Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

222
Гл. 3. Неопределенный интеграл
где нули квадратных трехчленов аух
2
+ bjx ■+ qj комплексные, допускает разложение 
к * 
л(') 
A(i) , 
л
( 0
Р( Х) _ У ' ( 
A 'n'i
Q(x) 
I (х — Xi)"i 
(х — X i)"i_1
+
. . .
+
X — X i
+
Я % « + С %
^ . -
1
* + ^ - !
I 
y
i
t T V « , - ‘ 
, 
В [ з ) х +
с [3)
у (а >х2 + bj x + с.)Уп’ 
( a j x 2 + bjX +
1 
a j x 2 + bj x + Cj
( 1)
Постоянные A \} \ B \P  
и
находятся методом неопределенных коэффициентов.
В некоторых случаях постоянные 
А п , A n - i , ■ ■ ■, A i  
в разложении
Р ( * ) ^
Р Ы
=
А п 
Л п - i
Ах 
Н ( х )
Q( x )  
( х —Хх)л г(а:) 
( х —Х х) " 
~ ( х —x i ) n — 1 
' *** 
' х —х \
~  г ( х ) ’
соответствующие множителю (
х
— 
x i ) n
, удобно находить следующим образом.
Умножив равенство (
2
) на (х — x i) " , получим
= А п  + ( х - X i ) - A n - 1 + . . - + [ х  -
н- ( х -
r(x) 
v 
у 
v 
7
' г(х)
Заметив, что все слагаемые правой части равенства (3) при х = xi  равны нулю, находим
(2)
(3)
г(ат)
Далее, продифференцировав равенство (3), получим
(4)
( —
7
~ г ' ]  = А
п- 1
+ 2(х -
x i
) A
„-2
+ . . . + ( » - 1)(х - Xi ) n 
2 А г  
+ (х -
X i )  
+ (а; - х i ) n 
1
— ^
, 
\ r { x ) J
П( х )
(5)
откуда находим
А 
№
v
Продолжая описанный процесс, получим формулу
fc! ^ г(х)
А „ .к 
, L
( m
к =
0
, п — 
1
,
(
6
)
используемую для определения постоянных 
А п , A n - i ,  . . .
, 
А \
, соответствующих множителю
( * - X i ) n .
Аналогично вычисляются постоянные разложения (
1
), соответствующие другим действи­
тельным нулям многочлена х ь-*■
Q(x).
Применяя метод разложения рациональной дроби на простейшие множители, вычислить 
следующие интегралы:
■
dx.
6 9 . / - 5 - 4 + 1
J х 3 — 5х2 + 6х 
◄ Выделив целую часть
х 3 + 1
=
1
+
5х
2
— 
6
х + 1
х 3 — 5х
2
+
6
х 
х
3
— 5х
2
+
6
х ’
а затем разложив знаменатель правильной дроби на множители, получим 
5х
2
— 
6
х +
1 
__ 5х
2
— 
6
х 
+ 1 
_ А
В
С
х
3
— 5х
2
+
6
х 
х(х — 2)(х — 3) 
х 
х — 2 
х — 3 ' 
Согласно формуле (4), имеем
А =
5х — 
6
х -f 1
(х -
2
)(х - 3)
_ 1 
5х
2
-
6
х + 1
6
’ 
х(х — 3)
_
9 
„ _ 5х
2
— 
6
х + 1
, ~ ~ 2 ’ 
~  
х(х -
2
)
28 
3 '

§ 2. Интегрирование рациональных функций
223
Интегрируя тождество
х
3
+
1
х
3
— 5х
2
+
6
х 
окончательно получаем
_
1 1 _ 9
1 
28 
1
- +
6
х 
2
х -
2
+ З 
х - 3 ’
/
х 3 _
1
_ 1 
1 
О 
OQ
Ж3
_
5
"
2
~
6
- Ах = X + - In |х| - - 1п |х - 2| + у In \х - 3| + С, 
х # 0 ,-2 у З . ►
: dx
■ Зх + 2 '
◄ Аналогично предыдущему имеем 
х 
х
А
В
С
• + ■------- +
х
3
— З х + 2
(х — 1)
2
( х + 2 )
( х - 1
) 2
+ ( х - 1 ) + х + 2-
Пользуясь формулой (
6
), находим
х V I 
2
X
А =
х -f- 
2 
Таким образом, 
х dx
= | ,
в = ( -
1
з 
V я + 2 / | I= i 
(х + 2
) 2
| ^ _ 1
9 ’
dx
С =
(х — I
) 2
* = - 2
f
х dx 
_
1
f
dx 
2
f dx 
2
f  
J
x 3
- 3x + 2 ~ 3 
J
(x
- l ) 2 + 9 
J
x -
1 “ 9 
J
x 
+ 2
7 1
/ 5
-
г
^
+ ! 1
п
|
г
- 1|- ^ 1
п
1
г
+2|+
с
= -
з
(1 Ь )+ ! 1
п
|7
т
1 |+ с.
X 
7
^ 1, x ^ —2. ►
dx
4  Имеем
+ l)(x + 2)2(x + 3
) 3
А 
В 
C 
t 
D
' + 7---- . „ i , + 7---- + 7----------- Г77ТТ +
E
F
■ +
(x + l)(x + 2)2(x + 3
) 3
x + 1 + (x + 2
) 2
+ (x + 2) + (x + З
) 3
+ (x + 3
) 2
+ x + 3 '
Пользуясь формулой (
6
), последовательно находим
(
1
)
А =
(х + 2)2(х + 3
) 3
С -
(х +
1
)(
i ______у
|(х + З)3 
J
= 
1 
в -  
1
8
’ 
( х + 1 ) ( х + 3
) 3
_ - ( х + З
) 3
- 3(х + 1)(х + 3)
= -
1
,
х = - 2  
2
(х + 1)2(х + З
) 3
D =
(х +
1
)(х +
2 ) 2
1
2
’
£ =
Дх +
1
)(х +
2 ) 2
f = 
____2____Г
2 \( х + 1)(х + 2)2 
J
- ( х -+ 
2 ) 2
-
2
(х +
1
)(х +
2
)
(х +
1
)2(х +
2 ) 4
#=—3
= 
2
,
= ( _____L
\ (х +
1
)3(х
(х +
2 ) 4
)
/ ( *
+
2 ) 2
+ (х +
1
)2(х +
2 ) 3
+ (х +
1
)(:
Подставив найденные коэффициенты в разложение (1) и проинтегрировав, получим
17
' 
8
'
dx
= h n l x + l] + - J - + 2 1n lx + 2l + ^
7- ^ - s. +
+ 1)(х + 2)2(х + 3
) 3
“
8
l u | " T i | T x +
2
' (г +
3 )2
5
17, , 
„
9х
2
+ 5 0 х +
6 8
, 1 ,
+
~т
~/— — - — 1п|х + 3| 
+ С =
, , 
гтт—
- т ^ г +
- I n
4 (х + 3) 
8
4(х + 2)(х + 3
) 2
"г
8
(х + 1)(х ^ 2 f 6
(* + З)1!,
х Ф
—3; ^2; —1. ►
+ С,

224
Гл. 3. 
Неопределенный интеграл
7 0
/ ________^ ________
J х(х +
1
)(х
2
+ X +
1
) ’
4  Имеем
---------
1
----------= 
—
+
х(х + 1)(х
2
+ X + 1) 
X 
Х 
+ 1 
Х 2 + Х
+ 1
По формуле (4) находим первые два коэффициента:
1
В
Сх  + D
"Г
(1)
А =
(X +
1
)(х
2
+ X + 
1
)
1
,
В =
х(х
2
+ X +
1
)
Далее приводим разложение (
1
) к общему знаменателю
1
= А( х + 
1
)(х
2
+ х +
1
) + В х ( х 2 + х +
1
) + (Сх + D) (x 2 + г);
3 
2
затем сравниваем коэффициенты при х' и х , получим систему
О = А Т В  +
0 = 2А + В + D + C,
из которой находим С  =
0
, D = — 1. Проинтегрировав (
1
), получим
dx 
dx
/
v(x И- 
1
)(х
2
Н- х -f 
1
)
= In I х I — In I х +
1
1 +
/
Г
2
+ X + 1
7 3 ,
h
= In 
dx
x + 1
+
d ( x + a) 
_
Г 
d 
+
J
£ 7 5 * +
2
-I- 
-
2 / ~ 4
In
X + 1
, 2
2
x + l
^
+ v f “ c‘5 ^
"
+ c ' 
* ^ - 1 ;° - ►
+ i
4  Поскольку x
3
+
1
= (x + l)(x
2
— x + 1), 
t o
f
dx 
[ d
x f B
x + C
J 
x 3 

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: