Курсовая работа Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании Исполнитель
жүктеу/скачать 1,27 Mb.
|
| Пример Гальперин Г.А. Положительные числа , , и таковы, что система уравнений
имеет решений, а система уравнений имеет решений. Известно, что . Найдите и . Решение. Первое уравнение есть уравнение окружности, второму удовлетворяют точки квадрата с центром в начале координат и с диагоналями, принадлежащими осям координат. Система из двух первых уравнений в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет четыре решения, либо восемь. Итак, может равняться либо 0, либо 4, либо 8. Первое уравнение второй системы есть уравнение сферы. Второму удовлетворяют точки октаэдра с центром в начале координат и с вершинами, лежащими на осях координат на равных расстояниях от центра. Эта система в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений (сфера касается граней октаэдра), либо имеет бесконечное число решений (сфера пересекает грани октаэдра по окружностям или нескольким дугам окружностей). Итак, может равняться либо 0, либо 6, либо 8, либо . Условию удовлетворяет только вариант , . Ответ. , . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык --- удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады математико-механического факультета СПбГУ: Пример Дана функция: . а) Решите уравнение ; б) Решите неравенство ; в) Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра . Решение. Построим график функции . Для этого заметим, что , а тогда мы можем сначала построить график функции , и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающее функцию : Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке (2; 0), график исходной функции представляет собой объединение двух полуокружностей (см. рис. (??)). Теперь решение задач не представляет труда: а) Корень уравнения есть абсцисса точки пересечения прямой с графиком функции . Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренным (угловой коэффициент прямой равен ), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс, есть , а искомая абсцисса равна . б) Неравенство выполнено при всех из отрезка . в) При , решений нет, при уравнение имеет три решения, при --- четыре решения, при --- два решения. жүктеу/скачать 1,27 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|