Компания «Ваш репетитор» Электродинамика

Хорошую возможность поупражняться в нахождении направлений магнитного поля и си-
лы Ампера даёт взаимодействие параллельных токов. Оказывается, два параллельных провода
отталкиваются, если направления токов в них противоположны, и притягиваются, если направ-
ления токов совпадают (рис.
85
).
I
1
I
2
I
1
I
2
Рис. 85. Взаимодействие параллельных токов
Обязательно убедитесь в этом самостоятельно! Делаем так. Сначала берём произвольную
точку на первом проводе и определяем направление магнитного поля, создаваемого в этой
точке вторым проводом (правило вам известно — см. предыдущий листок). Ну а затем находим
направление силы Ампера, действующей на первый провод со стороны магнитного поля второго
провода.
18.3
Рамка с током в магнитном поле
В листках по термодинамике мы говорили о важности циклически работающих машин: они
снабжают нас энергией. Понимание законов термодинамики позволило сконструировать тепло-
вые двигатели, которые исправно служат нам и по сей день.
Понимание же законов электромагнетизма дало возможность создать циклическую машину
другого типа — электродвигатель.
Мы рассмотрим один из элементов электродвигателя — рамку с током в магнитном поле.
Разобравшись в её поведении, мы сможем уловить основную идею функционирования электро-
двигателя.
Пусть прямоугольная рамка 1234 может вращаться вокруг горизонтальной оси (рис.
86
,
слева). Рамка находится в вертикальном однородном магнитном поле B. Ток течёт по рамке в
направлении 1 → 2 → 3 → 4 → 1; это направление показано соответствующими стрелками.
1
2
3
4
F
14
F
23
F
12
F
34
B
n
ϕ
1
2
F
14
F
23
B
n
ϕ
ϕ
O
A
Вид справа
Рис. 86. Рамка с током в магнитном поле
Вектор n называется вектором нормали; он перпендикулярен плоскости рамки и направлен
туда, глядя откуда ток кажется циркулирующим против часовой стрелки. (Иными словами,
94

вектор n сонаправлен с вектором индукции магнитного поля, которое создаётся током в рамке.)
Поворот рамки измеряется углом ϕ между векторами n и B.
Теперь определим направления сил Ампера, которые действуют на рамку со стороны маг-
нитного поля. Эти силы расставлены на рисунке; вот вам ещё одно упражнение на правило
часовой стрелки (левой руки) — обязательно проверьте правильность указанных направлений!
Силы F
12
и F
34
, приложенные к сторонам 12 и 34, действуют вдоль оси вращения. Они лишь
растягивают рамку и не вызывают её вращение.
Куда более интересны силы F
23
и F
14
, приложеные соответственно к сторонам 23 и 14. Они
лежат в горизонтальной плоскости и перпендикулярны оси вращения. Эти силы вращают рам-
ку в направлении по часовой стрелке, если смотреть справа (рис.
86
, правая часть). Вычислим
момент этой пары сил относительно оси O вращения рамки.
Пусть длина стороны 14 равна a. Тогда
F
14
= F
23
= IBa.
Пусть длина стороны 12 равна b. Плечо d силы F
14
, как видно из рис.
86
(справа) равно:
d = OA =
b
2
sin ϕ.
Таким же будет плечо силы F
23
. Отсюда получаем момент сил, вращающий рамку:
M = F
14
d + F
23
d = IBa ·
b
2
sin ϕ + IBa ·
b
2
sin ϕ = IBab sin ϕ.
Теперь заметим, что ab = S — площадь рамки. Окончательно имеем:
M = IBS sin ϕ.
(74)
В этой формуле площадь служит единственной геометрической характеристикой рамки. Это
наводит на мысль, что только площадь рамки и существенна в выражении для вращающего
момента. И действительно, можно доказать
40
, что формула (
74
) справедлива для рамки любой
формы с площадью S.
Как видно из формулы (
74
), максимальный вращающий момент равен:
M
max
= IBS.
Эта максимальная величина момента достигается при ϕ = π/2, то есть когда плоскость рамки
параллельна магнитному полю.
Вращающий момент становится равным нулю при ϕ = 0 и ϕ = π. Оба этих положения
по-своему интересны.
При ϕ = π плоскость рамки перпендикулярна полю, а векторы n и B направлены в раз-
ные стороны. Данное положение является положением неустойчивого равновенсия: стоит хоть
немного шевельнуть рамку, как силы Ампера начнут её вращать в том же направлении, пово-
рачивая вектор n к вектору B (убедитесь!).
При ϕ = 0 плоскость рамки также перпендикулярна полю, а векторы n и B сонаправлены.
Это — положение устойчивого равновенсия: при отклонении рамки возникает вращающий мо-
мент, стремящийся вернуть рамку назад (убедитесь!). Начнутся колебания рамки, постепенно
затухающие из-за трения. В конце концов рамка остановится в положении ϕ = 0; в этом поло-
жении вектор индукции магнитного поля рамки сонаправлен с вектором B индукции внешнего
40
Разбивая рамку на бесконечно узкие полоски, неотличимые от прямоугольников.
95

магнитного поля
41
. Полезное сопоставление: рамка занимает такое положение, что её поло-
жительная нормаль ориентируется в том же направлении, что и северный конец стрелки
компаса, помещённой в это магнитное поле.
Таким образом, поведение рамки в магнитном поле становится ясным: если отклонить рамку
от положения устойчивого равновесия и отпустить, то рамка будет совершать колебания. С
точки зрения совершения механической работы это не очень хорошо: если намотать нить на
ось вращения и подвесить к нити груз, то груз будет то подниматься, то опускаться.
Но вот если исхитриться и заставить ток менять направление в нужные моменты, то вместо
колебаний рамки начнётся её непрерывное вращение и, соответственно, непрерывный подъём
подвешенного груза. Тогда-то и получится полноценный электродвигатель; идея с переменой
направления тока реализуется с помощью коллектора и щёток.
41
Вот почему при намагничивании вещества элементарные токи ориентируются так, что их поля направлены
в сторону внешнего магнитного поля.
96

19
Электромагнитная индукция
Опыт Эрстеда показал, что электрический ток создаёт в окружающем пространстве магнитное
поле. Майкл Фарадей пришёл к мысли, что может существовать и обратный эффект: магнитное
поле, в свою очередь, порождает электрический ток.
Иными словами, пусть в магнитном поле находится замкнутый проводник; не будет ли в
этом проводнике возникать электрический ток под действием магнитного поля?
Через десять лет поисков и экспериментов Фарадею наконец удалось этот эффект обнару-
жить. В 1831 году он поставил следующие опыты.
1. На одну и ту же деревянную основу были намотаны две катушки; витки второй катушки
были проложены между витками первой и изолированы. Выводы первой катушки подклю-
чались к источнику тока, выводы второй катушки — к гальванометру
42
. Таким образом,
получались два контура: «источник тока — первая катушка» и «вторая катушка — галь-
ванометр». Электрического контакта между контурами не было, только лишь магнитное
поле первой катушки пронизывало вторую катушку.
При замыкании цепи первой катушки гальванометр регистрировал короткий и слабый
импульс тока во второй катушке.
Когда по первой катушке протекал постоянный ток, никакого тока во второй катушке не
возникало.
При размыкании цепи первой катушки снова возникал короткий и слабый импульс тока
во второй катушке, но на сей раз в обратном направлении по сравнению с током при
замыкании цепи.
Вывод.
Меняющееся во времени магнитное поле первой катушки порождает (или, как говорят,
индуцирует) электрический ток во второй катушке. Этот ток называется индукционным
током.
Если магнитное поле первой катушки увеличивается (в момент нарастания тока при за-
мыкании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в одном направлении.
Если магнитное поле первой катушки уменьшается (в момент убывания тока при размы-
кании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в другом направлении.
Если магнитное поле первой катушки не меняется (постоянный ток через неё), то индук-
ционного тока во второй катушке нет.
Обнаруженное явление Фарадей назвал электромагнитной индукцией (т. е. «наведение
электричества магнетизмом»).
2. Для подтверждения догадки о том, что индукционный ток порождается переменным маг-
нитным полем, Фарадей перемещал катушки друг относительно друга. Цепь первой ка-
тушки всё время оставалась замкнутой, по ней протекал постоянный ток, но за счёт пере-
мещения (сближения или удаления) вторая катушка оказывалась в переменном магнит-
ном поле первой катушки.
Гальванометр снова фиксировал ток во второй катушке. Индукционный ток имел одно
направление при сближении катушек, и другое — при их удалении. При этом сила ин-
дукционного тока была тем больше, чем быстрее перемещались катушки.
42
Гальванометр — чувствительный прибор для измерения малых токов.
97

3. Первая катушка была заменена постоянным магнитом. При внесении магнита внутрь вто-
рой катушки возникал индукционный ток. При выдвигании магнита снова появлялся ток,
но в другом направлении. И опять-таки сила индукционного тока была тем больше, чем
быстрее двигался магнит.
Эти и последующие опыты показали, что индукционный ток в проводящем контуре возника-
ет во всех тех случаях, когда меняется «количество линий» магнитного поля, пронизывающих
контур. Сила индукционного тока оказывается тем больше, чем быстрее меняется это количе-
ство линий. Направление тока будет одним при увеличении количества линий сквозь контур, и
другим — при их уменьшении.
Замечательно, что для величины силы тока в данном контуре важна лишь скорость изме-
нения количества линий. Что конкретно при этом происходит, роли не играет — меняется ли
само поле, пронизывающее неподвижный контур, или же контур перемещается из области с
одной густотой линий в область с другой густотой.
Такова суть закона электромагнитной индукции. Но, чтобы написать формулу и произ-
водить расчёты, нужно чётко формализовать расплывчатое понятие «количество линий поля
сквозь контур».
19.1
Магнитный поток
Понятие магнитного потока как раз и является характеристикой количества линий магнитного
поля, пронизывающих контур.
B
Рис. 87. Φ = BS
Для простоты мы ограничиваемся случаем однородного
магнитного поля. Рассмотрим контур площади S, находящий-
ся в магнитном поле с индукцией B.
Пусть сначала магнитное поле перпендикулярно плоскости
контура (рис.
87
).
В этом случае магнитный поток Φ определяется очень про-
сто — как произведение индукции магнитного поля на пло-
щадь контура:
Φ = BS.
(75)
Теперь рассмотрим общий случай, когда вектор B образует угол α с нормалью к плоскости
контура (рис.
88
).
B
B
⊥
α
Рис. 88. Φ = BS cos α
Мы видим, что теперь сквозь контур «протекает» лишь
перпендикулярная составляющая B
⊥
вектора магнитной ин-
дукции B (а та составляющая, которая параллельна контуру,
не «течёт» сквозь него). Поэтому, согласно формуле (
75
), име-
ем: Φ = B
⊥
S. Но B
⊥
= B cos α, поэтому
Φ = BS cos α.
(76)
Это и есть общее определение магнитного потока в случае
однородного магнитного поля. Обратим внимание на следую-
щие две ситуации.
• Если вектор B перпендикулярен плоскости контура, то α = 0. Тогда cos α = 1, и мы снова
приходим к формуле (
75
).
• Если вектор B параллелен плоскости контура (то есть α = 90
◦
), то cos α = 0 и магнитный
поток становится равным нулю (магнитное поле вообще не «течёт» сквозь контур).
98

А как определить магнитный поток, если поле не является однородным? Укажем лишь
идею. Поверхность контура разбивается на очень большое число очень маленьких площадок,
в пределах которых поле можно считать однородным. Для каждой площадки вычисляем свой
маленький магнитный поток по формуле (
76
), а затем все эти магнитные потоки суммируем.
Единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб). Как видим,
Вб = Тл · м
2
= В · с.
(77)
Почему же магнитный поток характеризует «количество линий» магнитного поля, прони-
зывающих контур? Очень просто. «Количество линий» определяется их густотой (а значит,
величиной B — ведь чем больше индукция, тем гуще линии) и «эффективной» площадью, про-
низываемой полем (а это есть не что иное, как S cos α). Но множители B и S cos α как раз и
образуют магнитный поток!
Теперь мы можем дать более чёткое определение явления электромагнитной индукции, от-
крытого Фарадеем.
Электромагнитная индукция — это явление возникновения электрического тока в зам-
кнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего контур.
19.2
ЭДС индукции
Каков механизм возникновения индукционного тока? Это мы обсудим позже. Пока ясно одно:
при изменении магнитного потока, проходящего через контур, на свободные заряды в контуре
действуют некоторые силы — сторонние силы, вызывающие движение зарядов.
Как мы знаем, работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда
вокруг контура называется электродвижущей силой (ЭДС):
E = A
ст
/q. В нашем случае, когда
меняется магнитный поток сквозь контур, соответствующая ЭДС называется ЭДС индукции и
обозначается
E
i
.
Итак, ЭДС индукции
E
i
— это работа сторонних сил, возникающих при изменении маг-
нитного потока через контур, по перемещению единичного положительного заряда вокруг
контура.
Природу сторонних сил, возникающих в данном случае в контуре, мы скоро выясним.
19.3
Закон электромагнитной индукции Фарадея
Сила индукционного тока в опытах Фарадея оказывалась тем больше, чем быстрее менялся
магнитный поток через контур.
Если за малое время ∆t изменение магнитного потока равно ∆Φ, то скорость изменения
магнитного потока — это дробь ∆Φ/∆t (или, что то же самое, производная ˙
Φ магнитного потока
по времени).
Опыты показали, что сила индукционного тока I прямо пропорциональна модулю скорости
изменения магнитного потока:
I ∼
∆Φ
∆t
.
Модуль поставлен для того, чтобы не связываться пока с отрицательными величинами (ведь
при убывании магнитного потока будет ∆Φ < 0). Впоследствии мы это модуль снимем.
Из закона Ома для полной цепи мы в то же время имеем: I ∼
E
i
. Поэтому ЭДС индукции
прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока:
E
i
∼
∆Φ
∆t
.
(78)
99

ЭДС измеряется в вольтах. Но и скорость изменения магнитного потока также измеряется в
вольтах! Действительно, из (
77
) мы видим, что Вб/с = В. Стало быть, единицы измерения обе-
их частей пропорциональности (
78
) совпадают, поэтому коэффициент пропорциональности —
величина безразмерная. В системе СИ она полагается равной единице, и мы получаем:
E
i
=
∆Φ
∆t
= | ˙
Φ|.
(79)
Это и есть закон электромагнитной индукции или закон Фарадея. Дадим его словесную фор-
мулировку.
Закон электромагнитной индукции Фарадея. При изменении магнитного потока, про-
низывающего контур, в этом контуре возникает ЭДС индукции, равная модулю скорости
изменения магнитного потока.
19.4
Правило Ленца
Магнитный поток, изменение которого приводит к появлению индукционного тока в контуре,
мы будем называть внешним магнитным потоком. А само магнитное поле, которое создаёт
этот магнитный поток, мы будем называть внешним магнитным полем.
Зачем нам эти термины? Дело в том, что индукционный ток, возникающий в контуре, созда-
ёт своё собственное магнитное поле, которое по принципу суперпозиции складывается с внеш-
ним магнитным полем. Соответственно, наряду с внешним магнитным потоком через контур
будет проходить собственный магнитный поток, создаваемый магнитным полем индукционного
тока.
Оказывается, эти два магнитных потока — собственный и внешний — связаны между собой
строго определённым образом.
Правило Ленца. Индукционный ток всегда имеет такое направление, что собственный маг-
нитный поток препятствует изменению внешнего магнитного потока.
Правило Ленца позволяет находить направление индукционного тока в любой ситуации.
Рассмотрим некоторые примеры применения правила Ленца.
Предположим, что контур пронизывается магнитным полем, которое возрастает со време-
нем (рис.
89
). Например, мы приближаем снизу к контуру магнит, северный полюс которого
направлен в данном случае вверх, к контуру.
I
Внешнее поле возрастает
Поле индукционного тока
Рис. 89. Магнитный поток возрастает
Магнитный поток через контур увеличивается. Индукционный ток будет иметь такое на-
правление, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал увеличению внешнего маг-
нитного потока. Для этого магнитное поле, создаваемое индукционным током, должно быть
направлено против внешнего магнитного поля.
100

Индукционный ток течёт против часовой стрелки, если смотреть со стороны создаваемого
им магнитного поля. В данном случае ток будет направлен по часовой стрелке, если смотреть
сверху, со стороны внешнего магнитного поля, как и показано на (рис.
89
).
Теперь предположим, что магнитное поле, пронизывающее контур, уменьшается со вре-
менем (рис.
90
). Например, мы удаляем магнит вниз от контура, а северный полюс магнита
направлен на контур.
I
Внешнее поле убывает
Поле индукционного тока
Рис. 90. Магнитный поток убывает
Магнитный поток через контур уменьшается. Индукционный ток будет иметь такое на-
правление, чтобы его собственный магнитный поток поддерживал внешний магнитный поток,
препятствуя его убыванию. Для этого магнитное поле индукционного тока должно быть на-
правлено в ту же сторону, что и внешнее магнитное поле.
В этом случае индукционный ток потечёт против часовой стрелки, если смотреть сверху, со
стороны обоих магнитных полей.
19.5
Взаимодействие магнита с контуром
Итак, приближение или удаление магнита приводит к появлению в контуре индукционного
тока, направление которого определяется правилом Ленца. Но ведь магнитное поле действует
на ток! Появится сила Ампера, действующая на контур со стороны поля магнита. Куда будет
направлена эта сила?
Если вы хотите хорошо разобраться в правиле Ленца и в определении направления силы
Ампера, попробуйте ответить на данный вопрос самостоятельно. Это не очень простое упраж-
нение. Рассмотрите четыре возможных случая.
1. Магнит приближаем к контуру, северный полюс направлен на контур.
2. Магнит удаляем от контура, северный полюс направлен на контур.
3. Магнит приближаем к контуру, южный полюс направлен на контур.
4. Магнит удаляем от контура, южный полюс направлен на контур.
Не забывайте, что поле магнита не однородно: линии поля расходятся от северного полюса
и сходятся к южному. Это очень существенно для определения результирующей силы Ампера.
Результат получается следующий.
Если приближать магнит, то контур отталкивается от магнита. Если удалять маг-
нит, то контур притягивается к магниту. Таким образом, если контур подвешен на нити,
то он всегда будет отклоняться в сторону движения магнита, словно следуя за ним. Распо-
ложение полюсов магнита при этом роли не играет.
Результат этот можно объяснить и из совершенно общих соображений — при помощи закона
сохранения энергии.
101

Допустим, мы приближаем магнит к контуру. В контуре появляется индукционный ток. Но
для создания тока надо совершить работу! Кто её совершает? В конечном счёте — мы, пере-
мещая магнит. Мы совершаем положительную механическую работу, которая преобразуется в
положительную работу возникающих в контуре сторонних сил, создающих индукционный ток.
Итак, наша работа по перемещению магнита должна быть положительна. Это значит, что
мы, приближая магнит, должны преодолевать силу взаимодействия магнита с контуром, кото-
рая, стало быть, является силой отталкивания.
Теперь удаляем магнит. Повторите, пожалуйста, эти рассуждения и убедитесь, что между
магнитом и контуром должна возникнуть сила притяжения.
19.6
Закон Фарадея + Правило Ленца = Снятие модуля
Выше мы обещали снять модуль в законе Фарадея (
79
). Правило Ленца позволяет это сделать.
Но сначала нам нужно будет договориться о знаке ЭДС индукции — ведь без модуля, стоящего в
правой части (
79
), величина ЭДС может получаться как положительной, так и отрицательной.
Прежде всего, фиксируется одно из двух возможных направлений обхода контура. Это на-
правление объявляется положительным. Противоположное направление обхода контура назы-
вается, соответственно, отрицательным. Какое именно направление обхода мы берём в каче-
стве положительного, роли не играет — важно лишь сделать этот выбор.
Магнитный поток через контур считается положительным (Φ > 0), если магнитное поле,
пронизывающее контур, направлено туда, глядя откуда обход контура в положительном на-
правлении совершается против часовой стрелки. Если же с конца вектора магнитной индукции
положительное направление обхода видится по часовой стрелке, то магнитный поток считается
отрицательным (Φ < 0).
ЭДС индукции считается положительной (

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: