Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

62
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
т.е. если
x
независимая переменная, то производная функции в
точке
x
равна отношению дифференциала функции в этой точке
к дифференциалу независимой переменной.
Пример. Рассмотрим функцию
y
= sin
x
. Найдем ее диффе-
ренциал:
dy
=
d
(sin
x
) = cos
x
·
dx
линейная функция аргумен-
та
dx
при фиксированном
x
. В частности,
d
(sin
x
)
x
=
?
3
=
1
2
dx
;
d
(sin
x
)
x
=
?
3
,
dx
=
0,1
=
0, 05;
d
(sin
x
)
x
=
?
2
=
0
.
Физический смысл дифференциала функции
Пусть
x
время,
y
=
f
(
x
)
координата точки на оси
Oy
в момент времени
x
. Тогда
?
y
=
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
)
изменение
(приращение) координаты за промежуток времени от момента
x
до момента
x
+ ?
x
. При этом
dy
=
f
0
(
x
)
·
?
x
=
v
(
x
)
·
?
x
, то
есть дифференциал равен тому изменению координаты, которое
имела бы точка, если бы ее скорость
v
(
x
)
на отрезке времени
[
x
,
x
+ ?
x
]
была постоянной, равной
f
0
(
x
)
.
Геометрический смысл дифференциала функции
123
y
x
x
?
x
x
+
(
)
?
f x
x
+
( )
f x
M
N
y
D
ь
э
ю
O
dy
?
x
м
н
о
Рис. 4.3.
Дифференциал
dy
равен тому изменению функции
y
=
f
(
x
)
при изменении аргумента на
?
x
, которое имела бы функция,
если бы на отрезке
[
x
,
x
+ ?
x
]
она была линейной с угловым
коэффициентом прямой (ее графика), равным
f
0
(
x
)
(см. рис.
4.3
).

4. Правила дифференцирования
63
Использование дифференциала для приближенных
вычислений
С помощью формулы
?
y
=
dy
+
o
(?
x
)
можно приближенно
вычислять
f
(
x
+ ?
x
)
при малых
?
x
, если известны
f
(
x
)
и
f
0
(
x
)
.
В самом деле, из равенства
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
) =
f
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
следует:
f
(
x
+ ?
x
) =
f
(
x
) +
f
0
(
x
)
·
?
x
+
o
(?
x
)
,
откуда получаем приближенное равенство
f
(
x
+ ?
x
)
?
f
(
x
) +
f
0
(
x
)
·
?
x.
џ 4. Правила дифференцирования
Теорема 3. Если функции
u
(
x
)
и
v
(
x
)
дифференцируемы в
точке
x
, то функции
u
(
x
)
±
v
(
x
)
,
u
(
x
)
·
v
(
x
)
,
u
(
x
)
/v
(
x
)
(где
v
(
x
)
6
=
=
0) также дифференцируемы в точке
x
, причем:
1)
[
u
(
x
)
±
v
(
x
)]
0
=
u
0
(
x
)
±
v
0
(
x
)
;
2)
[
u
(
x
)
·
v
(
x
)]
0
=
u
0
(
x
)
·
v
(
x
) +
u
(
x
)
·
v
0
(
x
)
;
3)
u
(
x
)
v
(
x
)
0
=
u
0
(
x
)
v
(
x
)
?
u
(
x
)
v
0
(
x
)
v
2
(
x
)
.
Доказательство. Докажем формулу 2) (формулы 1) и 3) до-
кажите самостоятельно). Положим
y
(
x
) =
u
(
x
)
v
(
x
)
. Тогда
?
y
=
y
(
x
+ ?
x
)
?
y
(
x
) =
u
(
x
+ ?
x
)
v
(
x
+ ?
x
)
?
u
(
x
)
v
(
x
) =
=
u
(
x
+ ?
x
)
v
(
x
+ ?
x
)
?
u
(
x
)
v
(
x
) +
u
(
x
)
v
(
x
+ ?
x
)
?
?
u
(
x
)
v
(
x
+ ?
x
) = [
u
(
x
+ ?
x
)
?
u
(
x
)]
v
(
x
+ ?
x
)+
+
u
(
x
)[
v
(
x
+ ?
x
)
?
v
(
x
)] = ?
u
·
v
(
x
+ ?
x
) + ?
v
·
u
(
x
)
.
Отсюда следует:
?
y
?
x
=
?
u
?
x
·
v
(
x
+ ?
x
) +
?
v
?
x
·
u
(
x
)
.
Перейдем в последнем равенстве к пределу при
?
x
?
0:
lim
?
x
?
0
?
y
?
x
=
v
(
x
)
u
0
(
x
) +
u
(
x
)
v
0
(
x
)
,

64
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
то есть
y
0
(
x
) = (
u
(
x
)
v
(
x
))
0
=
u
0
(
x
)
v
(
x
) +
u
(
x
)
v
0
(
x
)
, что и требо-
валось доказать.
Следствия.
(1)
[
c
·
y
(
x
)]
0
=
c
·
y
0
(
x
)
, где
c
=
const
;
(2)
(tg
x
)
0
=
sin
x
cos
x
0
=
(sin
x
)
0
cos
x
?
sin
x
(cos
x
)
0
cos
2
x
=
=
cos
2
x
+ sin
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
;
(3)
(ctg
x
)
0
=
?
1
sin
2
x
(докажите самостоятельно)
.
џ 5. Производная обратной функции
0
0
( )
y
f x
=
y
x
a
O
b
(
0
x
( )
f a
)
0
y
y
+ D
( )
f b
0
x
x
+ D
x
D
Рис. 4.4.
Теорема 4. Пусть функ-
ция
y
=
f
(
x
)
определена,
строго монотонна и непре-
рывна в окрестности точки
x
0
, дифференцируема в самой
точке
x
0
и
f
0
(
x
0
)
6
=
0. Пусть
f
(
x
0
) =
y
0
. Тогда в некото-
рой окрестности точки
y
0
су-
ществует обратная функция
x
=
f
?
1
(
y
)
, эта функция диф-
ференцируема в точке
y
0
и
f
?
1
0
(
y
0
) =
1
f
0
(
x
0
)
.
Доказательство. Рассмотрим какой-нибудь сегмент
[
a
,
b
]
, рас-
положенный в указанной окрестности точки
x
0
и такой, что
a < x
0
< b
. Функция
y
=
f
(
x
)
строго монотонна и непрерывна на
этом сегменте (рис.
4.4
). Поэтому, согласно теореме 5 главы 3,
множеством значений функции
y
=
f
(
x
)
, заданной на
[
a
,
b
]
, явля-
ется сегмент
Y
= [
f
(
a
)
,
f
(
b
)]
, на сегменте
Y
существует обратная
функция
x
=
f
?
1
(
y
)
, строго монотонная и непрерывная. При
этом
y
0
?
(
f
(
a
)
,
f
(
b
))
.
Дадим аргументу
y
обратной функции в точке
y
0
приращение
?
y
6
=
0 столь малое, что
(
y
0
+ ?
y
)
?
(
f
(
a
)
,
f
(
b
))
. Обратная функ-
ция получит приращение
?
x
=
f
?
1
(
y
0
+ ?
y
)
?
f
?
1
(
y
0
)
, которое

5. Производная обратной функции
65
отлично от нуля в силу строгой монотонности обратной функции:
?
x
6
=
0. Поэтому справедливо равенство:
?
x
?
y
=
1
?
y
?
x
.
(4.6)
Перейдем в этом равенстве к пределу при
?
y
?
0 и восполь-
зуемся непрерывностью обратной функции
x
=
f
?
1
(
y
)
и усло-
вием непрерывности в разностной форме:
?
x
?
0 при
?
y
?
0.
Так как при
?
x
?
0 знаменатель в правой части (
4.6
) стремится
к
f
0
(
x
0
)
, то предел правой части равен
1
f
0
(
x
0
)
. Следовательно,
существует предел и левой части равенства (
4.6
), который по
определению производной равен
f
?
1
0
(
y
0
)
. Таким образом, пере-
ходя к пределу при
?
y
?
0 в равенстве (
4.6
), мы получаем:
f
?
1
0
(
y
0
) =
1
f
0
(
x
0
)
.
Теорема доказана.
y
x
0
?
2
1
1
-
?
2
-
arcsin
y
x
=
???????????
Рис. 4.5.
Замечание. Полученная фор-
мула для производной обрат-
ной функции имеет простой
и ясный физический смысл.
Производная
f
0
(
x
0
)
есть ско-
рость изменения переменной
y
по отношению к изменению
переменной
x
в точке
x
0
. Это
означает, что при малом из-
менении
x
от
x
0
до
x
0
+ ?
x
,
т.е. при изменении
x
на ма-
лую величину
?
x
, перемен-
ная
y
изменится на величи-
ну
?
y
?
f
0
(
x
0
)
·
?
x
. Можно
сказать, что
y
изменяется в
f
0
(
x
0
)
раз ѕбыстрееї, чем
x
. Но тогда
x
изменяется в 1
/f
0
(
x
0
)
раз
ѕмедленнееї, чем
y
:
?
x
?
1
f
0
(
x
0
)
·
?
y
, то есть скорость изменения
переменной
x
по отношению к изменению переменной
y
(а эта
скорость и есть
f
?
1
0
(
y
0
)
) равна 1
/f
0
(
x
0
)
.
Примеры.
1) Рассмотрим функцию
y
= sin
x
при
?
?/
2
< x < ?/
2. Эта
3 В.Ф. Бутузов

66
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
функция имеет обратную:
x
= arcsin
y
,
?
1
< y <
1. Для любого
x
?
(
?
?/
2,
?/
2
)
выполнены условия теоремы 4, согласно которой
(arcsin
y
)
0
=
1
(sin
x
)
0
=
1
cos
x
=
1
q
1
?
sin
2
x
=
1
p
1
?
y
2
,
?
1
< y <
1
.
Запишем эту формулу, заменив
y
на
x
:
(arcsin
x
)
0
=
1
p
1
?
x
2
,
?
1
< x <
1
.
Замечание. При
x
?
+
1 (и также при
x
? ?
1) имеем:
(arcsin
x
)
0
?
+
?
. В таком случае говорят, что функция имеет
в данной точке бесконечную производную. Геометрически это
означает, что касательная к графику функции в соответствую-
щей точке это прямая, параллельная оси
Oy
(рис
4.5
).
2) Самостоятельно выведите формулу
(arccos
x
)
0
=
?
1
p
1
?
x
2
,
?
1
< x <
1
.
3) Рассмотрим функцию
y
= tg
x
,
?
?/
2
< x < ?/
2. Эта функ-
ция имеет обратную:
x
= arctg
y
,
??
< y <
+
?
. Для любого
x
?
(
?
?/
2,
?/
2
)
выполнены условия теоремы 4, согласно которой
(arctg
y
)
0
=
1
(tg
x
)
0
=
1
1
cos
2
x
= cos
2
x
=
1
1
+ tg
2
x
=
1
1
+
y
2
.
Запишем эту формулу, заменив
y
на
x
:
(arctg
x
)
0
=
1
1
+
x
2
,
??
< x <
+
?
.
4) Самостоятельно выведите формулу
(arcctg
x
)
0
=
?
1
1
+
x
2
.
џ 6. Производная сложной функции
Рассмотрим сложную функцию
y
=
f
(
t
)
, где
t
=
?
(
x
)
, то есть
y
=
f
(
?
(
x
)) :=
F
(
x
)
.
Теорема 5. Пусть функция
t
=
?
(
x
)
дифференцируема в точ-
ке
x
0
,
?
(
x
0
) =
t
0
, и функция
y
=
f
(
t
)
дифференцируема в точке

6. Производная сложной функции
67
t
0
. Тогда сложная функция
F
(
x
) =
f
(
?
(
x
))
дифференцируема в
точке
x
0
и выполняется равенство:
F
0
(
x
0
) =
f
0
(
t
0
)
·
?
0
(
x
0
) =
f
0
(
?
(
x
0
))
·
?
0
(
x
0
)
.
Доказательство. Согласно определению дифференцируемости
функции нужно доказать, что приращение функции
y
=
F
(
x
)
в
точке
x
0
можно представить в виде:
?
y
=
f
0
(
?
(
x
0
))
·
?
0
(
x
0
)
·
?
x
+
?
(?
x
)
·
?
x
,
(4.7)
где
?
(?
x
)
?
0 при
?
x
?
0 и
?
(
0
) =
0.
Дадим аргументу
x
приращение
?
x
в точке
x
0
. Функция
t
=
=
?
(
x
)
получит приращение
?
t
=
?
(
x
0
+ ?
x
)
?
?
(
x
0
)
, которое
можно представить в виде (в силу дифференцируемости функции
t
=
?
(
x
)
в точке
x
0
):
?
t
=
?
0
(
x
0
)
·
?
x
+
?
(?
x
)
·
?
x
,
(4.8)
где
?
(?
x
)
?
0 при
?
x
?
0 и
?
(
0
) =
0.
Этому приращению
?
t
переменной
t
соответствует прира-
щение
?
y
=
f
(
t
0
+ ?
t
)
?
f
(
t
0
)
функции
y
=
f
(
t
)
. Поскольку
функция
y
=
f
(
t
)
дифференцируема в точке
t
0
, то
?
y
можно
представить в виде
?
y
=
f
0
(
t
0
)
·
?
t
+
?
(?
t
)
·
?
t
,
(4.9)
где
?
(?
t
)
?
0 при
?
t
?
0 и
?
(
0
) =
0.
Подставив выражение (
4.8
) для
?
t
в равенство (
4.9
), полу-
чим:
?
y
=
f
0
(
t
0
)
·
?
0
(
x
0
)
·
?
x
+ [
?
·
f
0
(
t
0
) +
?
·
?
0
(
x
0
) +
??
] ?
x
=
=
f
0
(
?
(
x
0
))
·
?
0
(
x
0
)
·
?
x
+
?
(?
x
)
·
?
x
,
т.е. мы получили равенство (
4.7
), причем
?
(?
x
)
?
0 при
?
x
?
0
и
?
(
0
) =
0. Теорема доказана.
Замечание. Полученная формула имеет простой и ясный фи-
зический смысл:
?
0
(
x
0
)
скорость изменения переменной
t
по от-
ношению к изменению переменной
x
,
f
0
(
t
0
)
скорость изменения
y
по отношению к изменению
t
, а
F
0
(
x
0
)
скорость изменения
y
по отношению к изменению
x
. Ясно, что эти скорости связаны
равенством:
F
0
(
x
0
) =
f
0
(
t
0
)
·
?
0
(
x
0
)
.
3*

68
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
Примеры.
1) Рассмотрим функцию
y
=
x
?
,
где
?
произвольное фиксированное вещественное число,
x >
0.
Для этой функции справедливо представление:
x
?
=
e
(
?
ln
x
)
=
e
t
,
где
t
=
?
ln
x
. По формуле производной сложной функции
(
x
?
)
0
= (
e
t
)
0
·
(
?
ln
x
)
0
=
e
t
·
?
x
=
x
?
·
?
x
=
?x
?
?
1
.
Итак, при
x >
0
?
?
?
R
:
(
x
?
)
0
=
?x
?
?
1
.
Отметим два частных случая этой формулы:
?
x
0
=
1
2
?
x
;
1
x
0
=
?
1
x
2
.
2) Найдем производную функции
y
= ln cos(arctg
e
x
)
.
Она является суперпозицией четырех функций, поэтому ее про-
изводная состоит из четырех сомножителей:
y
0
=
1
cos(arctg
e
x
)
·
(
?
sin(arctg
e
x
))
·
1
1
+
e
2
x
·
e
x
=
=
?
tg(arctg
e
x
)
·
e
x
1
+
e
2
x
=
?
e
2
x
1
+
e
2
x
.
3) Вычислим производную так называемой степенно-
показательной функции
y
(
x
) = [
u
(
x
)]
v
(
x
)
, где
u
(
x
)
>
0
.
Так как
y
=
e
v
ln
u
, то
y
0
=
e
v
ln
u
v
0
ln
u
+
v
·
1
u
·
u
0
=
u
v
ln
u
·
v
0
+
+
vu
v
?
1
·
u
0
, или
(
u
v
)
0
= (
u
v
)
0
u
=
const
+ (
u
v
)
0
v
=
const
.

7. Инвариантность формы первого дифференциала
69
џ 7. Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции
y
=
f
(
x
)
, где
x
независимая пе-
ременная, выражается формулой
dy
=
f
0
(
x
)
dx
,
(4.10)
здесь
dx
= ?
x
является приращением независимой переменной
x
. Дифференциал функции
dy
называется также первым диффе-
ренциалом функции.
Покажем, что формула (
4.10
) останется в силе и тогда, ко-
гда
x
будет не независимой переменной, а дифференцируемой
функцией некоторой независимой переменной
t
:
x
=
?
(
t
)
. В этом
случае
y
=
f
(
?
(
t
)) :=
F
(
t
)
сложная функция независимой
переменной
t
, дифференцируемая в силу теоремы 5. Согласно
определению дифференциала функции
dy
=
F
0
(
t
)
dt
, а по теоре-
ме 5
F
0
(
t
) =
f
0
(
?
(
t
))
·
?
0
(
t
)
, поэтому
dy
=
f
0
(
?
(
t
))
·
?
0
(
t
)
dt
. Так
как
x
=
?
(
t
)
,
dx
=
?
0
(
t
)
dt
, то выражение для
dy
также можно
записать в виде (
4.10
), то есть формула (
4.10
) имеет место и в
том случае, когда
x
дифференцируемая функция некоторого
аргумента
t
.
Это свойство называется инвариантностью формы первого
дифференциала. Отметим, что инвариантной (не изменяющейся)
является только форма (вид) первого дифференциала, а суть
меняется, поскольку теперь
dx
=
?
0
(
t
)
dt
6
= ?
x
. Из (
4.10
) следует,
что
f
0
(
x
) =
dy
dx
,
(4.11)
т.е. производная функции равна отношению дифференциалов
функции и аргумента и в том случае, когда аргумент
x
не независимая переменная, а функция некоторой независимой
переменной
t
.
Следствие из формулы (
4.11
). Пусть переменные
x
и
y
заданы как функции аргумента
t
, который назовем параметром:
x
=
?
(
t
)
,
y
=
?
(
t
)
.
(4.12)
Пусть параметр
t
изменяется на некотором промежутке и пусть
существует функция
t
=
?
?
1
(
x
)
, обратная к функции
x
=
?
(
t
)
.
Тогда можно записать:
y
=
? ?
?
1
(
x
)
:=
f
(
x
)
.
Таким образом, уравнения (
4.12
) определяют функцию
y
=
=
f
(
x
)
. Такой способ задания функции называется параметри-
ческим заданием функции.

70
Гл. 4. Производные и дифференциалы.
Вычислим
f
0
(
x
)
. По формуле (
4.11
):
f
0
(
x
) =
dy
dx
=
?
0
(
t
)
dt
?
0
(
t
)
dt
=
?
0
(
t
)
?
0
(
t
)
t
=
?
?
1
(
x
)
.
Итак, мы получили формулу производной функции, заданной
параметрически:
f
0
(
x
) =
?
0
(
t
)
?
0
(
t
)
t
=
?
?
1
(
x
)
.
Эту же формулу можно получить иначе, если использовать
правило дифференцирования сложной функции и формулу про-
изводной обратной функции:
y
=
f
(
x
) =
?
(
?
?
1
(
x
))
?
f
0
(
x
) =
?
0
(
?
?
1
(
x
))
·
?
?
1
(
x
)
0
=
=
?
0
(
?
?
1
(
x
))
·
1
?
0
(
t
)
t
=
?
?
1
(
x
)
=
?
0
(
t
)
?
0
(
t
)
t
=
?
?
1
(
x
)
.
Физическая интерпретация.

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: