний напря-
жения (тока) и ёмкости конденсатора. Попробуем понять физическую причину такой зависи-
мости.
1. Чем больше частота колебаний (при фиксированной ёмкости C), тем за меньшее время
по цепи проходит заряд CU
0
; тем больше амплитуда силы тока и тем меньше ёмкост-
ное сопротивление. При ω → ∞ ёмкостное сопротивление стремится к нулю: X
C
→ 0.
123

Это означает, что для тока высокой частоты конденсатор фактически является коротким
замыканием цепи.
Наоборот, при уменьшении частоты ёмкостное сопротивление увеличивается, и при ω → 0
имеем X
C
→ ∞. Это не удивительно: случай ω = 0 отвечает постоянному току, а конденса-
тор для постоянного тока представляет собой бесконечное сопротивление (разрыв цепи).
2. Чем больше ёмкость конденсатора (при фиксированной частоте), тем больший заряд CU
0
проходит по цепи за то же время (за ту же четверть периода); тем больше амплитуда
силы тока и тем меньше ёмкостное сопротивление.
Подчеркнём, что, в отличие от ситуации с резистором, мгновенные значения тока и напряже-
ния в одни и те же моменты времени уже не будут удовлетворять соотношению, аналогичному
закону Ома. Причина заключается в сдвиге фаз: напряжение меняется по закону синуса, а
сила тока — по закону косинуса; эти функции не пропорциональны друг другу. Законом Ома
связаны лишь амплитудные значения тока и напряжения.
22.4
Катушка в цепи переменного тока
Теперь подключим к нашему источнику переменного напряжения катушку индуктивности L
(рис.
116
). Активное сопротивление катушки считается равным нулю.

U
L
Рис. 116. Катушка в цепи переменного тока
Казалось бы, при нулевом активном (или, как ещё говорят, омическом) сопротивлении че-
рез катушку должен потечь бесконечный ток. Однако катушка оказывает переменному току
сопротивление иного рода. Магнитное поле тока, меняющееся во времени, порождает в катушке
вихревое электрическое поле E
вихр
, которое, оказывается, в точности уравновешивает кулонов-
ское поле E движущихся зарядов:
E + E
вихр
= 0.
(101)
Работа кулоновского поля E по перемещению единичного положительного заряда по внеш-
ней цепи в положительном направлении — это как раз напряжение U . Аналогичная работа
вихревого поля — это ЭДС индукции
E
i
. Поэтому из (
101
) получаем:
U +
E
i
= 0.
(102)
Равенство (
102
) можно объяснить и с энергетической точки зрения. Допустим, что оно не
выполняется. Тогда при перемещении заряда по цепи совершается ненулевая работа, которая
должна превращаться в тепло. Но тепловая мощность I
2
R равна нулю при нулевом омиче-
ском сопротивлении цепи. Возникшее противоречие показывает, что равенство (
102
) обязано
выполняться.
Вспоминая закон Фарадея
E
i
= −L ˙
I, переписываем соотношение (
102
):
U − L ˙
I = 0,
124

откуда
˙
I =
U
L
=
U
0
L
sin ωt.
(103)
Остаётся выяснить, какую функцию, меняющуюся по гармоническому закону, надо про-
дифференцировать, чтобы получить правую часть выражения (
103
). Сообразить это нетрудно
(продифференцируйте и проверьте!):
I = −
U
0
ωL
cos ωt.
(104)
Мы получили выражение для силы тока через катушку. Графики тока и напряжения представ-
лены на рис.
117
.
t
U, I
O
U = U (t)
I = I(t)
Рис. 117. Ток через катушку отстаёт по фазе от напряжения на π/2
Как видим, сила тока достигает каждого своего максимума на четверть периода позже, чем
напряжение. Это означает, что сила тока отстаёт по фазе от напряжения на π/2.
Определить сдвиг фаз можно и с помощью формулы приведения:
sin ϕ −
π
2
= − cos ϕ.
Получаем:
I =
U
0
ωL
sin ωt −
π
2
.
Непосредственно видим, что фаза силы тока меньше фазы напряжения на π/2.
Амплитуда силы тока через катушку равна:
I
0
=
U
0
ωL
.
Это можно записать в виде, аналогичном закону Ома:
I
0
=
U
0
X
L
,
где
X
L
= ωL.
Величина X
L
называется индуктивным сопротивлением катушки. Это и есть то самое со-
противление, которое наша катушка оказывает переменному току (при нулевом омическом со-
противлении).
Индуктивное сопротивление катушки пропорционально её индуктивности и частоте колеба-
ний. Обсудим физический смысл этой зависимости.
125

1. Чем больше индуктивность катушки, тем большая в ней возникает ЭДС индукции, про-
тиводействующая нарастанию тока; тем меньшего амплитудного значения достигнет сила
тока. Это и означает, что X
L
будет больше.
2. Чем больше частота, тем быстрее меняется ток, тем больше скорость изменения магнит-
ного поля в катушке, и тем большая возникает в ней ЭДС индукции, препятствующая
возрастанию тока. При ω → ∞ имеем X
L
→ ∞, т. е. высокочастотный ток практически
не проходит через катушку.
Наоборот, при ω = 0 имеем X
L
= 0. Для постоянного тока катушка является коротким
замыканием цепи.
И снова мы видим, что закону Ома подчиняются лишь амплитудные, но не мгновенные
значения тока и напряжения. Причина та же — наличие сдвига фаз.
Итак, мы разобрались с прохождением переменного тока через резистор, конденсатор и
катушку по отдельности. Теперь нам предстоит соединить их вместе — в колебательный контур,
подключённый к источнику переменного напряжения.
126

23
Переменный ток. 2
Давайте начнём с одного математического приёма, чтобы не отвлекаться потом на его объяс-
нение. Это — тригонометрический метод введения вспомогательного угла. Он наверняка вам
известен, но всё же повторить его не помешает.
23.1
Метод вспомогательного угла
Речь идёт о преобразовании выражения a sin ϕ + b cos ϕ. Вынесем за скобки «амплитудный
множитель»

a
2
+ b
2
:
a sin ϕ + b cos ϕ =

a
2
+ b
2
a

a
2
+ b
2
sin ϕ +
b

a
2
+ b
2
cos ϕ
.
Зачем нужно такое вынесение за скобки? Оказывается, в скобках при синусе и косинусе
образовались замечательные множители! Сумма квадратов этих множителей равна единице:
a

a
2
+ b
2
2
+
b

a
2
+ b
2
2
= 1.
Значит, эти множители являются соответственно косинусом и синусом некоторого угла α:
a

a
2
+ b
2
= cos α,
b

a
2
+ b
2
= sin α.
(105)
В результате получаем:
a sin ϕ + b cos ϕ =

a
2
+ b
2
(cos α sin ϕ + sin α cos ϕ).
Остаётся заметить, что в скобках стоит синус суммы, так что мы приходим к окончательному
выражению:
a sin ϕ + b cos ϕ =

a
2
+ b
2
sin(ϕ + α).
(106)
При этом для «начальной фазы» α имеем из (
105
) простую формулу:
tg α =
b
a
.
(107)
23.2
Колебательный контур с резистором
Теперь мы готовы рассмотреть вынужденные колебания, происходящие в колебательном кон-
туре с активным сопротивлением. К источнику переменного напряжения U последовательно
подключены: резистор сопротивлением R, катушка индуктивности L и конденсатор ёмкости C
(рис.
118
; такой контур называется ещё RLC-контуром).

U
L
R
C
Рис. 118. Колебательный контур с резистором
Так как элементы соединены последовательно, сила тока в них одинакова в любой момент
времени (вспомните условие квазистационарности!). Поэтому нам будет удобно начать не с
127

напряжения источника, как раньше, а с силы тока, и считать, что ток в цепи колеблется по
закону синуса: I = I
0
sin ωt.
А теперь вспоминаем материал предыдущего раздела.
1. Пусть U
R
— мгновенное значение напряжения на резисторе. Оно связано с силой тока
обычным законом Ома:
U
R
= IR = I
0
R sin ωt.
(108)
2. Напряжение на конденсаторе U
C
отстаёт по фазе от тока на π/2; это значит, что фаза
напряжения U
C
равна ωt − π/2. Амплитуда напряжения U
C
равна:
U
C0
= I
0
X
C
=
I
0
ωC
.
Таким образом,
U
C
= U
C0
sin ωt −
π
2
= −
I
0
ωC
cos ωt.
(109)
3. Напряжение на катушке U
L
, наоборот, опережает по фазе силу тока на π/2. Амплитуда:
U
L0
= I
0
X
L
= I
0
ωL.
В результате получаем:
U
L
= U
L0
sin ωt +
π
2
= I
0
ωL cos ωt.
(110)
Напряжение источника равно сумме напряжений на резисторе, катушке и конденсаторе:
U = U
R
+ U
L
+ U
C
.
Подставляя сюда выражения (
108
)–(
110
), получим:
U = I
0
R sin ωt + I
0
ωL cos ωt −
I
0
ωC
cos ωt = I
0
R sin ωt +
ωL −
1
ωC
cos ωt
.
(111)
Вот теперь нам и понадобится метод вспомогательного угла. Выражение во внешних скобках
имеет для этого подходящий вид: a sin ωt + b cos ωt. Пользуясь выражениями (
106
) и (
107
),
получим:
U = I
0
R
2
+
ωL −
1
ωC
2
sin(ωt + α),
(112)
где
tg α =
ωL −
1
ωC
R
.
(113)
Угол α является сдвигом фаз между напряжением источника и силой тока в цепи: фаза
напряжения больше фазы тока на величину α. Амплитуда напряжения:
U
0
= I
0
R
2
+
ωL −
1
ωC
2
.
(114)
Получив все эти результаты, мы их несколько переиначим и приведём в соответствие с тем,
что было в предыдущем разделе.
128

Начнём с напряжения источника. Предположим, как и ранее, что оно меняется по закону
синуса:
U = U
0
sin ωt.
Как мы сейчас выяснили, фаза тока меньше фазы напряжения на величину α:
I = I
0
sin(ωt − α).
При этом амплитуда силы тока находится из формулы (
114
):
I
0
=
U
0
R
2
+
ωL −
1
ωC
2
.
(115)
Выражение (
115
) имеет вид закона Ома:
I
0
=
U
0
X
,
где
X =
R
2
+
ωL −
1
ωC
2
.
(116)
Величина X — это полное сопротивление цепи. Такое сопротивление оказывает наш колеба-
тельный контур переменному току.
Закон Ома в данном случае выполнен лишь для амплитудных значений тока и напряжения.
Мгновенные значения I(t) и U (t) уже не будут пропорциональны друг другу — ведь между ними
имеется сдвиг фаз, равный α.
23.3
Резонанс в колебательном контуре
Как видно из выражения (
115
), амплитуда силы тока в контуре зависит от частоты колебаний.
Построим график этой зависимости — так называемую резонансную кривую (рис.
119
).
ω
I
0
ω
0
U
0
/R
Рис. 119. Резонансная кривая
При ω → 0 имеем I
0
→ 0. Математическая причина стремления силы тока к нулю — неогра-
ниченное возрастание ёмкостного сопротивления 1/(ωC), в результате чего полное сопротивле-
ние X также стремится к бесконечности. Физическая причина очевидна: ток малой частоты —
это почти постоянный ток, а для постоянного тока конденсатор является разрывом цепи.
129

При ω → ∞ опять-таки имеем I
0
→ 0: график асимптотически приближается к оси ω.
Теперь это происходит за счёт неограниченного роста индуктивного сопротивления ωL. Физи-
ческая причина также ясна: при быстром изменении тока в катушке возникает большая ЭДС
самоиндукции, препятствующая его увеличению.
При некоторой частоте ω
0
амплитуда силы тока достигает максимума: наступает резонанс.
Из (
115
) нетрудно видеть, что величина I
0
принимает максимальное значение
I
0max
=
U
0
R
,
(117)
и происходит это при выполнении равенства
ωL −
1
ωC
= 0.
Отсюда находим ω
0
:
ω
0
=
1

LC
.
Это хорошо знакомая нам частота собственных колебаний в контуре с нулевым активным со-
противлением. Она же, как видим, является резонансной частотой нашего контура.
Из (
117
) мы видим, что резонансное значение амплитуды тока I
0max
тем больше, чем меньше
активное сопротивление R. На рис.
120
представлены три резонансные кривые. Верхняя кривая
отвечает достаточно малому сопротивлению R, средняя кривая — большему сопротивлению,
нижняя кривая — ещё большему сопротивлению.
ω
I
0
ω
0
Рис. 120. Резонансные кривые при различных R
Таким образом, резонансный пик тем острее, чем меньше активное сопротивление контура.
При весьма большом активном сопротивлении (как это видно из нижней резонансной кривой)
понятие резонанса фактически утрачивает смысл.
При резонансе в контуре происходят любопытные вещи.
1. Амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке равны друг другу. Действительно:
U
C0
= I
0
1
ω
0
C
=
U
0
R
L
C
;
U
L0
= I
0
ω
0
L =
U
0
R
L
C
.
130

При малых значениях R эти амплитуды могут значительно превосходить амплитуду U
0
напряжения источника! Это, кстати, является наглядной демонстрацией одного важного
факта:
Хотя сумма мгновенных значений напряжения на элементах контура равна мгновен-
ному значению напряжению источника, сумма амплитуд напряжений на отдельных
элементах может и не быть равной амплитуде напряжения источника.
2. Равен нулю сдвиг фаз между током в контуре и напряжением источника: α = 0. Матема-
тически мы это видим из соотношения (
113
): при ω = ω
0
получается tg α = 0.
Физическую причину синфазности тока и напряжения понять также не сложно. Дело
в том, что напряжения U
C
и U
L
на конденсаторе и катушке колеблются в противофазе
(т. е. разность фаз между ними равна π), а их амплитуды при резонансе равны. Стало
быть, они отличаются только знаком: U
L
= −U
C
, и в сумме дают нуль. Получается, что
U = U
R
+ U
L
+ U
C
= U
R
(словно бы в цепи имелся один только резистор), а колебания
напряжения и тока на резисторе происходят синфазно.
Резонанс играет важнейшую роль в радиосвязи. Когда осуществляется приём радиосигна-
ла, радиоволны различных частот возбуждают в контуре колебания. Но амплитуды колебаний
будут малы для сигналов тех радиостанций, частоты которых отличаются от собственной ча-
стоты контура. Контур выделяет лишь ту радиоволну, частота которой равна его собственной
частоте; именно эти колебания будут иметь значительную амплитуду.
Поэтому, когда мы настраиваем приёмник на какую-то радиостанцию, мы меняем собствен-
ную частоту контура (как правило, путём изменения ёмкости конденсатора), пока не наступит
резонанс с искомой радиоволной.
131

24
Мощность переменного тока
Переменный ток несёт энергию. Поэтому крайне важным является вопрос о мощности в цепи
переменного тока.
Пусть U и I — мгновенные значение напряжения и силы тока на данном участке цепи. Возь-
мём малый интервал времени dt — настолько малый, что напряжение и ток не успеют за это
время сколько-нибудь измениться; иными словами, величины U и I можно считать постоянны-
ми в течение интервала dt.
Пусть за время dt через наш участок прошёл заряд dq = Idt (в соответствии с правилом
выбора знака для силы тока заряд dq считается положительным, если он переносится в положи-
тельном направлении, и отрицательным в противном случае). Электрическое поле движущихся
зарядов совершило при этом работу
dA = U dq = U Idt.
Мощность тока P — это отношение работы электрического поля ко времени, за которое эта
работа совершена:
P =
dA
dt
= U I.
(118)
Точно такую же формулу мы получили в своё время для постоянного тока. Но в данном слу-
чае мощность зависит от времени, совершая колебания вместе током и напряжением; поэтому
величина (
118
) называется ещё мгновенной мощностью.
Из-за наличия сдвига фаз сила тока и напряжение на участке не обязаны совпадать по знаку
(например, может случиться так, что напряжение положительно, а сила тока отрицательна, или
наоборот). Соответственно, мощность может быть как положительной, так и отрицательной.
Рассмотрим чуть подробнее оба этих случая.
1. Мощность положительна: P > 0. Напряжение и сила тока имеют одинаковые знаки. Это
означает, что направление тока совпадает с направлением электрического поля зарядов,
образующих ток. В таком случае энергия участка возрастает: она поступает на данный
участок из внешней цепи (например, конденсатор заряжается).
2. Мощность отрицательна: P < 0. Напряжение и сила тока имеют разные знаки. Стало
быть, ток течёт против поля движущихся зарядов, образующих этот самый ток.
Как такое может случиться? Очень просто: электрическое поле, возникающее на участке,
как бы «перевешивает» поле движущихся зарядов и «продавливает» ток против этого
поля. В таком случае энергия участка убывает: участок отдаёт энергию во внешнюю
цепь (например, конденсатор разряжается).
Если вы не вполне поняли, о чём только что шла речь, не переживайте — дальше будут
конкретные примеры, на которых вы всё и увидите.
24.1
Мощность тока через резистор
Пусть переменный ток I = I
0
sin ωt протекает через резистор сопротивлением R. Напряжение
на резисторе, как нам известно, колеблется в фазе с током:
U = IR = I
0
R sin ωt = U
0
sin ωt.
Поэтому для мгновенной мощности получаем:
P = U I = U
0
I
0
sin
2
ωt,
132

или
P = P
0
sin
2
ωt.
(119)
График зависимости мощности (
119
) от времени представлен на рис.
121
. Мы видим, что
мощность всё время неотрицательна — резистор забирает энергию из цепи, но не возвращает
её обратно в цепь.
t
P
0
P
0
Рис. 121. Мощность переменного тока через резистор
Максимальное значение P
0
нашей мощности связано с амплитудами тока и напряжения
привычными формулами:
P
0
= U
0
I
0
= I
2
0
R =
U
2
0
R
.
На практике, однако, интерес представляет не максимальная, а средняя мощность тока. Это
и понятно. Возьмите, например, обычную лампочку, которая горит у вас дома. По ней течёт ток
частотой 50 Гц, т. е. за секунду совершается 50 колебаний силы тока и напряжения. Ясно, что
за достаточно продолжительное время на лампочке выделяется некоторая средняя мощность,
значение которой находится где-то между 0 и P
0
. Где же именно?
Посмотрите ещё раз внимательно на рис. 1. Не возникает ли у вас интуитивное ощуще-
ние, что средняя мощность соответствует «середине» нашей синусоиды и принимает поэтому
значение P
0
/2?
Это ощущение совершенно верное! Так оно и есть. Разумеется, можно дать математически
строгое определение среднего значения функции (в виде некоторого интеграла) и подтвердить
нашу догадку прямым вычислением, но нам это не нужно. Достаточно интуитивного понимания
простого и важного факта:
среднее значение квадрата синуса (или косинуса) за период равно 1/2.
Этот факт иллюстрируется рисунком
122
.
x
y
0
y = sin
2
x
1
1
2
Рис. 122. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2
Итак, для среднего значения P мощности тока на резисторе имеем:
P =
P
0
2
=
U
0
I
0
2
=
I
2
0
R
2
=
U
2
0
2R
.
(120)
133

В связи с этими формулами вводятся так называемые действующие (или эффективные)
значения напряжения и силы тока
47
:
U =
U
0

2
,
I =
I
0

2
.
(121)
Формулы (
120
), записанные через действующие значения, полностью аналогичны соответ-
ствующим формулам для постоянного тока:
P = U I = I
2
R =
U
2
R
.
Поэтому если вы возьмёте лампочку, подключите её сначала к источнику постоянного напря-
жения U , а затем к источнику переменного напряжения с таким же действующим значением U ,
то в обоих случаях лампочка будет гореть одинаково ярко.
Действующие значения (
121
) чрезвычайно важны для практики. Оказывается, вольтметры
и амперметры переменного тока показывают именно действующие значения (так уж они
устроены). Знайте также, что пресловутые 220 вольт из розетки — это действующее значение
напряжения бытовой электросети.
24.2
Мощность тока через конденсатор
Пусть на конденсатор подано переменное напряжение U = U
0
sin ωt. Как мы знаем, ток через
конденсатор опережает по фазе напряжение на π/2:
I = I
0
sin ωt +
π
2
= I
0
cos ωt.
Для мгновенной мощности получаем:
P = U I = U
0
I
0
sin ωt cos ωt =
1
2
U
0
I
0
sin 2ωt,
или
P = P
0
sin 2ωt.
(122)
Здесь введено обозначение P
0
= U
0
I
0
/2. График зависимости (
122
) мгновенной мощности от
времени представлен на рис.
123
.
t
P
0
P
0
−P
0
Рис. 123. Мощность переменного тока через конденсатор
Чему равно среднее значение мощности? Оно соответствует «середине» синусоиды и в дан-
ном случае равно нулю! Мы видим это сейчас как математический факт. Но интересно было
47
На самом деле это есть не что иное, как средние квадратические значения напряжения и тока. Такое вам
уже встречалось: средняя квадратическая скорость молекул идеального газа.
134

бы с физической точки зрения понять, почему мощность тока через конденсатор оказывается
нулевой.
Для этого давайте нарисуем графики напряжения и силы тока в конденсаторе на протяже-
нии одного периода колебаний (рис.
124
).
t
U, I
0
U = U (t)
I = I(t)
T
4
T
2
3T
4
T
Рис. 124. Напряжение на конденсаторе и сила тока через него
Рассмотрим последовательно все четыре четверти периода.
1. Первая четверть, 0 < t < T /4. Напряжение положительно и возрастает. Ток положите-
лен (течёт в положительном направлении), конденсатор заряжается. По мере увеличения
заряда на конденсаторе сила тока убывает.
Мгновенная мощность положительна: конденсатор накапливает энергию, поступающую
из внешней цепи. Эта энергия возникает за счёт работы внешнего электрического поля,
продвигающего заряды на конденсатор.
2. Вторая четверть, T /4 < t < T /2. Напряжение продолжает оставаться положительным,
но идёт на убыль. Ток меняет направление и становится отрицательным: конденсатор
разряжается против направления внешнего электрического поля. В конце второй четверти
конденсатор полностью разряжен.
Мгновенная мощность отрицательна: конденсатор отдаёт энергию. Эта энергия возвра-
щается в цепь: она идёт на совершение работы против электрического поля внешней цепи
(конденсатор как бы «продавливает» заряды в направлении, противоположном тому, в
котором внешнее поле «хочет» их двигать).
3. Третья четверть, T /2 < t < 3T /4. Внешнее электрическое поле меняет направление:
напряжение отрицательно и возрастает по модулю. Сила тока отрицательна: идёт зарядка
конденсатора в отрицательном направлении.
Ситуация полностью аналогична первой четверти, только знаки напряжения и тока —
противоположные. Мощность положительна: конденсатор вновь накапливает энергию.
4. Четвёртая четверть, 3T /4 < t < T . Напряжение отрицательно и убывает по модулю.
Конденсатор разряжается против внешнего поля: сила тока положительна.
Мощность отрицательна: конденсатор возвращает энергию в цепь. Ситуация аналогична
второй четверти — опять-таки с заменой заменой знаков тока и напряжения на противо-
положные.
Мы видим, что энергия, забранная конденсатором из внешней цепи в ходе первой четверти
периода колебаний, полностью возвращается в цепь в ходе второй четверти. Затем этот про-
цесс повторяется вновь и вновь. Вот почему средняя мощность, потребляемая конденсатором,
оказывается равной нулю.
135

24.3
Мощность тока через катушку
Пусть на катушку подано переменное напряжение U = U
0
sin ωt. Ток через катушку отстаёт по
фазе от напряжения на π/2:
I = I
0
sin ωt −
π
2
= −I
0
cos ωt.
Для мгновенной мощности получаем:
P = U I = −U
0
I
0
sin ωt cos ωt = −
1
2
U
0
I
0
sin 2ωt = −P
0
sin 2ωt.
Снова средняя мощность оказывается равной нулю. Причины этого, в общем-то, те же, что
и в случае с конденсатором. Рассмотрим графики напряжения и силы тока через катушку за
период (рис.
125
).
t
U, I
O
U = U (t)
I = I(t)
T
4
T
2
3T
4
T
Рис. 125. Напряжение на катушке и сила тока через неё
Мы видим, что в течение второй и четвёртой четвертей периода энергия поступает в катушку
из внешней цепи. В самом деле, напряжение и сила тока имеют одинаковые знаки, сила тока
возрастает по модулю; для создания тока внешнее электрическое поле совершает работу против
вихревого электрического поля, и эта работа идёт на увеличение энергии магнитного поля
катушки.
В первой и третьей четвертях периода напряжение и сила тока имеют разные знаки: катушка
возвращает энергию в цепь. Вихревое электрическое поле, поддерживающее убывающий ток,
двигает заряды против внешнего электрического поля и совершает тем самым положительную
работу. А за счёт чего совершается эта работа? За счёт энергии, накопленной ранее в катушке.
Таким образом, энергия, запасаемая в катушке за одну четверть периода, полностью возвра-
щается в цепь в ходе следующей четверти. Поэтому средняя мощность, потребляемая катушкой,
оказывается равной нулю.
Мощность тока на произвольном участке
Теперь рассмотрим самый общий случай. Пусть имеется произвольный участок цепи — он
может содержать резисторы, конденсаторы, катушки. . . На этот участок подано переменное
напряжение U = U
0
sin ωt.
Как мы знаем из предыдущего раздела «Переменный ток. 2», между напряжением и силой
тока на данном участке имеется некоторый сдвиг фаз α. Мы записывали это так:
I = I
0
sin(ωt − α).
136

Тогда для мгновенной мощности имеем:
P = U
0
I
0
sin ωt sin(ωt − α).
(123)
Теперь нам хотелось бы определить, чему равна средняя мощность. Для этого мы преобра-
зуем выражение (
123
), используя формулу:
sin x sin y =
1
2
(cos(x − y) − cos(x + y)).
В результате получим:
P =
1
2
U
0
I
0
(cos α − cos(2ωt − α)).
(124)
Но среднее значение величины cos(2ωt − α) равно нулю! Поэтому средняя мощность оказы-
вается равной:
P =
1
2
U
0
I
0
cos α.
(125)
Данную формулу можно записать с помощью действующих значений (
121
) напряжения и
силы тока:
P = U I cos α.
Формула (
125
) охватывает все три рассмотренные выше ситуации. В случае резистора имеем
α = 0, и мы приходим к формуле (
120
). Для конденсатора и катушки α = π/2, и средняя
мощность равна нулю.
Кроме того, формула (
125
) даёт представление о весьма общей проблеме, связанной с пере-
дачей электроэнергии. Чрезвычайно важно, чтобы cos α у потребителя был как можно ближе к
единице. Иначе потребитель начнёт возвращать значительную часть энергии назад в сеть (что
ему совсем невыгодно), и к тому же возвращаемая энергия будет безвозвратно расходоваться
на нагревание проводов и других элементов цепи.
С этой проблемой приходится сталкиваться разработчикам электрических схем, содержа-
щих электродвигатели. Обмотки электродвигателей обладают большими индуктивностями, и
возникает ситуация, близкая к «чистой» катушке. Чтобы избежать бесполезного циркулирова-
ния энергии по сети, в цепь включают дополнительные элементы, сдвигающие фазу — напри-
мер, так называемые компенсирующие конденсаторы.
137

25
Электроэнергия
Электрическая энергия играет в нашей жизни исключительную роль. Если в доме нет света, мы
оказываемся практически беспомощны. Функционирование предприятий, средств транспорта,
коммуникаций и прочих достижений цивилизации основано на использовании электроэнергии.
Электроэнергия обладает замечательными свойствами, которые и обеспечивают возмож-
ность её повсеместного применения.
• Простота производства. В мире функционирует огромное множество разнообразных ге-
нераторов электроэнергии.
• Передача на большие расстояния. Электроэнергия транспортируется по высоковольтным
линиям электропередачи без существенных потерь.
• Преобразование в другие виды энергии. Электроэнергия легко преобразуется в механиче-
скую энергию (электродвигатели), внутреннюю энергию (нагревательные приборы), энер-
гию света (осветительные приборы) и т. д.
• Распределение между потребителями. Специальные устройства позволяют распределять
электроэнергию между потребителями с самыми разными «запросами» — промышленны-
ми предприятиями, городскими электросетями, жилыми домами и т. д.
Рассмотрим подробнее вопросы, связанные с производством, передачей и потреблением элек-
трической энергии.
25.1
Производство электроэнергии
Среди генераторов электроэнергии наиболее распространены электромеханические генерато-
ры переменного тока. Они преобразуют механическую энергию вращения ротора в энергию
индукционного переменного тока, возникающего благодаря явлению электромагнитной индук-
ции.
На рис.
126
проиллюстрирована основная идея генератора переменного тока: проводящая
рамка (называемая якорем) вращается в магнитном поле.
B
n
ϕ
ω
Рис. 126. Схема генератора переменного тока
Магнитный поток сквозь рамку меняется со временем и порождает ЭДС индукции, которая
приводит к возникновению индукционного тока в рамке. С помощью специальных приспособ-
лений (колец и щёток) переменный ток передаётся из рамки во внешнюю цепь.
Если рамка вращается в однородном магнитном поле B с постоянной угловой скоростью ω,
то возникающий переменный ток будет синусоидальным. Давайте убедимся в этом.
138

Выберем направление вектора нормали n к плоскости рамки. Вектор n, таким образом,
вращается вместе с рамкой. Направление обхода рамки считается положительным, если с конца
вектора n этот обход видится против часовой стрелки.
Напомним, что ток считается положительным, если он течёт в положительном направлении
(и отрицательным в противном случае). ЭДС индукции считается положительной, если она
создаёт ток в положительном направлении (и отрицательной в противном случае).
Предположим, что в начальный момент времени векторы n и B сонаправлены. За время t
рамка повернётся на угол ϕ = ωt. Магнитный поток через рамку в момент времени t равен:
Φ = BS cos ϕ = BS cos ωt,
(126)
где S — площадь рамки. Дифференцируя по времени, находим ЭДС индукции:
e = − ˙
Φ = BSω sin ωt.
(127)
Если сопротивление рамки равно R, то в ней возникает ток:
i =
e
R
=
BSω
R
sin ωt.
(128)
Как видим, ток действительно меняется по гармоническому закону, то есть является синусои-
дальным.
В реальных генераторах переменного тока рамка содержит не один виток, как в нашей
схеме, а большое число N витков. Это позволяет увеличить в N раз ЭДС индукции в рамке.
Почему?
Объяснить это несложно. В самом деле, магнитный поток через каждый виток площади S
по-прежнему определяется выражением (
126
), так что ЭДС индукции в одном витке согласно
формуле (
127
) равна: e
1
= BSω sin ωt. Все эти ЭДС индукции, возникающие в каждом витке,
складываются друг с другом, и суммарная ЭДС в рамке окажется равной:
e = N e
1
= N BSω sin ωt.
Сила тока в рамке:
i =
N BSω
R
sin ωt,
где R есть по-прежнему сопротивление рамки.
Кроме того, рамку снабжают железным (или стальным) сердечником. Железо многократно
усиливает магнитное поле внутри себя, и поэтому наличие сердечника позволяет увеличить
магнитный поток сквозь рамку в сотни и даже тысячи раз. В результате, как следует из формул
(
127
) и (
128
), ЭДС индукции и ток в рамке увеличатся во столько же раз.
25.2
Передача электроэнергии
Электроэнергия производится в основном на тепловых электростанциях (ТЭС), гидроэлектро-
станциях (ГЭС) и атомных электростанциях (АЭС).
Роторы генераторов ТЭС вращаются за счёт энергии сгорающего топлива (чаще всего этим
топливом является уголь). Экономически целесообразным является строительство ТЭС вблизи
крупных угольных месторождений.
Роторы генераторов ГЭС приводятся во вращение энергией падающей воды. Поэтому ГЭС
строятся на реках.
В любом случае возникает проблема передачи выработанной электроэнергии потребителям,
находящимся за много километров от электростанций.
139

Электроэнергия транспортируется по проводам. Потери энергии на нагревание проводов
должны быть сведены к минимуму. Оказывается, для этого нужно высокое напряжение в линии
электропередачи. Покажем это.
Рассмотрим двухпроводную линию электропередачи, связывающую источник переменного
напряжения u с потребителем П (рис.
127
).
∼ u
l
П
Рис. 127. Передача электроэнергии по двухпроводной линии
Длина линии равна l, так что общая длина проводов составит 2l. Если ρ — удельное со-
противление материала провода, S — площадь поперечного сечения провода, то сопротивление
линии будет равно:
R =
2ρl
S
.
(129)
Потребителю должна быть передана мощность с заданным действующим значением P . Обо-
значим через U и I действующие значения напряжения в линии и силы тока. Если α — сдвиг
фаз между током и напряжением, то, как мы знаем из предыдущего листка, P = U I cos α.
Отсюда
I =
P
U cos α
.
(130)


1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13


©emirsaba.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал