Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар

Теорема. Егер дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы болып және кесіндісі бүтіндей аралығының ішінде жатса, онда қатарды -ның ішінде мүшелеп интегралдауға және осы кесіндінің кез келген нүктесінде мүшелеп дифференциалдауға болады.

8. Дәрежелік қатарлардың жуықтап есептеуге қолданылуы.

Егер функциясы бір аралықта Тейлор қатарына жіктелетін болса, яғни осы қатардың жинақталатын аралығында ол функцияның жуық мәні үшін қатардың дербес қосындысын -ті алуға болады. Сонда біздің жіберетін қатеміз қалдықтың абсолют шамасына тең, яғни болар еді. Бұл жерде п өскен сайын қате кішірейе түсетіні өзінен-өзі түсінікті. Сонымен функциясының жуық мәнінің дәлдігі Тейлор қатарының сол функцияға жуықтауына тәуелді болды. Егер қатар тез жинақталса, оның дербес қосындысына аздаған мүшелер енетіні түсінікті.

9. Фурье қатарлары. Фурье қатарлары теориясында негізінен қарапайым гармоникалар болатын периодты функциялар және тербелістің процестерге жатпайтын құбылыстарды өрнектейтін басқа функциялардың көптеген кластарының қатарға жіктелуін зерттейді.

9.1. Периодты функциялар. Периодты созынды.

Периодты функциялардың қасиеттері:

1) егер Т саны функциясының периоды болса, онда пТ (п-бүтін сан) сандары да сол функцияның периоды болады, демек

2) периодтары бірдей функциялардың қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және қатынасы да периодты функция болады;

3) егер периодты функция ұзындығы Т-ға тең кесіндіде интегралданса, ол функция ұзындығы Т-ға тең кез келген кесіндіде де интегралданады және мына теңдік орындалады:

(30)

Гармониканың графиігін синусоиданың графигін координаттар өстері бағытында қысу не созу (керу) және ОХ өсі бойында жылжыту арқылы шығарып алуға болатынын элементар математика курсынан білеміз.

Элементар математикадан белгілі ескеріп, деп белгілесек, онда

Егер десек, болғандықтан , яғни периоды болатын гармоникалық екі тригонометриялық функцияның қосындысы түрінде жазуға болады.

Фурье қатарларының теориясы периодты функцияларға бейімделген. Сондықтан кесіндісінде анықталған периодсыз функциялардың көптеген кластарын осы теорияның көмегімен зерттеуге болады. Ол үшін кесіндісінде анықталған периодсыз функцияны бүкіл сан өсінде периодты болатын етіп түрлендіру керек. Ол үшін нақтылы берілген есептер жағдайында, берілген функцияны кесіндісінің сыртына периодты созу әдісі қолданылады.

Анықтама. Қандайда бір кесіндісінде берілген функцияның периодты созындысы деп, бүкіл сан өсінің бойында анықталған, кесіндісінде функциясына айналатын (тең) және периоды сол кесіндінің ұзындығына тең болатын функциясын айтады.