§9.  Kepi  оператор  ұғымы

§9.  Kepi  оператор  ұғымы
А лгебралы қ сы зы қты   тендеулер  жүйесі:
П
Ы  =  X /  
Л х   =  У' 
-4
  =   (а о-) ; 
і
—1
интегралды қ  теңдеу
і 
і
y{t)  =  
J  
K ( t , s ) x ( s ) d s .  Аж  =  
J  
К ( t , s ) x ( s ) d s ,  
о 
о
д нф ф ереициалды қ тендеулер  жүйесі
^
  =   f i { t , y h - , y n ) ,   Л х   =   Ғ, 
және дербее д н ф ф ер ен ц и ал д ы қ тендеулер
А и   =  / ,   А и   =   / .
көбінесс
Аж  =   ;і/ 
(53)
сы зы қты  тендеуі түрінде ж азы лады .  О сылай ж азу  арқы лы  әрбір  нақты есеп- 
тіц  өзіне  тән  спецнф нкасы на  көңіл  аудармай,  осы  теқдеулсрдің  барлы ғы на 
тән  заңды лы қтарды   зерттей  алам ыз.
Егер А ~ 1  кері операторы  бар болса,  онда  (53)  тендеудіц  піешімін  ж  =   А ~ 1у  
түрінде  ж азу га  болады.
Енді мэселе А операторы  қандай ш арттарды  қанаі’аттан д ы рған д а кері опе­
ратор  бар  болады  ж әп е  оның  қандаіі  қасиеттері  бар  деген  сү р ақ туады .
X   С  By  сы зы қты   кеңістігіп  Ү   сы зы қты   кеңістігіне  бейнелейтін  А  опера­
торы  берілсін,  ягни
А  :  X  
Ү.
95

9.1.1  -  анықтама.  У 
ж иы ны ны ц  кез  келген 
у
 
элементіне 
X
 
жиыны ныц 
тек  қана  бір  ж  элементін  сәйкес  қоятын  В   операторы  табылып,
(\/у  G  Ү )   :  А В у   =   у, 
(54)
(Уж  G  X )   :  В  А х   =  х  
(54')
тецдіктері  оры ндалаты н 
болса,  онда  А   жэне  В  операторларын өзара  керг
операторлар деп  атайды , ж эне  В   =   А -1  деп  белгілейді.  Б ұл  ж ағд ай да
D { A ~ l )  =   Y,  R ( A ~ l )  —  X .
9.1.2  -  анықтама. 
Егер  В   операторы  тек  капа  (54)  теңдікті  қанагаттан- 
дырса,  ягни
А В   =   1у  &   (Уу  €  Ү )   :  А В у   =   у ,
онда  В   операторын  А   операторыныц  on,  ж ац  кері  операторы  деп  атайды, 
ж эне  А ~ 1  ден  белгілейді.
9.1.3  -  анықтама. 
Егер  В   операторы  тек  қан а  (54')  теңдікті  қанагаттан- 
дырса.,  ягни
B A   =   I X <#  (Уж  е   X )   :  В  А х   =   ж,
онда  В   операторын  А   операторыныц  it  сол  ж ақ   кері  операторы  деп  атайды, 
ж эне  А ~ 1  деп  белгілейді.
9.1.1 
- теорема. 
А  операторы X  жиынын Ү  ж иы ны на бір мәпді бейнелеуі 
үшін  А   операторыныц  ядросы
ker А  =   {0},
ягни,  тек  нөлдік  элементтен  түруы  қаж етті  ж эне  ж еткілікті.
Д әлелдеуі.
Қ а ж е т т і  шарт.  X   ж иы ны н  Ү   ж иы ны на бейнелейтін  А  операторы  өзара 
бір  мәнді  оператор  болсын.  Б ір ақ   ker А  =   {0}  болмасын.  z   G  ker Л,  z   ф  0 
делік,  ал у 
G 
Ү   =   R { A )   болсын.  Онда  А х   —  у  тепдеуіиіц шешімі бар  болады, 
оны  ж*  деп  белгілсйік.  Енді  х*  +  z   элементін  қарасты райы қ:
А{х* +  z ) -   Ax*  +  A z  =   Аж*  =   у.
Демек,  кез келген у  
G  У 
элементіне А  операторы 
ж* 
ж эне 
ж
* + z  элементтерін 
сәйкес  қояды.  Б үл  А   операторыныц  өзара  бір  мәнді  сэйкестігіне  қайшы. 
Олай  болса,
ker А  =   {0}.
Ж е т к іл ік т і  шарт.  ker А  =   {0}  болсын.  Kepi  ж оримыз,  кез  келген  у 
G 
У  
элементі-не бір-біріне тец болмайтын X  ж иыныныц жі, ж2 элементтері сэйкес 
келетін  болсын,  ягни
Ахг =
 у, Аж2  =  
у.
96

Сонды қтан,
А х і  — Ах
.2
  =   0  =ф  А (х і — X‘z)  =   0  =>  x i — x 2  G  ker A   =>  x \   — x 2  —  Ө  =>  ®i  =   x 2■
Б ұл  -  қайш ы лы қ.  Д ем ек.  A   -  өзара бір  мэнді  сәйкестікті  аны қтайды.
Кері  опсратордыц  цасиеттері.
9 .1 .1   -  л е м м а .  Егер  А   операторы  сы зы қты   оператор  болса,  онда  оныц 
кері  А " 1  операторы  д а   сы зы кты   оператор  болады.
Д ә л е л д е у і.  у\,у ч   G  R { A )  ж эне  x i  =   А -1 т/і,  х 2  =   А -1 ?/2  болсын.  Онда 
7/1
  =   A A ~ l yi  =   А х  
1
, 
7/2
  =   А А ~ 1У
2
  =   Л х 2.
Сондықтан,
(У уі)У
'2
  G  -R(A))(VAi, Д
2
  G  С )  :  А 
1
 (Аіг/і  4-  А2?/2)  =   А  ] (А іА хі  +   А
2
А х2)  =
=   A   *(A(AiXi  -
1
-  А
2
х 2))  =   А
1
Х
1
  +  А
2
Х
2
  =   AjA  ^уі  +   А2А 
1?/2
•
9 .1 .2   -  л е м м а .  R ( A )   =   У   ж иы ны н  X   ж и ы ны на  бейнелейтін  А -1  опера­
торы   бар  ж эне  ш енелген  болуы  үшіи
(3 m   >   0)(Vx  G  D ( A ) )   :  j|Ax|j  >   m j|x || 
(55)
тецсіздігініц  оры ндалуы   қаж етті  ж эне  ж еткілікті.
Д э л е л д е у  і.
Қаэюеттпі  шарт.  У   ж иы ны н  X   ж иы ны на бейпелейтін  А -1  операторы бар 
ж эне  шенелген  болсын.  Д емек,
(3
С
 > 0)(V7, 6 
Н(Л))
  :  ЦЛ-'г/Ц  < 
с\\у\\.
 
(56)
(56)  теңсіздіктсгі  у  орны на  А х   қойсақ,  онда
С\\Ах\\  >  ||х ||  =>  ||А х||  >   ^ | | х | | .
Сонымен
З
7
П  >   0)(Vx  G  D ( A ) )   :  ||А х||  >   m ||x ||.
Ж е т к іл ік т і  шарт.  (55)  тецсіздігі  оры ндалаты н  болсын.  Онда,  егер  А х  — 
0  болса,  ягни  х  G  ker А,  онда  (55)  тецсіздіктен
||х ||  <   0  =Ф  х  =   Ө  =Ф-  ker А  =   {0}.
Олай  болса.  9.1.1  -  лем м а  бойынша  А -1  кері  оператор  бар  болады.  (55)  - 
теңсіздіктегі  х   орны на  А -1т/  қойып,  мынаиы  алам ы з:
(ЭС =  i   > 0)(Vy € 
Н(Л))
  :  ЦЛ-V II  < С||у||.
97

Бүл  А  
1
  операторыныц  шенелгендігін  көрсетеді.
9 .1 .4  
- 
анықтама. 
В \   кеңістігіи  Во  кеңістігіне  бейнелейтін  А   операторы 
берілсін,  ягни  А   :  В \   -¥  Во.  Әзгеру  облысы  В
2
  -  Б ан ах  кеңістігімен  бетте- 
сетін  ( R {A )  =   В
2
),  шенелген  керісі  бар  А   операторын  корректілі  оператор 
деи  атайды.
9 .1 .2  
-  теорема. 
В \   жиынын  В
2
  ж иы ны на бейнелейтін  А   операторы  кор- 
ректілі  болуы  үшін  R ( A )   =   В?  жоне  (55)  теңсіздіктіц  оры ндалуы   қажет-ті 
ж эне  ж еткілікті.
Д әлелдеуі.
Қ а ж е т т і  гиарт.  А :   В \   —У Во  корректілі  оператор болсын.  О нда анықта- 
ма  бойынш а  А   операторыныц  R ( A )   =   Во  ж эне  шенелген  керісі  бар.  Демек,
9.1.2  -  лемма бойынш а  (55)  теңсіздігі  орындалады.
Ж е т к іл ік т і  шарт.  А   :  В \  -*   В 2  операторы  үшін  R { A )   =   Во  ж эне  (55) 
тецсіздігі  оры пдалаты н  болсын.  О нда  9.1.2  -  лем м а  бойынш а  А   операто­
ры ны ц  шенелген  кері  операторы  бар  болады.  О нда  ан ы қтам а  бойынша  А  
операторы  -  корректілі  оператор.
Енді  А х   —  у   теңдеуініц  шешімі  мен  А   операторыныц  арасы ндагы   байла­
нысты  зерттейік.
9 .1 .3  
-  лемма. 
Егер  А   операторы ныц  оц  ж а қ   А ~ 1  -  кері  операторы  бар 
болса,  онда  А х   =   у  тендеуініц шешімі  бар  болады.
Д әлел деуі. 
А   операторыныц оц ж а қ  А ' 1  -  кері  операторы  бар  болганды- 
қтан.
(Vy  €  Л (А ))(З і  €  D { A ) ) :  x  =   A ~ ly.
x   =   Л'~'-у-ті  A x   =  у  теіщеуіне  қойсақ,  у  =   A A ~ l y ,  ягни  у   —  у.  Сондықтаи, 
х  =   А ~ 1у   элементі  -  А х   =   у  тендеуініц  шешімі.
9 .1 .4   - 
лемма. 
Егер  А   операторыныц  сол  ж а қ   А ~
1
  -кері  операторы  бар 
болса,  онда  А х   —  у   тендеуініц  шешімі  лсалгыз  болады.
Д әлелдеуі. 
А х   =   у  тецдеуіпіц бір-біріне тец  емес екі  шешімі  бар  болсын. 
Оларды  x i,  Х
2
  деп  бслгілейік.  Онда  у  =   А х  
1
,  у  =   А х
2
  =4>  А { х \  — х 2)  =  
0
. 
Осы  тендіктерге  А ~ 1  -  сол  оператормен  эсер  етсек:
^ ^ ^ ( х і   — Х
2
)  =  
0
 
Xi  =   Х
2
.
Алынган  қай ш ы лы қ лемманы ц түж ы ры м ы ны ц дүры с  екендігін  дәлелдейді.
Осы  лем м аларды ц  түж ы ры м ы пан  мынадай  қорытынды  жасаймыз:
1
)  егер  А ~
1
  -  операторы  бар  болса,  онда  R ( A )   =  В 2\
2)  егер  А ~ 1  -  операторы  бар  болса,  онда  ker А  =   {
0
}.
98

Осы  түж ы ры м дарды   найдаланы п,  егер  А   корректілі оператор  болса,  онда 
А х   =   у  теңдеуінің  ж ал гы з  орны қты   шешімі  бар  болады.
Сонымен
1
)  тендеудің  шешімі  бар.  егер  R ( A )   —  Во\
2
)  теңдеудің  шешімі  ж ал гы з.  егер  А " 1 
ker А  =   {
0
};
3)  тендсудің  шешімі  орны қты ,  егер  A ~ l  -  шенелген.
Мысал.
x ( t )   — 
J  
is x ( s ) d s   =  y(t)
о
теңдеуіпің  корректілі  шешімі  бар  екеқцігін  көрсетіңіздер. 
Дәлелдеуі.
1)  А   операторын  аны қтау  керек:  D ( A )   =   С '[0 ,
1
],
]
{ A x ) ( t)   =   x ( t )   — j  t s x ( s ) d s ,
A   :  C [0 ,
1
]  —>•  (7[0,
1
]  =   R ( A ) .
2
)  А   операторыныц  корректілі  болаты нды гы н  корсетейік:
а) 
Егер  x ( t)   үзіліссіз  ф ункц ия  болса.  онда  y(t)  ф ункциясы   д а  үзіліссіз 
болады.  Сондықтан,  R ( A )   =   С [ 0 ,
1
].  ягни  берілген  тецдеудіц  шешімі  бар. 
Оны  табу  үшін
x(t) 
=  y ( t)   +  
t c
 
(57)
l
(С   =   f  C x ( s ) d s )   тецдеуініц  екі  ж ағы н  t  -ға  көбейтеміз.  (
0
,
1
]  кесіндісі  бой- 
о
ынш а  екі  ж ағы и  ннтегралдайы қ.  ягни 
і 
і
J  
t x ( t ) d t   =  
j 
ty ( t ) d t  + С ~   |J
о
1
=>  C l- C   =  
J  
t y ( t ) d t   => 
Щ
- = J  
t y ( t ) d t   =4>  С   =  
| 
j  
ty (t)d t.
О
О
О
Осыны  (57)  тецдікке  апары п  қойып,
1
x {t)  =   y(t)  +   I  
J 
t s y ( y ) d t
о
99

шешімін  табамы з.
б) 
А   операторы ны ц  кері  операторы  бар  болатындыгын  корсетейік.  Ол 
үшін  А   операторы ны ц  ядросы н  қарастырамыз:
1
x ( t)  
6
  ker А.  =   {ж  в   С [
0
,
1
]  :  x ( t )  -  
J  
ts x ( s ) d s   =  
0
}.
о
1 
1
 
1 
tx ( t )   —  t 1 
J  
s x ( s ) d s   = 
0
  => 
J  
tx ( t ) d t  —  ^  
J  
t x ( t ) d t   =  
0
  =>•
о
l
^   3  J  
~   ^  ^  
—  0  ^   x (t)  =   0  =?•  ker A   =   {0}.
о
Д емек,  A ~ 1  операторы  бар,  жоне
l
А ~ 1У  =  
y { t )  
-I-  §  
I  
ts y (s )d s . 
о
Олай  болса,  теңдеудіц  ж ал гы з  іиешімі  болады.
в)  А   операторыныц  кері  операторыныц  шенелген  екепдігін  көрсетейік:
1
(V?/  G  D { R )  =   С [
0
,
1
])  :  ЦЛ-VH  =   m ax  |y(i)  +   ^  
J 
tsy (s)d s\  <
о
l 
l 
^(Һ/(*)І+£ 
J  
ts\y (s)\d s)  
< 
m a x (l4 ~  
J
^s)||y|| = 
m a x (l+ |i)|M | 
= 
^\\y
<  m ax  
<6 [0,1]

Ңолданылған  әдебиеттер.
1.  А .Н .К олмогоров,  С.В.Фомин.  Элементы  теории  ф ункции  и  функцио­
нального  анализа.  М.,  Наука,  1976.
2. Л .А .Л ю етерник,  В.И.Соболев.  Краткий  курс функционального  анализа. 
М.,  Высшая  ш кола,  1982.
3.  Л .А .Л ю етерник,  В.И.Соболев.  Элементы  функционального  анализа. 
М.,  1965.
4.  В.А.И льнн,  В .И .С адовничий,  Бл.Х .Сендов.  М ат ем ат ический  анализ. 
М.,  Наука,  1979.
5.  И.П .Н атансон.  Теория  ф ункций  вещественной  переменной.  М..  Наука, 
1974.
6.  И .П .М акаров.  Теория  ф ункций действительного  переменного.  М.,  1962.
7.  Н.А.Фролов.  Теория  ф ункций  действительного  переменного.  М..  1961.

Мазмұны
1.  С ы зы қты қ  кеңістіктер  ........................................................................................... 3
2.  М стрикалы қ  кеңістіктер  ......................................................................................15
3.  Толы қ  м етри калы қ  кеңістік  ............................................................................... 37
4.  Н ормаланган  кеңістік  ...........................................................................................53
5.  С каляр  көбейтінді  үғымы  аны қталган  кедістік  ..........................................62
6 .  Гильберт  кеңістігі  .................................................................................................. 69
7.  С ы зы қты   шенелген  операторлар  кецістігі  ................................................... 87
8 .  С ы зы қты   операторлар  кеңістігі  ........................................................................92
9.  Кері  оператор  үгы мы   ...........................................................................................95
10.  Қ олданы лган  әдебиеттер  ............................................................................. 101
102

З.Т.Абдикаликова, А.Ибатов 
ФУНКЦИОНАЛДЫ К АНАЛИЗ 
пәнінен  әдістемелік құрал
басуға  15.02.2008  ж.  кол қойылды. Қалыбы 60x84/16. 
Қагазы офсеттік.  Ш артты  баспа табагы  6,5. 
Таралымы 500 дана.  Тапсырыс № 409
ЕҰУ баспаханасында басылған.