| 1. Риман интегралы
[а;в] шектелген функциясы берілсін. бөлікке бөлейік.
функциясы шектелгендіктен, оны майда бөліктерге бөлгенде, оның дәл жоғарғы және төменгі шекаралығы болады.
кесіндісінде төменгі шекаралығын , ал жоғарғы шекаралығын деп белгілейміз, сосын мынадай қосындылар құрайық:
төменгі
жоғарғы
Дарбу қосындыларын [а;в] кесіндісін майда бөліктерге бөлу тәуелді екендігі белгілі.
2. Дарбу теоремасы
[а;в] шектелген үшін құрылған Дарбу қосындылары [а;в] майда бөліктерге бөлгендегі ең үлкенінің ұзындығы 0-ге ұмтылғанда, шектерге ұмтылады және ол шектер [а;в] майда бөліктерге бөлуге тәуелсіз болады.
Риман бойынша төменгі интегралы
Риман бойынша жоғарғы интегралы
Дәлелдеу. Анықтылық үшін Дарбудың қосындысын алайық. Сонда алдын ала берілген ең үлкенінің ұзындығы –дан кіші болғанда, мына теңсіздііктің орындалатынын көрсетейік:
Олай болса, [а;в] ұзындығын және функциясының шектелгендігін ескеріп, мына теңсіздікті жазуға болады: .
санын алайық. Онда дәл төменгі шекаралықтың анықтамасы теңсіздігі шығады. [а;в] жаңа нүктенің көмегімен, р бөлікке бөлсек, онда Дарбудың қосындысы түрінде болады. Мұндағы – 1-ші бөлінудегі үшін мына шартты қанағаттандырып: .
-ң ең үлкен –дан кіші ұзындығын , сол болады деген шартты қанағаттандыратындықтан бөлікке бөлейік, ол .
Дарбу қосындысының қасиеті бойынша, егер де (1)-ші бөлгіштегі Дарбудың қосындысын екі қосынды деп қарастырсақ, онда ол екі қосындының шамасы берілген –нан асып кетпейді.
Олай болса, болғанда (в-а) белгіленген сан болғандықтан, шегі , ол дегеніміз – функциясының Риман бойынша интегралданатынын көрсетеді. Бұдан мынадай теорема шығады:
функциясы үздіксіз функция Риман интегралы кесіндіде интегралданады.
Достарыңызбен бөлісу: | 
