Макрожүйенің микрокүйлерін

Ең алдымен газдың жеке молекуласының энергиясын оны сипаттайтын кванттық сандар мен ол қозғалып жүрген потен-циал параметрлері арқылы өрнектеу үшін мынандай қарапайым мәселені қарастырайық. Газ молекулалары қабырғасы а-ға тең куб тәрізді көлемде қозғалып жүрсін.
Молекулаларды бір-бірінен ажыратуға болмайды және бір-дей жағдайда қозғалады. Сондықтан оларды сипаттайтын бір-бөлшектік теңдеулер барлығы үшін бірдей және ол теңдеулердің шешуі бірдей. Олай болса, теңдеулердің біреуін шешсек жеткі-лікті және кез келген бір молекула үшін оның барлық мүмкін болатын күйін табамыз. Мысалы, молекула бір өлшемді потенциалда қозғалып жүрген кезінде квант механикасының теңдеуі былай жазылады:

^  ²
_ 2 
 ^
     
_{V } ^{0,0  X  a}
***




^{ 2m} X ²
V X _ X

^{X ; }, X  a, X  0

Қабырғасы шексіз биік осындай шұңқырда қозғалып жүрген бөлшек теңдеуін:
d ² _
dx²


k ²  0

түрінде жазуға болады, бұл жердегі
_{k 2 } 2m
_2
оған қойылатын шекаралық шарт 


x0 ^


xa ^{ 0}

және теңдеудің жалпы шешуін
_ 2 _2
 x  Asin kx^{еске алсақ, сондағы молекула энергиясы:}

 
2ma ²
n^{2 -на тең. Бұл өрнектегі а -потенциал ені, ал}
n  0,1,2,3,...
кванттық сан, оның әр мәні

әр кванттық күйге сәйкес келеді. Ал, егер молекула осындай үш өлшемді куб ішінде қозғалып жүрсе, онда оның күйі өзара байланысы жоқ үш кванттық сандар бойынша анықталады:

  ^ 2 ^2  

2 _ 2 _

2
n
2ma ² 1
n₂ n₃
(1.1.14)

Бұл сандардың мәні барлық нақты бүтін сандарға тең: n , n , n   0,1,2,...
1 2 3

Сөйтіп газдың толық микрокүйі осындай 
 n , n , n  кванттық сандардың N жиынтығы

i 1 2 3
бойынша анықталады. Осылайша жүйенің микрокүйлерін анықтау әр бөлшектің кванттық күйінің сипатамасын табуға келіп тіреледі.
Егер газ молекулаларының арасындағы әсерлесуді еске алсақ, онда жеке молекула үшін теңдеуді жазудың және жеке молекула күйі туралы ұғымның мәні жойылады, тек бүтін макрожүйе туралы ғана әңгіме қозғауымыз керек.
Дегенмен табиғаттағы көптеген макрожүйелердегі бөлшек-тердің өзара әсерлесуі көбінесе әлсіз болып келеді. Сондықтан жуық шамамен және кейбір жағдайда белгілі бір түрлендірудің арқасында мұндай жүйелерді өзара әсерлеспейтін жеке бөлшек-терден құралады деп есептеуге болады.
Сөйтіп жүйені өзара әсерлеспейтін молекулалардан не молекула топтарынан, кластерлерден немесе макроскоптық ішкі жүйе бөліктерінен тұрады деп есептеуге болады. Оларды біз квазибайланыссыз ішкі жүйе деп санаймыз.
Ішкі жүйелер арасындағы байланыс тек бір микрокүйлерден екінші кванттық күйге ауысқанда ғана көрінеді.
Макрожүйенің микрокүйлерін кванттық теория шеңберінде сипаттау деп осындай квази байланыссыз ішкі жүйелердің толық микрокүйлерін есептеп, оларды макрожүйенің макропараметрлері арқылы өрнектейміз. Жалпы өзара әсерлесуі бар жүйелер уақыт озған сайын бір микрокүйден басқа микрокүйге ауысып отырады. Сондықтан дәл айтсақ, макрожүйенің күйлері стационарлы емес, сондықтан квант механикасы бойынша оның энергиясы өзінің белгілі бір ғана мәнін алады деу дұрысқа жатпайды. Бірақ макрожүйе энергиясының осындай анықталмағандығы өте аз, жуықтап айтқанда, энергия өзінің бір белгілі бір мәнін алады деп есептеуімізге болады. Оның үстіне макрожүйенің толық энергиясы квази байланыссыз ішкі жүйелер энергия-ларының толық жиынтығы арқылы анықталады, яғни (1.1.13) теңдігі үлкен дәлдікпен орындалады.
Макрожүйедегі микрокүйлердің санын макрожүйелердің өзін анықтайтын энергиясы мен сыртқы параметрлеріне байланыстырып табудың кванттық жолы статистикалық физика принциптерінде өте маңызды рөл атқарады. Енді макрожүйенің микрокүйлер санын идеал газ үшін анықтайық. Бұл жүйе үшін жеке ішкі жүйе рөлін молекула атқарады деп есептейік. Молекуланың кванттық күйін анықтайтын (1.1.14) формуланы пайдаланамыз. Алдымен,
^{энергиясы} 0    ₀ ^{интервалында жатқан бір молекуланың үш өлшемді кеңістіктегі мүмкін}
болатын барлық микрокүй санын табайық. Ол үшін декарттық үш координат ретінде үш кванттық

сандар
n₁, n₂ , n₃
алынған кванттық күйлер кеңістігін енгіземіз (1-сурет). Әр кванттық сан:

1  n_i  n₀
(і=1,2,3) шек арасында өзгереді. Ал
n_i ^{-дің әрқайсысы үшін (1.1.7) формуланы}

1
^ 2ma² ^{ 2}

пайдаланып, _n
 ^{ 0 }
теңдігін аламыз. Үш кванттық сан анықтайтын кеңістіктің әр нүктесі




⁰  _ ² _h ² 

осы шар октантының шартты бір көлемі сәйкес келеді. Егер кванттық микрокүйлердің саны:
n₀ -ді үлкен сан деп есептесек, онда

1 4 ^{V 2m }3^{2 3}

  n  ^{0 ;
8 3 0} 6 ² ³
V  a
(1.1.15)

жүктеу/скачать 30,64 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: