Лекция 8 Дифференциальные уравнения в частных производных
жүктеу/скачать 61,73 Kb.
|
|
Лекция 8 Дифференциальные уравнения в частных производных Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, порядок уравнения, решение уравнения, общее решение, частное решение, однородное уравнение, линейное уравнение, характеристическое уравнение, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, дополнительные условия, начальные условия, граничные условия, канонический вид уравнения. В теоретической физике очень важную роль играют дифференциальные уравнения в частных производных. Связано это с тем, что любой физический закон наиболее точно может быть выражен только в виде уравнения, и такое представление является самым общим (фундаментальным), т.е. на его основе можно описывать все явления и экспериментальные факты. Более того, правильно записанное дифференциальное выражение физического закона позволяет предсказывать еще не открытые явления. Надо отметить, что многие физические законы (например, законы квантовой механики) очень сложны, необычны и поэтому не поддаются наглядному описанию с помощью моделей или классических аналогий. В этих случаях их описание на основе уравнений является единственно возможным и строгим. Только такой способ описания позволяет нам, как говорил Л. Д. Ландау, понять вещи, которые мы уже не в силах вообразить. Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные искомой функции по этим независимым переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных. Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение. Решением (интегралом) дифференциального уравнения в частных производных называется функция, которая, будучи подставленной в уравнение вместо искомой функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по всем независимым переменным в рассматриваемой области. Уравнение является линейным, если все производные и сама неизвестная функция входят в это уравнение в первой степени. Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения в частных производных называется интегрированием этого уравнения. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных зависит от произвольных функций, число которых равно порядку этого уравнения. Любое решение дифференциального уравнения в частных производных, входящих в состав общего решения, называется частным решением этого уравнения. Для того чтобы найти интересующее нас решение дифференциального уравнения в частных производных, надо присоединить к уравнению некоторые дополнительные условия, которым оно удовлетворяет. Дополнительные условия делятся на начальные и граничные (краевые). Начальные условия задают значение функции в начальный момент времени. Кроме того, если уравнение содержит вторую производную по времени, нужно задать еще значение производной функции при . Граничные (краевые) условия обычно сводятся к заданию функции на границе области, в которой ищется решение задачи (условия Дирихле), или к заданию некоторых производных функции на этой границе (условия Неймана), или к заданию и значений функции и ее производных на границе области (условия Коши). Наиболее часто в физике используются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Общий вид такого уравнения для независимых переменных имеет следующий вид: . Если искомая функция зависит только от двух независимых переменных, то такое уравнение примет вид . (3.1) В данном уравнении если , то уравнение называется однородным, если же , то уравнение называется неоднородным. В зависимости от значения коэффициентов, стоящих при старших производных, уравнения подразделяются на несколько типов. Если , то дифференциальное уравнение в частных производных называется уравнением гиперболического типа; если , то – уравнением эллиптического типа; если , то – уравнением параболического типа. Для того чтобы привести дифференциальное уравнение в частных производных к каноническому виду, надо составить его характеристическое уравнение , (3.2) которое распадается на два уравнения (3.3) , (3.4) и найти их общие интегралы. Интегральные кривые уравнения (3.2) или, что то же самое, уравнений (3.3) и (3.4), называются характеристиками уравнения (3.1). Если уравнение (3.1) гиперболического типа, то интегралы уравнений (3.3) и (3.4) вещественны и различны. Они определяют два различных семейства вещественных характеристик уравнения (3.1). С помощью замены переменных уравнение (3.1) приводят к каноническому виду уравнения гиперболического типа: . Если же уравнение (1) параболического типа, то уравнения (3.3) и (3.4) совпадают, и мы получаем один общий интеграл характеристического уравнения (3.2): , определяющий одно семейство вещественных характеристик уравнения (3.1). Произведя замену переменных по формулам , где — такая функция, что в рассматриваемой области, приведем уравнение (3.1) к виду , называемому каноническим видом уравнения параболического типа. Наконец, если уравнение (3.1) эллиптического типа, то общие интегралы уравнений (3.3) и (3.4) комплексно-сопряженные: где - вещественные функции, определяющие два семейства мнимых характеристик уравнения (3.1). Произведя замену переменных по формулам , приведем уравнение (3.1) к виду , называемому каноническим видом уравнения эллиптического типа. Во многих задачах физики применяются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка нескольких наиболее часто встречающихся видов. При изучении волн различной физической природы – упругих, электромагнитных, волн плотности заряда в плазме и т.д. - применяется волновое уравнение Здесь функция может быть давлением или плотностью для упругих волн в газах, напряженностью электрического или магнитного поля и т.д.; - скорость распространения волн в данной среде. Распространение тепла в однородном изотропном теле, процессы диффузии описываются уравнением теплопроводности Здесь функция имеет смысл температуры или концентрации. Установившееся тепловое состояние в однородном изотропном теле описывается уравнением Пуассона где функция связана с плотностью источников тепла. При отсутствии источников тепла внутри тела установившееся тепловое состояние описывается уравнением Лапласа Уравнением Лапласа также описываются потенциалы поля тяготения и электростатического поля при отсутствии масс или зарядов. Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера, которое имеет вид Здесь комплексная функция , называемая волновой функцией, определяет амплитуду вероятности обнаружения микрочастицы, а функция связана с потенциальной энергией микрочастицы во внешнем силовом поле. Приведенные уравнения называются основными уравнениями математической физики. жүктеу/скачать 61,73 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|