Квадрат теңдеулерді шешу жолдарының 10 ТӘсілдері

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ 

 

ЖОЛДАРЫНЫҢ 10 ТӘСІЛДЕРІ

 

Сайлаубек А.С. 

8А, Ю.А.Гагарин атындағы мектеп –лицейі, Ақадыр кенті 

Жетекші. Сартаева.Г.Қ. 

 

 

 «Квадрат 

теңдеулер» 

мектептегі 

 

алгебра 

ку

рсының  маңызды 

тақырыптарының  бірі.  Көптеген  табиғи  үдірістер  мен  құбылыстар,  с.с. 

мазмұнды  есептердің   шығарылуы  квадрат  теңдеулерді  шешуге  келіп  тіреледі. 

Жоғарғы 

сыныптарда 

те

ңсіздіктерді 

шешу, 

функцияларды

 

зерттеу 

(функцияның  нөлдерін,  экстремум  нүктелерін,  өсу  және  кему    аралықтарын 

табу),  ең  үлкен  және  ең  кіші  мәндерді  табу  есептерін  шы

ғару  және  т.б. 

жағдайларда  квадрат  теңдеулерді  шеше  білу қажеттігі    туындайды.  Сондай-ақ 

тригонометриялық,  көрсеткіштік  және  логарифмдік    теңдеулерді,  физикада 

және 

техникада, 

 

геометрия 

курсы

ның  есептерін 

алмастыру 

т

әсілімен 

шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.  

Зерттеу  барысында    «квадрат  теңдеулерді»  шешу  жолдарының  10  түрлі 

әдісімен таныстым. Ол тәсілдерге жеке – жеке тоқтала кетсек: 

1-тәсіл. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу 

Мысал:

       

х

2

+4х+3 =0      теңдеуін шешейік. 

 Теңдеудің сол жақ бөлігін  көбейткіштерге жіктейміз: 

                     х

2

+х+3х+3 =х(х+1)+3 (х+1) =(х+1)(х+3) 

Демек, теңдеуді былай жазуға болады:  (х+1)(х+3) =0 

Көбейтінді  нөлге  тең  болғандықтан,  ең  болмағанда  көбейткіштердің  біреуі 

нөлге тең болуы керек. Сондықтан  теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х

1

=-1 және 

3

2





x

 сандары х

2

+4х+3=0 теңдеуінің  түбірлері болып табылады. 

        

2-тәсіл. Толық квадратқа келтіру әдісі 

      

 Мысал: х

2

+8х-9=0   теңдеуін шешейік. 

Сол    жақ  бөлігін  толық  квадратқа  келтіреміз.  Ол  үшін  х

2

+8х  өрнегін 

төмендегідей жазып аламыз:   х

2 

+ 8х=х

2

+2х4 

Алынған  өрнектің  бірінші  қосындысы  х-тың  квадраты,  ал  екінші 

қосындысы  х  пен  4-тің    екі    еселенгені.  Толық  квадрат  алу  үшін  4

2

-ын  қосу 

керек. Сонда     х

2

+2х4+4

2

=(х+4)

2

 

Енді теңдеудің сол  жағын  түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 4

2

-ын қосып, алып 

тастаймыз. Сонда шығатыны:         х

2

+8х-9=х

2

+2х4+4

2

-9-4

2

=(х+4)

2

-25 

Сонымен,  берілген  теңдеуді  былайша  жазуға  болады:          (х+4)

2

-25=0  ,    яғни 

(х+4)

2

=25.  

Бұдан              х+4=5, х

1

=1          немесе               х+4=-5, х

2

= -9.   

 

 

                              Жауабы: 1;-9 

           3-тәсіл. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу 

  ах

2

+вх+с=0,  а≠0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті 

аламыз: 

                  4а

2

х

2

+4ахв+4ас=0   

    ((2ах)

2

+4ахв+в

2

)-в

2

+4ас=0  ,  (2ах+в)

2

=в

2

-4ас 

          2ах+в=



ас

в

4

2



 ,        2ах = -в



ас

в

4

2



 

                            х

2

,

1

=

а

ас

в

в

2

4

2







                (1) 

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады:    

1)3х

2

-7х+4=0 теңдеуін шешейік. 

                           а=3, в=-7, с=4.     Д=в

2

-4ас=(-7)

2

-4·4·3=49-48=1.   

Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады: х

1

=1,  х

2

=

3

4

 

Сонымен,  дискриминант  оң болғанда,  яғни  в

2

-4ас>0,  ах

2

+вх+с=0  теңдеуінің екі 

түрлі түбірі болады. 

2)9х

2

+6х+1=0  теңдеуін шешейік.  

                          а=9, в=6, с=1. Д=в

2

-4ас=6

2

-4·9·1=0.   

Д=0 болғандықтан, бір ғана түбір бар болады:    х=

а

в

2



,  х=

3

1

18

6

9

2

6













 

Сонымен,  егер  дискриминант  н

өлге  тең  болса,  яғни  в

2

-4ас=0,  ах

2

+вх+с=0  

теңдеуінің жалғыз 

түбірі бар болады:        х=

а

в

2



           

3)х

2

+2х+3=0  теңдеуін шешейік. 

           а=1, в=2, с=3.  Д=в

2

-4ас=4-4·3·1= -8.   

Д<0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды. 

Сонымен,  егер  дискриминант  теріс  болса,  яғни  в

2

-4ас<0,    онда  ах

2

+вх+с=0  

теңдеуінің түбірі  болмайды. 

4-тәсіл. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу  

Келтірілген түбірлері Виет теоремасын  қанағаттандырады.  

Ол былай беріледі: а=1 болғанда,  

















р

х

х

q

х

х

2

1

2

1

 

Бұдан  келесі  тұжырымдарды шығаруға болады: 

а) Егер  q   (1)   теңдеудің   бос мүшесі оң болса (q



0) онда теңдеудің екі бірдей 

таңбалы түбірі болады. Егер р>0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р<0, онда  

түбірлері оң болады. 

Мысал,  1)х

2

-9х+20=0, х

1

=4, х

2

=5, мұнда q=20 >0, р=-9 <0; 

               2)х

2

+5х+6 =0,  х

1

 =-2,  х

2

 =-3, мұнда q =6 >0, р =5 >0. 

б)    Егер  q      (1)  теңдеудің   бос  мүшесі    теріс  болса  (q  <0),  онда  теңдеудің   екі 

түрлі,  таңбалы  екі  түбірі  болады,  түбірдің  модулі  бойынша үлкені  оң  болады, 

егер  р  <0  болса,  теріс  болады,  егер  р  >0.  Мысал,  1)  х

2

+3х-4  =0;    х

1

  =-4,    х

2

  =1 

мұнда q =-4 <0, р=-3 >0 

                    2) х

2

-7х-8 =0;  х

1

 =8, х

2

 =-1 мұнда  q =-8 <0, р =-7 <0  

  5-тәсіл. Теңдеуді «асыра лақтыру» әдісімен шешу    

 

 

ах

2

+вх+с =0 , а ≠0  квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің  екі жағын да а-ға 

көбейтіп,  мынаны  аламыз:  а

2

х

2

+авх+ас=0.  ах  =у  деп  белгілесек,  х  = 

а

у

.  Олай 

болса    у

2

+ву+ас  =0  теңдеуіне  келеміз.  Бұл    бастапқы  теңдеумен  тең. Теңдеудің  

түбірлерін у

1

, у

2

 –ні Виет теоремасы  арқылы табамыз. Соңында х

1

 =

а

у

1

,  х

2

 =

а

у

2

 

-ны аламыз. Бұл жағдайда   а  коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтан  

да  бұл  әдісті  «асыра  лақтыру»  әдісі  деп  атайды.  Бұл  әдісті  көбінесе  Виет 

теоремасын  пайдаланып  түбірді  оңай  табуда  және  дискриминант  дәл  квадрат 

болғанда  қолданады. 

Мысал:     2х

2

-9х+9=0  теңдеуін шешейік. 

Шешуі:    2  коэффициенті  те

ңдеудің    бос  мүшесіне  асыра  лақтырамыз, 

нәтижесінде  

у

2

-9у+18=0 теңдеуін аламыз.  Виет теоремасы бойынша 













































5

,

1

3

2

3

2

6

3

6

2

1

2

1

2

1

х

х

х

х

у

у

                      Жауабы: 3; 1, 5. 

            6-тәсіл. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану 

   

ах

2

+вх+с=0,  а≠0 квадрат теңдеуі берілген.         

Егер а+в+с=0  (яғни коэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса, онда х

1

=1,  

х

2

=

а

с

 

Мысал:    7+2-9=0  қосындысы  0-ге  тең.  Осы  үш  сан  үшін  квадрат  теңдеу 

құрастырып, оны шешейік: 

                          

.

1

14

14

14

16

2

7

2

256

2

,

7

9

14

18

14

16

2

7

2

256

2

256

252

4

9

7

4

2

4

0

9

2

7

2

2

2

2

1

































































x

x

ac

b

D

x

x

 

 

7-тәсіл. Квадрат теңдеуді циркуль және сызғыш көмегімен шешу     

  ах

2

+вх+с=0 квадраттық теңдеуін циркуль және сызғыш көмегімен шешу әдісін 

ұсынамыз  (1-сурет).  Ізделінді  шеңбер  абцисса  өсінде  В(х

1

;0)  және  Д  (х

2

;0) 

нүктелерінде  қиылыссын  делік.  Мұндағы  х

1

,  х

2 

-  ах

2 

+  вх  +  с=0  теңдеуінің 

түбірлері  және  ординат  осінен    А(0;1)  ж

әне  С(0;

а

с

)  нүктелері  арқылы  өтеді 

делік. Олай болса, қима туралы теорема бойынша мынаны аламыз: 

                                                       

                                                                                                                                            

                                                                                   













а

с

С

;

0

 

 

 

 ОВ·ОД=ОА·ОС,  

 бұдан ОС=

а

с

х

х

ОА

ОД

ОВ









1

2

1

                                                                                   

                                                                1-сурет 

у 

х 

 

А (0;1) 

F 

S 

В 

(х ;0) 

   Д(х

2

;0) 

Шеңбер    центрі  АС  және  ВД    хорда  ортасында  орналасқан  перпендикуляр  SF 

пен 

SК-ның 

қиылысу 

н

үктелері 

болып 

табылады, 

сондықтан SК=

а

в

а

в

х

х

2

2

2

2

1











; 

SF =

а

с

а

а

с

у

у

2

2

1

2

2

1











 

Сонымен, 

1) S

















а

с

а

а

в

2

,

2

 (шеңбер центрі)  және   А (0;1)  нүктелерін тұрғызамыз; 

2) SА  радиусты шеңбер  жүргіземіз; 

3)  Осы  шеңбердің  Ох  осі  арқылы  өтетін  қиылысу  нүктелері  бастапқы  квадрат 

теңдеудің  түбірі болады. 

 

Сонымен үш түрлі жағдай болуы мүмкін:   

1-ші  жағдай.Шеңбер    радиусы  ордината    центрінен  артық  (АS  >  SК,  немесе, 

a

c

a

R

2





    шеңбер  Ох  осін  екі    нүктеде  (2а-сурет)    В  (х

1

;  0)  және  Д  (х

2

;0) 

нүктелерде  қияды.  Мұндағы    х

1

  және  х

2

-ах

2

+вх+с  =0  квадрат  те

ңдеуінің 

түбірлері). 

2-ші  жағдай.Шеңбер  радиусы  ордината  центрінде  (АS=  SК;  немесе 

a

c

a

R

2





 

тең, шеңбер  Ох  осін  В  (х

1

;  0)  нүктесінде  (2б)-сурет)  жанап өтеді,  мұндағы  х

1

  – 

квадрат теңдеудің түбірі). 

3-ші  жағдай.Шеңбер  радиусы  ордината  центрінен    кіші  (А  S  <  SК,  немесе 

a

c

a

R

2





) кем, щеңбердің абцисса  осімен қиылысатын нүктесі жоқ (2в – сурет), 

бұл жағдайда теңдеудің шешімі болмайды. 

    у   

 

 

 

   у 

 

 

  

        у 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     

 

                                                                 2-сурет 

а)  АS>SВ, 

a

c

a

R

2





  екі шешімі бар: х

1

 және х

2

 

б) АS=SВ, 

a

c

a

R

2





  бір шешімі бар: х

1

 

в) АS

a

c

a

R

2





  шешім жоқ. 

8-тәсіл. Квадрат теңдеуді номограмма көмегімен шешу 

S 

S 

S 

В 

А 

 0  х

1 

А(0;1)              В 

         0             х

2 

А(0;1) 

        0            В

 

х 

х 

х 

   

 

 

 

 

        O            B            E                            y                  3 

 

         F                          D                                                                       

                                                        y                 y

2

          3y 

           H           A                                       

 

 

        C                                

                                                        

3                   3y                  9      

 

              p                           q

      3-сурет                                                4- сурет 

 

 

Бұл квадрат теңдеуді  шешудің бұрынғы және жөнсіз ұмыт болған әдісі  

Брадис  таблицасында  z

2

+pz+q=0    теңдеуін  шешуге  арналған  номограмманы 

қарастырайық.  Бұл  номограмма  квадрат  теңдеудідің    түбірлерін  анықтауға 

мүмкіндік береді. Номограмманың 

қ

исық 

сызықты 

шкаласы 

т

өменгі 

формулалар бойынша  тұрғызылған (жоғарыдағы 3-суретте бейнеленген). 

ОВ=

z

z

AB

z

а









1

,

1

2

  ОС=р,    ЕД=q,  ОЕ=а  десек,  м

ұндағы  САН  және  СДF  

үшбұрыштарының ұқсастығына мынадай  пропорция аламыз:     

                                                            

OB

a

AB

p

q

p







Мұнда 

 

z

2

+pz+q=0 

теңдеуді 

ауыстыру жасағаннан және  жеңілдеткеннен шығады, бұл жердегі z әрпі қисық 

сызықты шкала нүктесінің кез-келген белгісін білдіреді. 

9-тәсіл. Квадрат теңдеулерді геометриялық әдіспен шешу 

 Көне  заманда  алгебраға  қарағанда  геометрия  көбірек  жетілген  кезде, 

квадрат  теңдеулерді    алгебралық  жолмен  емес  геометриялық  жолмен  шеше 

білген.  Ежелгі  гректер  мына  у

2 

+  6у-16=0  теңдеуін    қалай    шешкендігіне 

тоқталып өтейік. 

 

Шешуі:  жоғарыдағы  4-суретте    көрсетілген,  мұндағы  у

2

+6у=16  немесе 

у

2

+6у+9=16+9 

 у

2

+6у+9 және 16+9 өрнекті геометриялық тұрғыда  сол квадраттың өзін береді, 

ал  у

2

+6у-16+9-9=0 бастапқы теңдеу де сол теңдеу. Бұдан алатынымыз  у+3=



5 

немесе у

1

=2, у

2

=-8. 

 

 

            Көне  заманда  алгебраға  қарағанда  геометрия  көбірек  жетілген  кезде, 

квадрат  теңдеулерді  алгебралық  жолмен  емес  геометриялық  жолмен  шеше 

білген. Әйгілі әл-Хорезмидің «Әл-жебр» кітабынан мысал келтірейік. 

             х

2 

+10х=39 теңдеуін шешейік. 

           Мысал-2:  Шешуі:  қабырғасы  х  болатын  квадратты қарастырайық.  Оның 

қабырғаларының  бойында  тікбұрыштар  әрбір  қабырғасы  тең  болатындай  етіп 

тұрғызылады.  Олардың  әрқайсысының  аудандары    2 х-ке  тең.  Алынған 

фигураның  төрт    бұрышына  қабырғаларының  әрқайсысы    2   болатын,  ал 

ауданы  6   болатын  төрт  бірдей  квадратпен  ABCD  жаңа  квадраты  толғанша 

толтырамыз. 

    D              x            С                

   АВСD  квадратының  ауданы  (S-ті)  мына  ауданның   

қосындысы  түрінде  сипаттауға  болады:  алғашқы  х

2 

– 

квадраттан,  төрт  тіктөртбұрыштан  (4·  2 =10х)  және 

тұрғызылған 4 квадраттан (4·6 =25), яғни  

S=x

2 

+10x+25.    х

2 

+10x  өрнегін  39  санымен  ауыстыра 

отырып,  S=39+25=64-ті  аламыз,  бұл  жерден  ABCD 

қабырғасы, яғни АВ=8 екендігі шығады. 

Алғашқы квадраттың ізделінді х-қабырғасы үшін: 

    А             х              В    х=8-2 -2 =3 екенін аламыз. 

10-тәсіл:квадраттық теңдеуді шешудің графикалық шешімі. 

Егер x

2

+px+q=0 теңдеуінде екінші және үшінші мүшені теңдеудің оң жағына 

шығаратын болсақ:  x

2

=-px-q 

Енді y=x

2

 және y=-px-q функцияларының графиктерін саламыз. Бірінші 

функция графигін санақ басынан өтетін парабола, ал екінші функцияның 

графигі түзу.Олар қиылысып өтетіндіктен, қиылысу нүктелерін анықтай 

аламыз.Келесі шарттар орындалуы мүмкін: 

Түзу мен парабола қиылысып, олардың қиылысу нүктелері екеу болуы мүмкін. 

Абсциссадағы нүктелер берілген квадраттық теңдеудің түбірлері болады. 

-

 

Түзу мен парабола қиылысады, бірақ қиылысу нүктесі бір ғана нүкте 

болғандықтан, түбірі бір ғана болады. 

-

 

Түзу мен параболаның еш ортақ нүктелері болмаса, онда квадраттық 

теңдеуде түбірі болмайды. 

Мысал:  

1.

 

x

2

-3x-4=0 квадраттық теңдеуін шешйік. 

Шешуі.Бұл теңдеуді мынадай түрге келтіріп жазып алайық: x

2

-=3x+4 

Енді координаталық жазықтықта у=3x+4 түзуін құрастырамыз.Қиылысқан 

нүктелерінің координаталары М(0;4) және N (3;13).Түзу мен парабола екі 

нүктеде қиылысады.Олар А және В.Түбірлері     x

1

=-1     x

2

=4 

Жауабы:  x

1

=-1     x

2

=4 

 

Қорытынды

 

           Квадрат  теңдеуді  шешудің  10  түрлі  әдісі  оқушылардың    «Квадрат 

теңдеулер»  тақырыбын  терең  меңгеруіне  жол  ашады.    Сонымен  қоса,  квадрат 

теңдеулерді  шешудің  барлық  он  тәсілі  де  қолданыс  тапқанда  оқушылардың 

пәнге  деген  қызығушылығы  мен  логикалық  ойлау  қабілеті  артады.  Квадрат 

теңдеулер физика және геометрия пәндеріндегі кейбір есептерді шешуде бірден 

бір  қолайлы  тәсіл  болып  табылады.  Сол  сияқты  алгебра  пәнінде  де  кейбір 

 

6  

 

2  

 

6  

 

2  

 

х

2 

 

 

2             

 6  

2  

 

6  

тригонометриялық  теңдеулерді  және  теңсіздіктерді  шешуде  де  оқушы  үшін 

ыңғайлы  тәсілдің  бірі  болып  саналады.  Сонды

қтан  да  әрбір  оқушы  үшін 

квадрат 

теңдеуді 

басқа 

пәндердегі 

есептерді 

шешуде  қолдана 

білуі, 

математиканың  ғылымдар  патшасы  ретінде  білгеніміз.  Ақыл-ойды  дамытатын 

математика.  Сондықтан  да  кез-келген  есептердің  шешу  тәсілдерін  біліп  қана 

қоймай,олады  терең меңгеріп,  біздің ой-санамыздың дамуына үлкен  мүмкіндік 

береді.  

        

 

Қолданылған әдебиеттер: 

 

1.

 

Әбілқасымова.А.Е. Бекбаев.И.Б. Абдиев.А.А. Жұмағұлова З.Ә.   

      Алгебра 8 сынып.Алматы Мектеп 2008ж 

2.

 

Математика, информатика, физика журналы . №5, 2003ж. 

3.

 

Брадис  В.М.      Төрт  таңбалы  математикалық  таблицалар  –  М.:  Просвещение, 

1990