Основные свойства неопределенного интеграла

206
Гл. 3. Неопределенный интеграл
в) 
М етод и н тегр и р о в ан и я по ч аст я м . Если » и « - — дифференцируемые функции и для 
функции uv1 существует первообразная, то
J
u d v = z u v — 
J
vdu.
1. 
Доказать, что если 
J
 
/(ж ) dx 
= 
F{x) + С, то
J
f ( a x + b) dx = —F(ax + b) + C, а ф 
0
.
< Имеем
/(аж +
6
) e?ar = —/(аж + b) d(ax + b), 
поэтому, применяя метод введения нового аргумента, получаем
J
 
/(аж 
+ b)dx = ^
J
f ( a x  -f b) d(ax + 6
) 
= ^
J
 
/(it) 
du = - F ( u )  + C,
где и = ax + b.
Например, пользуясь таблицей интегралов, находим:
[
d x
_ 1 
f
d
(g) 
= 1 ar 
X 
f
d x
_
f
J a2 + x 2 
a j  i +
( | ) 2
a 
a 
’ 
J  V a
2
- ж
2
J
f
d x
f
<*(f)
J yjx2 
± a2 
J
/ ( £ ) 2 ± 1
= = arcsin — \- C; 
2
a
x
-  -f 
a
(!)’
+Co - In |ж + \ / x 2 =t a
2
1+6’, C = C o -In |a|
f
dx 
= I f  
_ _L
J x2- a 2 
a j
( | ) 2 - 1
2a
In
x — a \
x + a
+ c .
►.
Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы:
2
. 
‘* * - .
/ 1 + sin ж
-4 Имеем
[
dx 
^
Г 
d { l ~ x ) 
__ 
f  ^ ( f — f )
_
. 
/ х
х \
J
l - f s i n x
У l + c o s ( f —я) 
J
cos
2
( f - | )
ё \ 4
2
/
*
ж ^ —— +
2
fcx, 
& € Z. ►
о 
/ x3dx
3 * y ^
◄ Поскольку
[
dx 
1
J
x 2 - a 2 ~  2a
ж — a
ж + a
+ c>
то, согласно примеру 
1
,
f x 3dx _
1
f  
ti(ж4) 
_
1
jn
/
X s
- 2 ~ 4 
J
(*4)2 _ (V
2 ) 2
- i ^ ln
ж4 - 2
я
4
+
2
+ c . ►
с(ж
Жх/ж^+Т

§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
207
М Имеем при х ф 0 
dx
dx
sgn х dx
' (
h
)
поэтому
f
dx 
f
J 
X ' J x 2
+ 1 
J
x \ x \ y / T ~ ^
ф + { щ ) *
!fe) 
_
1
+
( я ) ’
= — In
+ C = - I n
1
+ V x 2 + 
1
+ 0.  ►
I
dx
х л / х 2 — 
1 
< Поскольку
dx
sgn x dx
(и)
x s / x 2 —
1*1
> 
1
,
[
dx
_ 
f 
d
(
m
) 
_
J x^/xi 
- 1 
J
/ T 3 7 X v
"
w
= — arcsin 
7
—г + C. ► 
x
J  
( X 2 + 1 ) 2
6
.
(x
2
+
1
):
Пользуясь тем, что |x| = x sg n x , имеем
f ^
4
= [
J (2
_L 
1
\ о
dx
(x
2
+
1 ) 2
‘ ( 1
+ Зг)
3
1
^ 
2
sgn a:
2
J ( 1 + h ) 2 d{1 + h ) ~
sgnx
•2
+ c =
: + C .
2 
V ' x 2J 
' 
y / l + x2
При решении на x было наложено ограничение х ф 0. Однако непосредственной провер­
кой устанавливаем, что 
- есть первообразная функции ^aa+i)»/a Для всех х £  R. ►
’ • /
dx
v/ x ( l -+ х)
◄ Из неравенства х(1 + х) > 0 находим область определения -X’ = { x : x > 0 V x < —1} 
подынтегральной функции. Имеем при х > 0
/ . dx 
= /
-jjL_ = 2 /
= 2 1п (У £ + у Т + 1 ) + С .
7 \ / х
(1
+ х) 
У v W l + 1 
У \ / l +
(\/х)2
Аналогично при 1 + х < 0 
dx
\Д ( 1 + х) 
7
v - x -
"У v/i + (\/г хЗТ)
Или, объединив оба решения, получим 
dx
[
dx 
f
dx 
f
d ( \ / —x — 
1
) 
, ,--------- 
t— .
J
v /x (l + x )
У л/—x -
У V T + T v ^ X ^ T ) 2
I B о
I - 'r-?-
- = 2 s g n x ln С У Й + \ / | x + l | ) + C ,
x g [ - l , 0].
7 ^ ( l + x )
V 
/

208
Гл. 3. Неопределенный интеграл
8
/
dx
\ Л
(1
- х)
< Подынтегральная функция определена при 
0
< х <
1
, поэтому
9 .
/
dx 
f
dx 
f
d( Vx)
. 
r
r ,
— 
■
= / ------ - 
=
2
/ — 
-  = arcsm -v/x + C.
s j x \ \
— 
x )
J
v W l — 
x 
J
\ J \ — ( y / x ) 2
f
dx
J
V I  + eix
M
Имеем
dx 
f
dx
/
dx 
_ f
dx 
_
f
Vl +
e2* ~
J 
e*Ve~2*
 + 1 ~
J
d(e~*)
V e ~ 2x +
1
= —ln(e- * + \Je.~2x + 1) + C = x -  ln (l + V^l + e2*) + C.
10
.
I n
sin x cos xdx
M Поскольку sin x cos x d x  = d^a sln -+6- eos
\ J a2 sin
2
x + b2 cos
2
x 
ольку sin x cos x d x —
/
sin x cos x dx 
_
1
{ d(a2 sin"
v /a
2
sin
2
x + b2 cos
2
x 
“ 2
— 
^,2
J 
-Ja2 si
2
(«
2
-
6
2) 
' TO
2
x +
62
cos
2
x) _
V a
2
sin
2
x + b2 cos
2
x
• 
I "
J
sui
V a
2
sin
2
x + b2 cos
2
x
= -
5
— г г
\ / « 2
s i n 2
* + b
2
cos
2
x + С, 
а2 фЬ2. ► 
— cr
1 1
dx
sin x 
Имеем
dx
dx
dx
<*tgf
поэтому
sin x 
2
sin § cos |
2
tg f cos
2
|
tg |
1 2
,
f dx 
J
 
cos x
/ — - /
J  sill X 
у
tg i
= In tg - j + C\ 
х ф к х , к €
Ц Аналогично предыдущему примеру находим 
dx _ [ d ( f + x) 
sin ( f + x)
1 3 .
/ ^
= /
v , . \ = b | ‘g
/ 7Г 
я \
U + l)
+ C, 
* # — + кт, 
к € z . ►
>• /
◄ Преобразовав подынтегральное выражение, при х ^ 0 получим
1 4
•/
f dx 
f
dx 
f
dx 
f
J
sh x
- J
2
s h f c h §
- J
2
t h f c h 2f
“
7
d
(th 
2
) 
_ . I., x | 
t h f
-
1
п | ^ - | + с .
sh x
л/ch
2
a 
■4 Очевидно,
dx.
f
- !l*X . dx =
f  
d(i/T clix) 
. _
1
j; + V ch
2
x) + C.
У VdT
2
l
v
/ 2 7
(
1 / 2
ch x
) 2
-
1
л
/ 2
'
1
g. 
у sh x cli x dx
I . /„1.4„ , „1,4 „ '