Математическая статистика



бет7/16
Дата07.12.2022
өлшемі1,65 Mb.
#55622
түріУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   16
Байланысты:
теория вероятностей уч пособие

1

72/125

12 а

1/21

23

0,95

36

6

48 а

0,282

2 а

0,81

12 б

10/21

24

0,9984

37

0,347

48 б

0,270

2 б

0,01

13 а

0,46

25 а

0,36

38

0,636

49 а

0,184

2 в

0,99

13 б

0,42

25 б

0,64

39 а

0,032

49 б

0,137

3

0,612

13 в

0,12

26

0,384

39 б

0,316

50 а

0,0104

4 а

3/25

13 г

0,88

27

0,7

40

0,316

50 б

0,625

4 б

21/50

14

0,6

28 а

1/75

41

0,788

51

Не < 5 пакетов

4 в

29/50

15

0,204

28 б

(6/7)5

42 а

0,54

52

при р=0,4, р=0.8704, n4

5

0,5

16

0,4

29

5/12

42 б

0,995

53

0,708

6

7/9

17

0,994

30




43 а

0,46

54

0,4

7

14/55

18

0,126

31




43 б

0,7

55

0,992

8

7/24

19

0,72

32

15/16

44

0,982







9

1/16

20

0,88

33




45

0,421







10

(1-p)2

21

0,936

34

3/5

46

0,344







11

28/325

22

0,664

35

2/3

47

0,476









ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛЫ БЕРНУЛЛИ, МУАВРА-ЛАПЛАСА И ПУАССОНА. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО УСПЕХОВ.




Студент должен знать:
- формулу полной вероятности и формулу Байеса;
- формулу Бернулли, Муавра –Лапласа и Пуассона;


Студент должен уметь:
- находить вероятность событий, используя формулы полной вероятности, Байеса, Бернулли, Муавра –Лапласа и Пуассона,
- находить наивероятнейшее число успехов.


Литература: [5] стр.44-59.


Основные теоретические сведения

Если событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2 , ... , Нn, то вероятность события А может быть вычислена по формуле полной вероятности:


,
где p(Hi) – вероятность гипотезы Нi, ,
p(A\Hi) – условная вероятность события А при этой гипотезе.
С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были а в результате опыта появилось событие А то, с учетом появления этого события, «новые», т. е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

Формулы Байеса дают возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта.


Примеры


Пример1. В продажу поступили электрические лампочки, причем партия лампочек в 1000 штук поступила с одного предприятия, а партия в 500 штук – с другого. Известно, что на первом предприятии брак составляет 5 % продукции, а на втором 3 %. Какова вероятность приобрести нестандартную лампочку? Какова вероятность того, что куплена лампочка из первой партии, если она оказалась стандартной?
Решение. Выдвинем следующие гипотезы: Н1 – купленная лампочка принадлежит первой партии, Н2 – купленная лампочка принадлежит второй партии. Тогда
;
По формуле полной вероятности:


Для получения ответа на второй вопрос воспользуемся формулой Байеса. Вероятность



Пример2. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% – из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II – 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.
Решение: Событие А – взятая наудачу деталь стандартная. Возможны две гипотезы H1 – деталь изготовлена цехом I. H2 – II цехом. События H1 и H2 – образуют полную группу
; .
– условная вероятность события А при условии гипотезы H1.
– условная вероятность события А при условии гипотезы H2.
По формуле полной вероятности:

.


Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Муавра-Лапласа и Пуассона. Наивероятнейшее число успехов.

Пусть некоторое испытание повторяется практически в одинаковых условиях несколько раз, причем вероятность интересующего нас события в каждом испытании и результаты разных опытов независимы. Подобные условия опыта называются схемой Бернулли. Обозначим число испытаний через n, вероятность успеха в одном опыте p, а q = 1-p – вероятность неуспеха. Общее число успехов может быть целым числом от 0 до n. Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний успех наступит ровно k раз выражается формулой Бернулли



Часто на практике необходимо решать задачу: какое из возможных значений успеха имеет самую большую вероятность? В рассмотренном примере это 0 успехов.
В общем случае наибольшая вероятность приходится на значения k, заключенные на отрезке [np-q, np+p]. Длина этого отрезка равна единице, поэтому если np + p не является целым числом, то наиболее вероятное k единственно и равно целой части от np + p. Если же np + p целое, то наивероятнейших значений два np – q и np + p. В рассмотренном примере np + p равно 4/6 и его целая часть равна 0.


Схема Бернулли. Приближенные формулы
При больших n формула Бернулли практически не применима из-за большого объема вычислений. Однако в этом случае существуют сравнительно простые приближенные формулы.
Локальная теорема Муавра – Лапласа.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно к раз, равна
.
где p вероятность появления успеха в каждом испытании, q = 1  p, -значения функции приведены в таблице Приложение 1 (стр.79)
Интегральная теорема Муавра – Лапласа.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов k находится между k1 и k2, равна

где p – вероятность появления успеха в каждом испытании,
q = 1 - p, а - функция Лапласа (значения функции приведены в таблице Приложение 2, стр.80).
Отметим некоторые основные свойства функции Лапласа. Функция Лапласа монотонно возрастает.
Формула Пуассона
В случае, когда n велико, а p мало (обычно ) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

Формула Пуассона используется в задачах, относящихся к редким событиям.
Значения функции приведены в таблице Приложения 3, стр.81)


Примеры


Пример 1. Опыт заключается в трехкратном подбрасывании игральной кости. Найти вероятность, что все три раза выпадет 6 очков.
Решение. Вероятность выпадения 6 очков равна 1/6 и все броски независимы в совокупности. Поэтому применима формула Бернулли. Здесь число опытов n = 3, успехом будем считать выпадение 6 очков. Вероятность успеха в одном опыте p = 1/6, вероятность неуспеха q = 5/6. Число успехов может быть любым от 0 до 3.

Для проверки желательно убедиться в том, что сумма всех вероятностей равна 1.


Пример 2. Футболист выполняет пенальти. Вероятность того, что он забьет гол равна 0,8. Найти вероятность того, что из серии 5 пенальти данный футболист забьет 3 мяча.
Решение: Воспользуемся формулой Бернулли:

Найдем сначала число сочетаний:

.


Пример 3. Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно N раз.
Решение. Имеем схему Бернулли, в которой количество испытаний n=2N. Вероятность успеха (выпадение «герба») в одном испытании p=0,5. Тогда вероятность неуспеха (выпадение «решки») в одном испытании q=1-p=0,5. По условию количество успехов (количество выпадений герба) k=N.
При этом возможны два случая:


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   16




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет