Комплекс сандардың физикалық МӘнін анықтау ж. С. Сырым, А. Е. Жұмагалиепа, А. М. Кабу.іова

КОМПЛЕКС САНДАРДЫҢ ФИЗИКАЛЫҚ МӘНІН АНЫҚТАУ

Ж.С.Сырым, А.Е.Жұмагалиепа, А.М.Кабу.іова

Орал ц.

Математика,  физика  ғылымдары  мен  компьютерлік  технологиялардың  соңғы  жетістіктері 

ғылымның  басқа  салаларында  кеңінен  қолданылуда.  Мысалы,  комплекс  сандардың  физикалық  мэнін 

ашу.  Алғашында  түбір  табу  үшін  енгізілген  абстрактілік  жорамал  шама,  кейіннен  күрделі  есептерді 

шығаруға  пайдаланылды.  Ал  сандар  теориясының  дамуы  олардың  көмегімен  физикалық  есептерді 

шығаруға  мүмкіндік  берді.  Сөйтіп,  Күрделі  физикалық  есептерді  сандық  модельдеу  арқылы 

шығарғанда,  комплекс  сандардың  қасиеттерін  пайдаланып,  ондағы  айнымалылар  санын  азайтуға 

болады.

Адамдардың  практикалық  қажеттіліктеріне  байланысты  сандар  туралы  түсінік  кеңейе  түсті. 

Комплекс  сандар,  теріс  сандар  сияқты,  алгебралық  теңдеулерді  шешуден,  математика  ғылымының 

дамуынан пайда болды.  Өзімізге белгілі

а х 2  + Ъх + с  =  0

квадрат теңдеуін (мүндагы  а ,Ь ,с — нақты сандар) шешуде оның түбірлері

- Ъ ± Ъ 2

 -

4а с

нақты  сан  болмауы  мүмкін.  Егер  Ъ2  — 4ас  <  0  болса,  олар  комплекс  сандар  болып  табылады. 

Егер  тек  нақты  сандармен  шектелсек,  онда  х 2  +1  =  0;  2 х 2  + х + 1  =  0  жэне  т.б.  осындай  түрдегі 

көптеген квадрат теңдеулер шешілмес еді.  Бүл тек алгебралық теңдеулердің шешуін ғана емес, физика- 

математикалық үғымдар теориясын қиындатып жібереді.

XVI  ғасырда  италия  математиктері  алгебраның  дамуына  үлкен  үлес  қосты.  Олар  үшінші  жэне 

төртінші  дәрежелі теңдеулерді радикал  бойынша шешті.  Карданоның  1545  жылы жарық көрген «¥лы 

өнер» шығармасында

х 3  + p x  + q  =

 

0

 

(

1

)

түріндегі кубтық теңдеудің алгебралық шеіпу жолы мына формуламен көрсетілді:

немесе қысқаша 

X 

=  

и 

+

 V,  мүндағы

Бүл «Кардано формуласы» деп аталады.

Комплекс  сандардың  «пайдасы»  Декарттың  шеңбер  мен  параболаның  қиылысу  нүктесін  табу 

кезіндегі  аналитикалық  геометриясына  экелді.  Декарт  комплекс  сандар  үшін  ешқандай  анықтама 

болмайды жэне олар эрқашан да тек «жорамал» күйде болады деп есептеді.

Тек XVII ғасырда Дж.  Валлис өзінің «Алгебра, тарихи жэне практикалық трактаты» (1685) деген 

еңбегінде «жорамал» сандарға геометриялық талдау жасау мүмкіндігін көрсетті жэне түзуге түсірілген 

перпендикуляр көмегімен қосу-азайту амалдарын жасады.  Бірақ ол жорамал бірлік (/) үғымын енгізуге 

жете  алмады.  Тек XVIII ғасырдан кейін математикалық талдаудың,  геометрияның жэне  механиканың 

көптеген  есептерін  шығару  комплекс  сандардың  операцияларын  пайдалануды  қажет  етті.  Осылайша 

комплекс сандарды геометриялық түрғыдан зерттеуге қолайлы жағдайлар пайда болды.

1702  жылы  жорамал  сандар логарифмін  пайдаланған Готфрид Вильгельм  Лейбниц  пен  Иоганн 

Бернулли  комплекс  сандарды  дифференциалдық  жэне  интегралдық  есептеулерде  қолданудың  негізін 

салды.  Муаврдың атақты формуласы

(cos<£>±/sin<£>)"  = c o m ( p ± is m n ( p  

(3)

1707 жылы белгілі болды.  Эйлер гармониялық тербелістің дифференциалды теңдеуін қарастыра 

отырып,  1740  жылы  оны  шешудің екі  түрлі жағдайын қарастырды:  2COSX  жэне  е х'  + е  хі.  Олардың 

тең екендігіне көзі жеткен Эйлер мына формуланы енгізді:

е х1  + е~ХІ

c o sx   = -------------. 

(4)

2

1743  жылы  тұракты  коэффициенттері  бар  сызықтық  біртекті  дифференциалдық  теңдеулерге 

арналған еңбектерінің бірінде Эйлер мына формуланы шығарды:

е хг  =

 

cos х 

+ 

і

 

sin  х . 

(5)

Бірінші формуладан ақырғы мынадай формуланы шығаруға болады:

е хі  +е~хі 

е хі- е ~ хі 

COS X  = -------------, 

sin X  = -------------   .

2 

2 і

Бүл  «Эйлер  формуласы».  Олардың  мағынасына  қарай  Эйлер 

былай  деп  жазады:  «Бүдан 

жорамал көрсеткіш сандардың қалай нақты доғалардың синус жэне косинустарына келетіні түсінікті». 

Тригонометриялық 

жэне 

көрсеткіштік 

функциялардың 

арасындағы 

байланыстың 

орнауы 

математикада, эсіресе комплекс сандардың дамуында үлкен рөл атқарады.

Эйлер  мен  Лагранж  комплекстік  айнымалы  үғымын  эр  түрлі  есептерді  шешуге  пайдаланды. 

Соның ішінде әсіресе, географиялық картаны қүрастыру есебінде.

Сөйтіп,  a  + іЪ  түріндегі  жорамал  өлшемдер,  координаттары  а,Ь   болатын  жазықтықтағы 

нүктелер  арқылы  кескінделеді.  Мүндай  кескіндерді  XVIII  ғасырдың  50-жылдарындағы  Даламбер  мен 

Эйлердің  гидродинамика  бойынша 

жүмыстарында  кездестіреміз.  Бірақ  жорамал  шамалардың 

анықтамаларын  Даламбер  мен  Эйлер  нақты  сандар  немесе  жазықтықтагы  нүктелер  деп,  өз 

жүмыстарында қолданды.

1797  жылы  Лазарь  Карно  жазган:  «Ешкім  жорамал  сандармен  жүргізілген  есептеулер 

нэтижесінің  дэлдігіне  күмэн  келтірмейді,  бірақ  олар  магынасыз  алгебралық  формалар  мен  сандар 

иероглифі түрінде көрінеді...».  Карноның осындай көзқарасы, оның комплекс сандардың геометриялық 

магынасын түсінбегендігі еді.

Даламбер  мен  Эйлердің  еңбектерінде  кездесетін  комплекс  сандардың  геометриялық 

тұжырымдамасын көптеген математиктер пайдалана бастады.  Бүл интерпретация  1797 жылы жазылган 

Гаусстьщ  диссертациясында  көрінді.  Атақты  француз  математигі  Жаргонн  1813-1815  жылы  атақты  «таза 

жэне  қолданбалы  математиканың  анналдарын»  жазганнан  кейін  гана  осы  жүмысқа  байланысты 

көптеген  пікірталастар  туды.  Осы  сүраққа  байланысты  жарық  көрген  Гаусс  пен  Кошидің 

жүмыстарынан соң, талас аяқталды.

Комплекс  сандардың  геометриялық түжырымдамасы  жэне  оларга  қолданылатын  амалдар  1831 

жылы Гаусс  өзінің «Биквадрат есептеулер теориясын» жарыққа шыгарганнан кейін гана математикада 

мойындалды.

Комплекс  сандар  механикалық  жэне  электромагниттік тербеліс  үдерістерін  зерттеу  барысында 

кең қолданылады. Бізге

е ш  =

 

cos 

a

 + 

і

 

sin 

a

екендігі 

белгілі, 

мүндагы 

СС - 

нақты 

сан, 

ал 

І  = sj— 1  . 

Сондықтан  кез 

келген 

z  =  X + іу комплекс санды көрсеткіштік дэреже түрінде  жазуга болады:

Ал  7,  комплекс санның нақты жэне жорамал  X  пен  У  бөліктерін  р   жэне  СС  арқылы өрнектей 

аламыз:

х

 = 

р

 

cos а , у

 = 

р

 

sin а

 , 

жэне керісінше  Р

 

мен  СС

 

-ны  X

 

жэне  У

 

арқылы өрнектей аламыз:

р   =  л1х2  + у 2

 , 

tga 

=  у / х ,

мүндағы  р ~   z

 

комплекс санньщ модулг,

 

ал  СС - оньщ аргументг

 

деп аталады.

Енді  уақыт өткен сайын  СС

 

мынадай заң бойынша өзгереді делік:

а  = cot

 + ср.

Онда  X

 

жэне  У

 

шамамыз  СО

 

бұрыштык жиілігі,  р

 

амплитудасы жэне  (р

 

бастапқы фазасы бар 

екі гармониялық тербелісті береді:

х 

=  р  

cos {cot + ср\  у  = р  sin {cot + ср). 

(6)

Бүл екі тербелісті бір комплекс шамамен де өрнектей аламыз:

z  =  рехр[/(<у/ + (р)] =   р е х р ( і ( р ) е х р ( і с я ) . 

(7)

Тербелістерді  комплекс  шамалар  арқылы  корсету  векторлық  диаграмманы  түрғызумсн  тығыз 

байланысты.  Шынымен,  егер  жазықтыққа  озара  екі  перпендикуляр  остер  жүргізетін  болсақ  жэне

олардың  біріне  ( Х )  z  комплекс  санның  X  нақты  болігін,  ал  келесісіне  (/ У')  жорамал  іу  

болігін

орналастырса,  онда  z  саны  сол  жазықтықта  белгілі  бір  вектор  түрінде  орналасады.  Бүл  вектордың

ұзындығы  р

 

=  х 2

 

+ у 2 

z

 

комплекс  санының  модулі  болады,  ал  нақты  X

 

осіне  жасалған

<р 

= c irc tg (y / х}

 

бүрыш  z

 

аргументіне  тең.  Векторлық  диаграмма  жағдайында  біз  бүл  векторды 

график түрінде саламыз, ал комплекс шамаларды қолданып, оны аналитикалық түрде жазуға болады.

Комплексті сандардың физикада қолданылу аясы өте аз болғанымен күрделі есептерді шығаруда 

көптеген жеңілдіктер туғызады. Айнымалы ток тізбегіндегі кедергіні есептеуде, тербелмелі контурдағы 

резонанстық  қисық  сызықтың 

графигін  компьютерде 

бейнелегенде, 

ошетін  тербелістерді 

қарастырғанда  жэне  бағыттас  тербелістердің  қосылуының  сандық жэне  графиктік  бейнелеу  эдістерін 

қарастырғанда комплекс сандарды пайдалану есептің шығарылу жолын көп жеңілдетеді.

Пайдаланылган әдебиеттер тізімі:

1.  Адаменко А.Н. Pascal на примерах из математики /  А.Н. Адаменко. - СПб.: БХВ- Петербург,

2005.

2.  Архангельский А.Я.  «Delphi  7» Спб./А.Я. Архангельский -М.:  ООО «Бином - Пресс» 2004.

3.  Бурсиан Э.В.  Физика 100 задач для решения на компьютере./Э.В.Бурсиан.  Учебное  пособие.- 

Спб: ИД«МиМ»,  1997.  -256с.

4.  Сиеухин  Д.В.  “Общий  курс  физики”  III  том  “Электричество”/  Д.В.Сивухин.  - М.:  Наука, 

1983,  §§ 124-127.

5.  Калашников С.Г.  Электричество./С.Г.  Калашников -М.: Наука 1977,  §§56,209,210.

6.  Сырым Ж. С., Жакиев Н.К  Комплекс сандардың физикальщ магьтасы жэне оларды 

физикальщ есептерді шыгаруда пайдалану./Ж. С. Сырым.  П.И. Токаревтің 90 -жылдыгына арналган 

Республикалыц гьшыми- тәжірибелік конференцияньщ материалдар жинагы.  Орал,  2006.