Өлшемді жиындарға амалдар қолдану

1. Саны шекті өлшенетін жиынның бірігуі де өлшенетін жиындар болады. Сонымен бірге, жиынның қос – қостан ортақ нүктесі болмаса, онда жиынның бірігуінің өлшемі бірігуші жиынның өлшемінің қосындысына тең.

Кез келген >0 (1)

саны шекті интервалдар системалары және бір системасының интервалдары қос-қостан қиылыспайды. Ал әртүрлі интервалдар системасының ортақ нүктесі болуы мүмкін.

Сонымен бірге, (2)

шарттары орындалады.

алсақ мұнда (3)

(3) теңдіктегі саны шекті интервалдар системасын құрайды. Сонымен бірге жиынның сыртқы өлшемінің анықтамасы бойынша

Екендігі шығады, себебі әрқайсысының сыртқы өлшемі -дан кіші. Бұдан жиынының өлшемдігі шығады, яғни 3-ті өлшенетін жиынның қажетті және жеткілікті шарты деп қарастыруға болады. Олай болса

(4) орында екендігін көреміз.

Теорема1. Айталық, өлшенетін жиынның ортақ нүктелері болмасын (5) екендігін көрсетейік.

Бірақ жиындардың интервалдар системасының өлшемі.

(6)

екі системаның да ұзындығы қайталанатын болғандықтан, оның 1-ін алып тастау керек, 5,6-шы теңдіктерді ескерсек,

(8)

Бұл жиынның -ң шыққан теңдіктің оң жағы (ортақ нүкте жоқ); , олай болса С₁ С₂ М₁' М₂' бірігуінің бөлігі бойынша. Бірақ олардың берілген шегі әрқайсысының өлшемі -дан кіші болғандықтан, ол 2 -дан кіші болады, ендеше

(9) шығады.

7,8,9 – ды ескерсек, дәлелдеу керек теңдік шығады:

Соңғы теңдіктің оң жағындағы СЕ₁ - өлшемді, себебі кез-келген жиын өлшемді Е₂ – берілуі бо йынша өлшемді, өлшемді, оған толықтауыш жиын Е₁\E₂ өлшемді.

Айталық, онда ортақ нүктесі жоқ.

Теорема 3: [а;в] берілген саны есепті Е₁, Е₂,..., Е_n,... өлшенетін жиынның өлшеуі де есепті болады. Сонымен бірге, бұл жиынның қос-қостан ортақ нүктесі болмаса, онда

Теорема 4: [а;в] берілген саны шекті не есепті өлшенетін жиынның қиылысуы да өлшенетін жиын болады.

Дәлелдеу. Айталық, [а;в] саны есепті Е₁, Е₂, ... , Е_n,... өлшенетін жиындар берілсін. . Онда толықтауыш жиынның қасиеті бойынша Е жиынының толықтауышы Е_к жиынының толықтауышының бірігуіне тең болады: . Ал әрбір СЕ_к толықтауыш жиын өлшемді, себебі олар 2 өлшемді толықтауыш [а;в] саны шекті, не есепті өлшенетін жиынның бірігуі өлшемді. Олай болса, СЕ өлшемді болса, [а;в] оның толықтауышы да өлшемді болады.

Теорема 5: Егер [а;в] өлшенетін жиындар беріліп және әрбір келесісі алдыңғының бойында ұстаса, онда жиынының бірігуінің өлшемі үшін теңдігі орындалады.