Кейбір жағдайда интегралдық теңдеуді дифференциалдық теңдеуге келтіріп шешуге болады. Берілген
х ф(х) = 1 + 2 sin х + I cos(x - s)
0
теңдеуін екі рет дифференциалдасақ,
(р’(х) = 2 cosx - jsin(x - s)(p{s)ds + ф ) , (p\x)=-2smx-\cos{x-s)(p{s)ds+(p\x) о
0
өрнектерін аламыз. Бұлардан
ф \ х ) - ( р ' ( х ) + (р(х) = 1,
13
2-ретті
дифференциалдық
тендеуі
шығады.
Жоғарыдағы
өрнектерден
(р{0) = 1, (р'ф)-Ъ бастапқы шарттары алынады. Демек, интегралдық тендеуді
шешу моселесі 2-ретті дифференциалдық тендеуді шешудің Коши есебіне
келтірілді.
Параметр Л -ға тәуелді х 2у ” +
2ху' =
Лу + 1
дифференциалдық тендеуі (р{1) = 0, (р'{У) = 0 шарттарын қанағаттандыратын шекаралық есепті инте- гралдық тендеуге келтірейік. Ол үшін х 2у" + 2ху' = 0 тендеуінің алдыңғы шарт-
тарды қанағаттандыратын Грин функциясын құрайық. Бұл теңдеудің сызықтық
тэуелсіз шешімдері у,(х) = 1, у 2(х) = - —. Сондықтан Грин функциясын
G (x ,& = <3,(5') + fl[2(1S') —, 1 < X < S ,
6, ( s ) + />,(.$)—,
s < x < 3 X
түрінде іздейміз, мұндағы, ai(s),bi(s), (/ = 1,2) белгісіз функциялар. Грин функция-
сының шарттарын пайдалансақ, ai(s),bi(s), (/ = 1,2) функцияларын төмендегі тең-
деулер жүйесімен анықтаймыз:
Яі(^) + я 20 ) = о,
(s) = о, 5 '
5"
1
5
2 ‘
Осы жүйені шешіп, а,(^)=-1, a2(s)=l, ^,(^)=^Д, />2(s)=0 екенін анықгаймыз.
Демек,
G ( x , & = { 1
< X <
S, s < х < 3.
Енді осы өрнекпен анықталған Грин функциясын пайдаланып, берілген диф-
ференциапдық тендеудің берілген шекаралық шарттарды қанағаттандыратын
шешімін табу үшін
у(х) = Ц G(x, s)y(s)ds + \ - - + 2х + 4а і
х
х
интегралдық тендеуін аламыз.
14