+
1
J
x + 1
J
x 2
—
x + 1
X ~
Обычным методом получаем систему
0 — А
В ,
0 = - А + В + С,
1 = А + С.
Отсюда А —
В — —
С = | . Таким образом, при х ф —
1
/
dx
1
, .
^ T T = i ln
11
+
11
1
[
х
-
2
J
1
, , , ,,
1
[ {x ~ \ ) d x
- / -=----------- dx =
- I n x +
1
- -
/
-i----------
*2
-
l
3 j x
2
— x + 1
3
3 j x
2
— x + 1
+
1
f
dx
2 J ( x - k ) 2
k2 . 3
4
= - in |x + 1] - - l n ( x
2
—
X
+
1 )
+
(* - ir +
1
.
2
x -
1
1
+ 7 ! a,c,B , д
■
+ C
—
— In
(* + l ) 2
.
1
2x — 1
---------------
1
- — a rc tg ---- — + C. ►
/
X dx
*3 - l
6
x
2
- x +
1
у Д '
V s
7 4
◄ Имеем
f x d x
f dx
f _
J
x 3 —
1
J
X —
1
J
X
B x -+• C
T T + i
dx.
откуда получаем x = A ( x 2 + x + 1) + ( Bx + C)(x —
1
);
0
= A + B,
1 = А - В + C,
0
= A - C.
§ 2. Интегрирование рациональных функций
225
Решая полученную систему, находим
А = ~ ,
В = - ~ ,
С = ~ .
3
3
3
Следов ательно,
/
x d x
1 , .
,,
i f
х — 1
,
1 , ,
„.
1
. о
j r - j . j t o i . - H - j
J
+ . + Ц +
+ c = - In -1^— ^
H— -= arctg
2
x +
1
.
f
dx
'• у ** + r
... „
— I—
t
= a rc tg ---- —— |-С
(x ф 1). ►
a
/ 3
a
/3
6
x
2
+ x + 1
т/з
6
,/3
\ т >
7 5 .
◄ Поскольку
x4 + 1 = (x2 + l)2 - 2x2 = (x2 + хл/2 + l)(x 2 -
x V 2 +
1),
то разложение подынтегральной функции на простые дроби ищем в виде
1
А х + В
С х + D
х
4
+
1
х
2
+ хл
/ 2
+
1
х
2
— хл
/ 2
+
1
Из тождества
1
= (Ах + В ) ( х 2 - хл/2 + 1) + ( Сх + D) (x 2 + хл/2 + 1)
получаем систему уравнений
О = А + С,
О = —л/2Л •+■ В -f- л/2 С
1)у
0 = А — л /2 5 + С + л/
2
D,
1 = В + В.
Отсюда А = —С =
В = В = ^ . Следовательно,
f dx
1
Г
J
х4 + 1 ~ 2л/2 У з
♦ * /
■
+
\ / 2
1
• ах —
+ хл
/ 2
+
1
2
л
/ 2
dx
(* +
) +
\
1
2
л
/ 2
/
-
-
Х
.
4*
2
, /т . /'
/ .. i - f
+
у
х
2
— хл
/ 2
+
1 4
J
<
х + -X-
—-----
2
------dx +
х
2
+ хл
/ 2
+
1
dx
( ~ * ) Н
:
111
■
+ х
^ 2
+
1
1
4 ^ 2
х
2
- xV
2
+
1
+ ^
(аГС‘ё (1ЛД + 1} +
аГС‘ 8
" 1)} +
Учитывая формулы сложения арктангенсов (см. пример 268, гл. I), окончательно получа-
1(х
) = / —
=
>
У г ‘ + 1
1
. х
2
+ хл/2
+ 1
1
хл
/ 2
ж
.
—
7
= In —------- т=-------
1
----- = arctg ------- ж Н----- -= е(х) + С,
4 л/2
х
2
- х \ / 2 + 1
2 л/2
1 - х
2
2 л/2
'
где
• /
{
+
1
,
если х >
1
,
О,
если |х| =
1
,
—
1
,
если х < —
1
,
/ (
1
) = Иш I(x);
/ ( —
1
) = lim I(x). ►
х —*1
х —* — 1
dx
7 6 . ,
.
X 4 + X 2 + 1
◄ Поскольку x
4
+ x
2
+
1
= (x
2
+ l
) 2
— x
2
= (x
2
— x + l)(x
2
+ x +
1
), то разложение ищем в
виде
А х + В
С х + В
+
X
4
+ X
2
+
1
X
2
+ X +
1
X2 — х +
1
226
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Из тождества
1
= (Ах + В)(х2 — х + 1) + (Сх + D)(x2 + х А 1) получаем систему
х
х
х
х
3
2
О
О = А + С,
О = —А + В + С + D,
0 = А - В + С + D,
1 = B + D.
Отсюда А = В = —С = D — | . Таким образом,
f ___ dx
_
1
f
х +
1
J x
A x 2 A
T
- \ i
x
2
+ r + l
dx ■ 1 [
E
- 1
d x -
2
J
x 2 - x
+
1
1 . x l + X + 1
= - I n
4
x
i f
2
x + l
2 x -
’ - * + i + V 5 ( “ et
6
- 7 T
“ Т Г
+ c.
Заметим, что (см. пример 268, гл. I)
. 2х + 1
2х - 1
х Д
arctg — -=— |- arctg — -=- = arctg ----- - + ire(x),
1
— х л
Д
д
где функция е(х) определена в предыдущем примере, а значения арктангенса в правой части
в точках х =
±1
равны предельным значениям в этих точках.
Окончательно имеем
/
dx
х
4
+ х 2 +
1
1
, х2 + X +
1
т In - j -------—г
4
х
2
— х + 1
+ ^ f alCtg
х Д
1 — X2
+
w f * w + a
►
77.
/
dx
x e + 1'
◄ Сначала преобразуем подынтегральную функцию
1
_ (х
4
+
1
) +
(1
- X4) _ х
4
+
1
1
- х
4
х« +
1
~
2
(х
6
+
1
)
~
2
(х
6
+
1
) +
2
(х
6
+
1
) "
_
(х
4
- х
2
+
1
) + х
2
^ _ (
1
^ *
2
)(
1
± х 2)____
1
,
х
2
х
2
-
1
2
(х
2
+
1
)(х
4
— х
2
+
1
) +
2
(х
4
— х2 +
1)(1
+ х2)
2
(х
2
+
1
) +
2
(х« +
1
)
2
(х
4
- х
2
+
1
) '
Первые два слагаемых легко интегрируются, поэтому найдем разложение на простые дро
би только последнего слагаемого. Имеем
-з?_ + 1 ____
А х А В
Сх + D
2
(х
4
— х
2
+
1
)
х
2
а
Д
х
А 1
+ х2 - з Д х
+
1
’
- у + \ = (Ах А В)(х2 - Д х А 1) + (Сх A D)(x2
а
Д
х
+
1
);
О = А + С,
- j = - Д
а а
В
а
Д
с а о
,
О = А — Д В А С А Д О ,
± = B A D .
Отсюда А = —С = д д , В — О = j , поэтому
+
уД
2
х
6
+ 1
2 (х
2
+ 1)
2 (х
6
+
1
)
2Д
х
2
а
Д
х
А 1
2-у/З х
2
- -уДх+ 1 ’
Интегрируя это равенство, получаем
78
/
dx
х
6
+
1
1
1
з
1
- arctg х + - arctg х + — - In
2
6
4т/з
х
2
а
Д
х
А 1
х2 — -Д х + 1
А С . ►
dx
— X
4
+ X
3
— X
2
+ X —
1
'
§ 2. Интегрирование рациональных функций
227
◄
Поскольку
Xs - X*
+
1
3 — I 2 + X
—
1 =
х4(х
— 1) +
х2(х
— 1) +
(х — 1)
=
{х
— 1)(х4
+
х2
+ 1 ) =
(х - 1)(х2 + X + 1)(х2 - X + 1), то разложение подынтегральной функции на простые дроби
имеет вид
____
1
_
А
В х + С
D x + Е
' ~0~ I “ .
1
X
5
— X
4
+ X
3
— X
2
+ X —
1
X —
1
1
X
2
+ X +
1
' X
2
— х +
1
'
Из тождества
1
= A ( x i +
х
2
+ 1) + ( В х + С)(х - 1)(х2 - х +
1
)
+ ( Dx + Е ) ( х й - 1) получаем
систему
решая которую, находим
Таким образом,
dx
О = А + В + D,
О = - 2 В + С + Е,
х-
0 = А + 2 В - 2С,
х
0 = - В + 2С - D,
1 = А - С - Е ,
А = —В = i
С = - \ , D = О, Е = ~ .
/
5 _ * * + хз _ * 2 + - М
= 3
1
П|* -
1
| _ 6 1П|Г
+ * +11
_
1
1
л .
6
П X
2
+ X +
1
1
.
2
х
- 1
_
3
M c tg - v T + c =
1
2х — 1
7 9 . При каком условии интеграл
j
dx представляет собой рациональную
функцию?
4
Интеграл представляет собой рациональную функцию, если в разложении
й х
2
+ b x + c _ A
B D
Е
F
о “l” о “4“
Н“
х 3 ( х — I
)2
(X - I
)2
X —
1
коэффициенты D и F равны нулю. Предполагая последнее, имеем
♦
ах2 + Ьх +
с
=
у
4 (
х
2
— 2х + 1) + В ( х 3 —
2
х
2
+ х) + Е х 3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
О = В + Е,
а = А — 2 В,
Ь = - 2 А + В,
с = А.
Исключая из этой системы неизвестные А, В и Е, находим требуемое условие:
а + 2Ь + Зс = 0. ►
Применяя метод Остроградского (см.: Л я ш к о И. И. и др. Математический анализ. К.,
1983. Ч. 1, с. 381), найти интегралы:
80
.
' 7 < г г
: dx
4 Имеем
1
)
2
( х + I)3 '
dx
f
х I
J
A x 2 + В х + C
V
2
( x +
1)3
( x
— l)(x + l ) 2
Дифференцируя обе части равенства, находим
х
_ (х2 — 1)(2л4х + В) — (Зх — 1)(л4х2 + В х + С)
D
+
х + 1
( х - 1 ) 2(х + 1)3
( х - 1 ) 2(х + 1)3
х - 1
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем
= — А х 3 +
(А —
2В) х2
+ (—
2А
+
В —
3С) х + С
— В
+
+
D(x
— 1)(х3 + Зх2 + Зх + 1) +
Е(х
4
г- 2х2 + 1).
|