Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар


Өлшемді жиындарға амалдар қолдану



бет34/82
Дата09.03.2022
өлшемі2,71 Mb.
#27298
түріЛекция
1   ...   30   31   32   33   34   35   36   37   ...   82
Байланысты:
умк анализ фунд.сұрақтары

4. Өлшемді жиындарға амалдар қолдану.

1. Саны шекті өлшенетін жиынның бірігуі де өлшенетін жиындар болады. Сонымен бірге, жиынның қос – қостан ортақ нүктесі болмаса, онда жиынның бірігуінің өлшемі бірігуші жиынның өлшемінің қосындысына тең.



Дәлелдеу. Анықтамалық үшін өлшенетін Е1, Е2 жиындарын алайық. Онда жиынның өлшенуінің қажетті және жеткілікті шарты бойынша

Кез келген >0 (1)

саны шекті интервалдар системалары және бір системасының интервалдары қос-қостан қиылыспайды. Ал әртүрлі интервалдар системасының ортақ нүктесі болуы мүмкін.

Сонымен бірге, (2)

шарттары орындалады.

алсақ мұнда (3)

(3) теңдіктегі саны шекті интервалдар системасын құрайды. Сонымен бірге жиынның сыртқы өлшемінің анықтамасы бойынша

Екендігі шығады, себебі әрқайсысының сыртқы өлшемі -дан кіші. Бұдан жиынының өлшемдігі шығады, яғни 3-ті өлшенетін жиынның қажетті және жеткілікті шарты деп қарастыруға болады. Олай болса

(4) орында екендігін көреміз.

Теорема1. Айталық, өлшенетін жиынның ортақ нүктелері болмасын (5) екендігін көрсетейік.

Бірақ жиындардың интервалдар системасының өлшемі.

(6)

екі системаның да ұзындығы қайталанатын болғандықтан, оның 1-ін алып тастау керек, 5,6-шы теңдіктерді ескерсек,



(7)

(8)


екенін көрсететін интервалдар системасын 0 құруымыз бойынша S,C,E,V,M, S2 C E2 V M2

Бұл жиынның -ң шыққан теңдіктің оң жағы (ортақ нүкте жоқ); , олай болса С1 С2 М1' М2' бірігуінің бөлігі бойынша. Бірақ олардың берілген шегі әрқайсысының өлшемі -дан кіші болғандықтан, ол 2 -дан кіші болады, ендеше

(9) шығады.

7,8,9 – ды ескерсек, дәлелдеу керек теңдік шығады:



Теорема 2: Өлшенетін жиынның өлшемі де айырым болады және болса, онда теңдігі орындалады. (№2537 есеп, Давыдов). Айталық, Е1, Е2 өлшенетін жиындар болғандықтан, Е1, Е2 айырымының толықтауышын қарастырайық. Ол үшін екі жиынның толықтауышын еске түсірейік.

Соңғы теңдіктің оң жағындағы СЕ1 - өлшемді, себебі кез-келген жиын өлшемді Е2 – берілуі бо йынша өлшемді, өлшемді, оған толықтауыш жиын Е1\E2 өлшемді.

Айталық, онда ортақ нүктесі жоқ.

Теорема 3: [а;в] берілген саны есепті Е1, Е2,..., Еn,... өлшенетін жиынның өлшеуі де есепті болады. Сонымен бірге, бұл жиынның қос-қостан ортақ нүктесі болмаса, онда

Теорема 4: [а;в] берілген саны шекті не есепті өлшенетін жиынның қиылысуы да өлшенетін жиын болады.

Дәлелдеу. Айталық, [а;в] саны есепті Е1, Е2, ... , Еn,... өлшенетін жиындар берілсін. . Онда толықтауыш жиынның қасиеті бойынша Е жиынының толықтауышы Ек жиынының толықтауышының бірігуіне тең болады: . Ал әрбір СЕк толықтауыш жиын өлшемді, себебі олар 2 өлшемді толықтауыш [а;в] саны шекті, не есепті өлшенетін жиынның бірігуі өлшемді. Олай болса, СЕ өлшемді болса, [а;в] оның толықтауышы да өлшемді болады.

Теорема 5: Егер [а;в] өлшенетін жиындар беріліп және әрбір келесісі алдыңғының бойында ұстаса, онда жиынының бірігуінің өлшемі үшін теңдігі орындалады.



Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   30   31   32   33   34   35   36   37   ...   82




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет