Курсы оқу құралы
§6.4. Ядросы симметриялық емес І-текті интегралдық теңдеулер
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
| §6.4. Ядросы симметриялық емес І-текті интегралдық теңдеулер
Симметриялықемес H ( x , s ) e L 2[a,b\ ядросы - 1 H(x,s) = ^- ' = ' Я һ бисызықгы қатарына жіктелсін. Онда J H{x,s)cp(s)ds = 0 интегралдық теңдеуінің a шешімдері барлық (рк(х) функцияларына ортогональ функциялар болады. Міне, бұдан Шмидт ядросы тұйық болса, тендеудің тек нөлдік шешімі ғана бар бола- тыны және егер ядро тұйық болмаса, онда ол теңдеудің ақырлы немесе санақгы жиынды, сызықты тәуелсіз нөлге тең емес шешімдері бар болатыны шығады. Теорема. Біртекті емес \H(x,s) a (104) теңдеуінің L2[a,b\ класында шешілуі үшін бұл теңдеудегі бос мүше f ( x ) Шмидт- тің К {(x,s) ядросының меншікті функциялары (рк{х) арқылы f ( x ) = i f k(pk(x) к=і орташа жинақгы қатарына жіктелуі жоне Ы / 2 (105) (106) 114 қатарының жинақты болуы кажетті де, жеткілікті. Осы шарттар орындалған кезде (104) теңдеуінің шешімі (р{х) = ( р , { х ) + і \ ( р ку/к{х) к = I түрінде өрнектеледі, мұндағы, (р0(х) - жоғардағы (103) теңдеуінің кез келген шешімі. Дәлелдеуі. Егер (104) тендеуінің шешімі ф(х) е L2[a,b\ болса, онда / ( х ) g L2[a,b\. Сондықтан Шмидт теоремасы бойынша f ( x ) e L 2[a,b\ функциясы (105) қатарына жіктеледі. Бессель теңсіздігі бойынша (106) қатары жинақты бола- ды жоне керісінше, егер (106) қатары жинақты болса, онда Рисс-Фишер теоремасы бойынша (р(х) е L2[a,b\ функциясы табылып жэне Лк/ к Фурье коэффициенттері болады, яғни 00 (р{х) = ^ л к(рку/к (х) * = 1 тендігі орынды. Бұл тендікпен анықталған (р{х) функциясы (104) тендеуін қана- ғаттандыратынын оңай тексеріп көруге болады. жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|