Лекции по математическому анализу Часть I москва 2012 б у т у з о в В. Ф. Лекции по математическому анализу. Часть I

182
Гл. 8. Исследование поведения функций и построение графиков
Отсюда следует, что
f
0
(
x
)
>
0 при
x <
0 и при
x >
2;
f
0
(
x
)
<
0
при 0
< x <
2,
f
00
(
x
)
<
0 при
x <
1,
f
00
(
x
)
>
0 при
x >
1. Следова-
тельно, функция
f
(
x
)
возрастает при
x <
0 и при
x >
2, убывает
при 0
< x <
2, а график функции
y
=
f
(
x
)
направлен выпукло-
стью вверх при
x <
1 и выпуклостью вниз при
x >
1 (рис.
8.2
). В
точке
M
(
1;
?
2
)
происходит изменение направления выпуклости.
Такую точку будем называть точкой перегиба графика функции.
x
y
x
0
2
-
1
4
-
2
3
M
Рис. 8.2.
Определение. Точка
M
(
a
,
f
(
a
))
графика функции
y
=
f
(
x
)
на-
зывается точкой перегиба гра-
фика, если:
1) в точке
M
существует каса-
тельная к графику;
2) существует такая окрест-
ность точки
a
, в которой слева и
справа от точки
a
график имеет
различные направления выпук-
лости.
Говорят также, что в точке
M
график функции имеет пе-
региб.
Теорема 4 (необходимое условие перегиба). Если функция
y
=
f
(
x
)
имеет в точке
a
непрерывную вторую производную
и график этой функции имеет в точке
M
(
a
,
f
(
a
))
перегиб, то
f
00
(
a
) =
0
.
Доказательство. Предположим противное, то есть
f
00
(
a
)
6
=
0.
Пусть
f
00
(
a
)
>
0 (случай
f
00
(
a
)
<
0 рассматривается аналогично).
В силу устойчивости знака непрерывной функции существует
окрестность точки
a
, в которой
f
00
(
a
)
>
0 и, следовательно, по
теореме 3 график функции направлен выпуклостью вниз как сле-
ва, так и справа от точки
a
, что противоречит перегибу графика
в точке
M
(
a
,
f
(
a
))
. Полученное противоречие доказывает, что
f
00
(
a
) =
0. Теорема 4 доказана.
Замечание. Условие
f
00
(
a
) =
0 является только необходимым,
но не достаточным условием перегиба графика функции в
точке
M
(
a
,
f
(
a
))
. Например, функция
f
(
x
) =
x
4
удовлетворяет
в точке
x
=
0 условию
f
00
(
0
) =
0, но в точке
M
(
0, 0
)
переги-
ба графика функции
y
=
x
4
нет, поскольку
f
00
(
x
) =
12
x
2
>
0,
и, следовательно, график направлен выпуклостью вниз на всей
прямой.

2. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
183
Назовем точками возможного перегиба графика функции
y
=
f
(
x
)
такие точки
M
(
a
,
f
(
a
))
, для которых либо
f
00
(
a
) =
0,
либо
f
00
(
a
)
не существует, но существует касательная к графику
функции в точке
M
(
a
,
f
(
a
))
.
Для дальнейшего исследования точек возможного перегиба
требуются достаточные условия перегиба графика функции.
Теорема 5 (первое достаточное условие перегиба). Пусть
точка
M
(
a
,
f
(
a
))
является точкой возможного перегиба графика
функции
y
=
f
(
x
)
и пусть
f
(
x
)
дважды дифференцируема в неко-
торой проколотой окрестности точки
a
. Тогда если в указанной
окрестности слева и справа от точки
a f
00
(
x
)
имеет разные знаки,
то в точке
M
(
a
,
f
(
a
))
график функции
y
=
f
(
x
)
имеет перегиб.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что в указан-
ной окрестности слева и справа от точки
a
график функции
y
=
f
(
x
)
имеет разные направления выпуклости и, следователь-
но,
M
(
a
,
f
(
a
))
точка перегиба графика. Теорема 5 доказана.
Примеры.
1)
y
=
x
4
?
2
x
3
. Имеем:
f
0
(
x
) =
4
x
3
?
6
x
2
=
2
x
2
(
2
x
?
3
)
,
f
00
(
x
) =
12
x
2
?
12
x
=
12
x
(
x
?
1
)
.
Так как
f
00
(
x
) =
0 при
x
=
0 и
x
=
1 и при переходе через
каждую из этих точек
f
00
(
x
)
меняет знак, то, согласно теореме 5,
точки
M
1
(
0; 0
)
и
M
2
(
1;
?
1
)
являются точками перегиба графика
функции
y
=
x
4
?
2
x
3
.
Задание. Постройте график этой функции.
2)
y
=
3
?
x
. Имеем:
f
0
(
x
) =
1
3
x
?
2
/
3
,
f
00
(
x
) =
?
2
9
x
?
5
/
3
=
?
2
9
x
3
?
x
2
,
x
6
=
0
.
Ясно, что
f
00
(
x
)
не существует в точке
x
=
0 и имеет разные
знаки при
x <
0 и при
x >
0. В точке
O
(
0, 0
)
существует ка-
сательная к графику функции
y
=
3
?
x
(касательной является
ось
Oy
). Следовательно, точка
O
(
0, 0
)
является точкой перегиба
графика функции
y
=
3
?
x
.
3) рассмотрим функцию
y
=
f
(
x
)
, где
f
(
x
) =
x
2
, если
x
>
0,
?
x
2
, если
x
6
0
.
Докажите, что
f
00
(
0
)
не существует, но точка
O
(
0, 0
)
является
точкой перегиба графика данной функции.

184
Гл. 8. Исследование поведения функций и построение графиков
Теорема 6 (второе достаточное условие перегиба). Если
функция
y
=
f
(
x
)
имеет непрерывную вторую производную в
окрестности точки
a
и третью производную в самой точке
a
,
причем
f
00
(
a
) =
0,
f
000
(
a
)
6
=
0, то график функции
y
=
f
(
x
)
имеет
в точке
M
(
a
,
f
(
a
))
перегиб.
Доказательство. Пусть
f
000
(
a
)
>
0 (случай
f
000
(
a
)
<
0 рас-
сматривается аналогично). Тогда
f
00
(
x
)
возрастает в точке
a
,
то есть существует такая окрестность точки
a
, в которой
f
00
(
x
)
< f
00
(
a
) =
0 при
x < a
и
f
00
(
x
)
> f
00
(
a
) =
0 при
x > a
.
Таким образом,
f
00
(
x
)
в указанной окрестности имеет разные
знаки слева и справа от точки
a
. По теореме 5 точка
M
(
a
,
f
(
a
))
является точкой перегиба графика функции
y
=
f
(
x
)
. Теорема 6
доказана.
Пример.
y
=
x
2
+ cos
2
x
. Имеем:
f
0
(
x
) =
2
x
?
2
sin
2
x
,
f
00
(
x
) =
2
?
4
cos
2
x
=
0 при
x
=
±
?
6
+
?n
,
n
?
Z
,
f
000
(
x
) =
8
sin
2
x
,
f
000
±
?
6
+
?n
=
8
sin
±
?
3
+
2
?n
6
=
0
.
Следовательно, в точках
M
±
n
±
?
6
+
?n
,
±
?
6
+
?n
2
+
1
/
2
график данной функции имеет перегибы.
џ 3. Асимптоты графика функции
Определение. Прямая
x
=
a
называется вертикальной
асимптотой графика функции
y
=
f
(
x
)
, если хотя бы один из
односторонних пределов
lim
x
?
a
?
0
f
(
x
)
и
lim
x
?
a
+
0
f
(
x
)
равен
+
?
или
??
.
Примеры.
1)
y
=
1
/x
. Прямая
x
=
0 (ось
Oy
) является вертикальной
асимптотой графика данной функции, поскольку
lim
x
??
0
1
x
=
??
,
lim
x
?
+
0
1
x
= +
?
.

3. Асимптоты графика функции
185
2)
y
=
2
1
/
(
x
?
1
)
. Прямая
x
=
1 вертикальная асимптота
графика этой функции (рис.
8.3
), так как
lim
x
?
1
+
0
2
1
x
?
1
= +
?
.
Рис. 8.3.
Отметим, что
lim
x
?
1
?
0
2
1
x
?
1
=
0
.
Заметим, что прямая
y
=
1 также является асимптотой гра-
фика функции, но это асимптота другого типа.
Пусть функция
y
=
f
(
x
)
определена на полупрямой
(
a
,
+
?
)
.
Определение. Прямая
Y
=
kx
+
b
называется наклонной
асимптотой графика функции
y
=
f
(
x
)
при
x
?
+
?
, если
f
(
x
)
представима в виде
f
(
x
) =
kx
+
b
+
?
(
x
)
,
где
?
(
x
)
бесконечно малая функция при
x
?
+
?
, то есть
lim
x
?
+
?
?
(
x
) =
0
.
Аналогично определяется наклонная асимптота графика функ-
ции при
x
? ??
.
Пример.
y
=
x
2
+ sin
x
x
.

186
Гл. 8. Исследование поведения функций и построение графиков
Так как
x
2
+ sin
x
x
=
x
+
sin
x
x
=
x
+
?
(
x
)
,
где
?
(
x
) = sin
x/x
бесконечно малая функция при
x
?
+
?
(и
также при
x
? ??
), то прямая
Y
=
x
наклонная асимптота
графика данной функции при
x
?
+
?
(и также при
x
? ??
).
Задание. Изобразите график этой функции.
Теорема 7. Для того, чтобы прямая
Y
=
kx
+
b
была на-
клонной асимптотой графика функции
y
=
f
(
x
)
при
x
?
+
?
,
необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
x
=
k
и
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
?
kx
=
b.
Доказательство.
Необходимость. Пусть прямая
Y
=
kx
+
b
является наклон-
ной асимптотой графика функции
y
=
f
(
x
)
при
x
?
+
?
, то есть
f
(
x
) =
kx
+
b
+
?
(
x
)
,
где
?
(
x
)
?
0 при
x
?
+
?
. Тогда
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
x
= lim
x
?
+
?
k
+
b
x
+
?
(
x
)
x
=
k
,
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
?
kx
= lim
x
?
+
?
b
+
?
(
x
)
=
b
,
что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть существуют пределы
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
x
=
k
и
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
?
kx
=
b.
Положим
?
(
x
) =
f
(
x
)
?
kx
?
b
. Тогда
lim
x
?
+
?
?
(
x
) = lim
x
?
+
?
f
(
x
)
?
kx
?
b
=
0
.
Таким образом,
f
(
x
) =
kx
+
b
+
?
(
x
)
, где
?
(
x
)
?
0 при
x
?
+
+
?
. Это и означает по определению, что прямая
Y
=
kx
+
b
наклонная асимптота графика функции
y
=
f
(
x
)
при
x
?
+
?
.
Теорема 7 доказана.
Примеры.
1) Рассмотрим гиперболу, заданную уравнением
x
2
a
2
?
y
2
b
2
=
1
.

4. Построение графиков функций
187
Возьмем ее ветвь, лежащую в 1-ом квадранте:
y
=
b
a
p
x
2
?
a
2
, здесь
f
(
x
) =
b
a
p
x
2
?
a
2
,
x
>
a.
Имеем:
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
x
=
b
a
и
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
?
b
a
x
=
0
.
Таким образом, прямая
Y
=
b
a
x
является асимптотой графика функции
y
=
f
(
x
)
при
x
?
+
?
.
Аналогично рассматриваются 3 другие ветви гиперболы, каждая
из которых имеет асимптоту.
2) Рассмотрим параболу, заданную уравнением
y
2
=
2
px.
Возьмем ее ветвь, лежащую в 1-ом квадранте:
y
=
p
2
px
,
x
>
0
.
Докажите, что эта ветвь параболы не имеет асимптоты при
x
?
?
+
?
(аналогично, не имеет асимптоты при
x
?
+
?
и другая
ветвь).
џ 4. Построение графиков функций
Общая схема исследования поведения функции
y
=
f
(
x
)
и
построения ее графика.
1) Находим область определения функции
y
=
f
(
x
)
.
2) Находим асимптоты графика функции.
3) Находим промежутки монотонности и точки локального
экстремума функции (с помощью
f
0
(
x
)
).
4)Находим промежутки, на которых сохраняется направление
выпуклости графика функции, и точки перегиба графика (с по-
мощью
f
00
(
x
)
).
5) Исследуем другие особенности графика функции (точки
пересечения графика с осями координат, четность или нечет-
ность
f
(
x
)
, периодичность
f
(
x
)
, оси симметрии графика и т.д.) 6)
Строим график функции, опираясь на результаты исследования.
Пример.
y
=
x
2
e
?
x
.

188
Гл. 8. Исследование поведения функций и построение графиков
1) Область определения:
R
= (
??
;
+
?
)
.
2) Асимптоты: а) вертикальных нет, поскольку
f
(
x
) =
x
2
e
?
x
непрерывна во всех точках; б) наклонные:
lim
x
?
+
?
x
2
e
?
x
x
=
0
?
k
=
0,
lim
x
?
+
?
f
(
x
)
?
kx
= lim
x
?
+
?
x
2
e
?
x
=
0
?
b
=
0
.
Итак,
y
=
0(ось
Ox
) асимптота графика функции при
x
?
+
?
.
Наклонной асимптоты при
x
? ??
нет, поскольку
lim
x
???
x
2
e
?
x
x
=
??
.
Отметим также, что
lim
x
???
f
(
x
) = lim
x
???
x
2
e
?
x
= +
?
.
3) Промежутки монотонности и точки локального экстремума
функции.
Так как
f
0
(
x
) = (
2
x
?
x
2
)
e
?
x
=
x
(
2
?
x
)
e
?
x
,
то
f
0
(
x
) =
0 при
x
=
0 и
x
=
2,
f
0
(
x
)
>
0 при 0
< x <
2,
f
0
(
x
)
<
0 при
x <
0 и при
x >
2
.
Следовательно,
f
(
x
)
убывает на промежутках
(
??
, 0
]
и
[
2,
+
+
?
)
и возрастает на интервале
(
0, 2
)
. Поэтому
x
=
0 точка
локального минимума, а
x
=
2 точка локального максимума
функции, и
f
min
(
0
) =
0,
f
max
(
2
) =
4
e
?
2
<
1.
4) Направление выпуклости и точки перегиба графика функ-
ции.
Так как
f
00
(
x
) =
2
?
4
x
+
x
2
e
?
x
; то
f
00
(
x
) =
0 при
x
=
2
±
?
2 ,
f
00
(
x
)
>
0 при
x <
2
?
?
2 и при
x >
2
+
?
2 ,
f
00
(
x
)
<
0
при 2
?
?
2
< x <
2
+
?
2 . Следовательно, график функции
направлен выпуклостью вниз на промежутках
??
, 2
?
?
2
и
2
+
?
2 ,
+
?
и выпуклостью вверх на интервале

5. Приближенное вычисление корней уравнений
189
2
?
?
2 , 2
+
?
2
. Таким образом, точки
M
1
и
M
2
графика
с абсциссами 2
?
?
2 и 2
+
?
2 являются точками перегиба.
График функции представлен на рисунке
8.4
.

жүктеу/скачать 1,76 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: