Математическая статистика



бет5/16
Дата07.12.2022
өлшемі1,65 Mb.
#55622
түріУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
Байланысты:
теория вероятностей уч пособие

1

1/3, 1/2

19 б

91/228

33 а



2

1/6, 1/3

19 в

5/38

33 б



3

1/50, 49/50

19 г

35/76

33 в



4

1/6

20

3/10

34 а



5

1/360

21

1/22

34 б



6

1/60

22

0,302

35



7

1/90

23

0,2381

36



8

7/15

24

0,049

37 а



9

1/6

25



37 б



10

24/91

26



37 в



11

2/15

27 а

1/216

38 а



12

0,3

27 б

1/36

38 б



13



27 в

5/54

39 а



14

½

28



39 б

0,099

15

0,4

29



40



16

14/55

30

.

41



17

1/15

31 а

1/Р7=1/7!=
=0,000198

42

а) 0,125; б) 0,5

18

1/5

31 б

Р2Р3Р2Р2/Р10=2!3!2!2!/10! = 0,0000132

43



19 а

1/114

32

1/Р5=1/5!=
=,00833

44

0,4375

45



46


ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ, СУММЫ СОБЫТИЙ И ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ




Студент должен знать:
-основные формулы теории вероятностей


Студент должен уметь:
- находить вероятность произведения, суммы событий, появления хотя бы одного события;


Литература: [5] стр.37-43.


Основные теоретические сведения

1. Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.


Вероятность произведения независимых событий А и В:
P(AB) = P(A)P(B)
2. Два события А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло и обозначается P(A | B).
Вероятность произведения зависимых событий А и В:
P(AB)=P(A)P(B|A) или P(AB)= P(B)P(A|B).
3. Вероятность суммы двух совместных событий:
P(A + B) = P(A  B) = P(A) + P(B) - P(AB).
4. Вероятность суммы двух несовместных событий:
P(A+B) = P(A) + P(B).
5. Вероятность появления хотя бы одного события равна
P(A1A2...An) = 1 - P(Ā1)P(Ā2)...P(Ān),
где вероятность противоположного события равна P(Ā) = 1 - P(A).
6. Противоположные события – это два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти.
Вероятность суммы противоположных событий равна единице



Примеры


Пример 1. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго- 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.
Решение. Обозначим события:
А – попадание в цель первым стрелком,
В – попадание в цель вторым стрелком.
Так как события А и В независимы, то
P(AB) = P(A)P(B) = 0,90,8 = 0,72.


Пример 2. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Определить зависимы ли события А-«первой взята стандартная деталь» и В –«второй взята стандартная деталь».
Решение. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна P(A) = 90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то P(B) = 89/99, если же событие А не произошло, то P(B) = 90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В – зависимые.


Пример 3. В урне a белых и b черных шаров. Из урны наудачу последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.
Решение. Обозначим события:
А – первый шар черный;
В – второй шар черный.
Если произошло событие А, то в урне осталось всего a + b - 1 шаров, из них b - 1 черных. Поэтому условная вероятность события В при условии, что произошло событие А, есть:



Пример 4. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 второго сорта и 3 третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А1), вторая деталь – второго сорта (событие А2) и третья деталь – третьего сорта (событие А3).
Решение.


Пример 5. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. Вероятность получить на экзамене «2» равна 0,1; «3» – 0,6; «4» – 0,2; «5» – 0,1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку?
Решение: Пусть событие А – студент получит на экзамене положительную оценку.
, т.к. событие А и событие – «получить двойку» на экзамене являются противоположными.
.


Пример 6. Вероятность того, что первый стрелок поразит мишень равна 0,8, второй – 0,5. Найти вероятность того, мишень будет поражена только один раз.
Решение: Пусть событие А – попадет первый стрелок. . Событие В – мишень поразит второй стрелок. . Интересующее нас событие D– будет ровно одно попадание по мишени, если стрелки сделают только по одному выстрелу.
Вероятность того, что первый стрелок не попадет: . Второй стрелок не попадет с вероятностью .
Вероятность события равна:
.


Пример 7. Две пушки стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени первой пушкой равна =0,75, второй =0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если пушки сделают по одному залпу? События А и В независимы.
Решение: Интересующие нас событие С – будет поражена мишень.
Мишень будет поражена либо когда будет одно попадание, либо два. Таким образом, необходимо найти вероятность хотя бы одного попадания по мишени. Воспользуемся теоремой сложения совместных событий:

Поскольку события и независимы, данную формулу перепишем в следующем виде:

.




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет