Гл. 3. Неопределенный интеграл

§ 2. И н т е г р и р о в а н и е р а ц и о н а л ь н ы х ф у н к ц и й
229
Тогда
83
• / <- •
/
х dx
(х
2
+2х + 2)2 
х2 + 2 х + 2
+ arctg (х + 1) + С. ►
dx
+ 1)2
◄ Имеем
f
dx
J
( * 4 + 1)2
А х
3
+ S i
2
+ Сх + D 
[ E x 3 + Fx 2 + Gx + Н ,
+ / ----------ZTT-,---------- dx.
откуда
i
4
+
1 
3/ д з
а
:4
+
1
1
= (ЗАх2+ 2 В х + С)(х*+1) -  4х3(Ах3+ В х г + Сх + D) + (х
4
+
1
)(£ х
3
+ F x 2+ Gx + Я);
О = Е,
О = - A + F,
О = —2 В  
G,
о = - з
с + ы,
О = - 4 D + Е, 
0 = 3 A + F,
0
=
2
В + G,
1
= С + Н .
Решая систему, получаем
A = B = D = E = F = G = 0, С = ~ ,  Я = - .
’ 
4 ’ 
4
Следовательно,
f
dx
J
( * 4 + 1
+ 1
)2
4 (а
;4
+ 1)
Пользуясь результатами примера 75, окончательно находим
dx 
х
3 [
dx
4 
J
х
4
+
1
'
/
x 
3 
x2 + x \ / 2
+
l 
3 
xy/2 
3ire(x)
(*4
+ l
)2
~ 4(x
4
+ l ) +
x 2 - x V 2 + l + 8 7 ! arCtgT : ^
2
+ 1 V T + ’
где e(x) — то же, что и в примере 75. ►
84 
f
dx
J
( r 4 - l ) 3 '
< Применяя метод Остроградского, интеграл представим в виде
f
dx
J
(х4 - l ) 2 “
A x 7 + B x 6 + Cxs + Dx* + E x 3 + F x 2 + Gx + H
+
j
K jL
+ Lx2 + M x  + N  
x* — 
1
dx.
(.г
4
- l
)2
Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество 
1 = (х
4
-
1)(7Дх6 
+
6
Bxs +
5С'х4 
+
4 D
x
3
+ ЗЕх2 + 2Fx + G ) —
-
8
х
3
(Лх
7
+ B x
6
+ Сх
5
+ Dx* + Ex 3 + Fx 2 + Gx + H) +
+ (x
8
-
2
x + l ) ( K x 3 + L x2 + M x  + N). 
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем
о = 
к,
0
= - А + L,
0
=
—2
В А М ,
0
= - 3 С + N,
0
= - 4 D - 2 К,
0
= - 7 А - 5Е -  
2
L,
Решая систему, получаем
0
= -
6
В -
6
F -
2
М, 
0 = —5С - 7 G - 2N, 
0
= - 4 D -
8
Н + К, 
0 = —3 Е
L,
0
=
- 2
F + M,
1 = —G + N.
11
A = B = D = E ^ F = H = K = L = M =  
0
, 
С = - ~ ,
G =
N =
32’
3 2 ’
21
32’
Таким образом,
[
dx
У 
(х
4
-
1
7х
5
— И х 
I
)3
^ 32 (х
4
- I
)2
+
21
32
Г 
dx 
]  х
4
-
1
'

230
Гл. 3. Неопределенный интеграл
Вычисляя последний интеграл, окончательно получаем
/
dx 
_ 7xs - И х  
21 
(х
4
- 1)3 - 32 (ж
4
- I
)2
+ 128 Ш
х — 1
X + 1
21
— arctgx + С. ►
Выделить рациональную часть следующих интегралов:
„2
8 5 .
◄ Имеем
[
*2 +
1
J
(х4 + х2 + I ) 2
гем
[
х2 + 1
J
(х4 + х2 +
d x.
dx =
А х 3 + Вх 2 + Сх + D 
х
4
+ х
2
+
1
/
+ 
1)2
откуда получаем тождество
х + 1 = (х
4
+ х
2
+ 1){ЗАх2 + 2Вх + С) -  (4х
3
+ 2х)(Ах
3
+
Вх
3
+ Вх
2
+ Gx + Я
X
4
+ X
2
+
1
dx,
+ Вх
2
+ Gx + D) + (х
4
+ х
2
+
1
)(Вх
3
+ Вх
2
+ Gx + Я ).
Из системы уравнений
0 - Е,
0 = - A + F,
0
=
- 2
B + G + E ,
0 = А - 30 + В + Н,
0 = - 4 D + G + E, 
1 = 3 A - C + H + F,
0 = 2В — 2D + G,
1 = С + Я
находим A = j , С = j , В = D = G = О, В = g-, Н =
Таким образом, рациональная часть равна выражению
х
3
+
2
х
8 6
.
[  
4x5
-
1 
У (х
5
+ X +
6 
(х
4
+ X
2
+
1
) '
• dx.
4  Разложение ищем в виде
[  
- 1
J
(х
5
+ х + :п
■
 dx =
-Ах
4
+ В х
3
+ Сх
2
+ Дх + Я
X
5
+ X +
1
/
F x i + G x 3 + H x 2 + K x + L
X5 + X +
1
dx,
отсюда получаем тождество
4х
5
— 
1
= (х& + х + 1)(4Лх
3
+ ЗВх2 +
2
Сх + D) -
-  (5х
4
+ 1)(Лх
4
+ В х
3
+ Сх
2
+ £ х + В) +
+ (х
5
+ X + 1)(Вх
4
+ G’x
3
+ И х 2 + К х  + L);
решая систему уравнений
х
9
X
8
0
= F,
X
4
0
= 3 A - 5 E + G + F,
0
= —А + G,
х
3
0
= 4А + 2В + G + Я,
0
= - 2 В + Н,
х
2
0
= з 
в
+ с + 
к
+ 
н ,
0
= —3 0 +
к ,
X
0
=
20
+ L -|- К ,
4 = - 4 D + L + F,
х°
-
1
= Я - В + Т,
Е --= F = О = Я = К  = L = 0, D = —
1
. Таким образом, интеграл
сводится к своей рациональном части:
х
6
+ х +
1
Применяя различные методы, найти следующие интегралы: 
• х
8 7 .
4  Имеем
[ я* + х
J 
х« + 1
dx.
f * L ± i dx = l [ * ( £
1 , 1
[ d (*2)
J
X6 +
1
з / х Ч 1 + 2 / х Ч Г

§ 2. Интегрирование рациональных функций
231
Используя пример 73, окончательно имеем
1 
3
X2 + X
/
. 
[ — ^
J
х ( х 8 +
, 
1
* 
3 _ L
1
ах = — arctg х +
2
-уД
2х2 — 
1
, 
1
, 
(х
2
+ I
)2
arctg---- ------ f- — In —---- — 
- + С. ►
Уз
- 3
■ dx.
8 8 * 
1
' ,' + Зх
4
+ 2)
◄ Полагая х* = t, находим
J
 
х(х
8
■ dx
У
12
(t - 3) dt
■х2 
+ 1
г» + Зх
4
+ 2) 
4 У <(< + 1)(< + 2) ■
Разложение функции на простые дроби ищем в виде
i — 3
-
A
_JL +
t(t + l)(t +
2
) “ t + t + l + t +
2
’
откуда t - 3 = A(t + l)(t +
2
) + Bt(t +
2
) + Ct(t + 1).
Полагая последовательно t = 
0
, —
1
, —
2
, находим
-*=-!■ в = 4' c, = 4
Таким образом,
/
,(
7
«g+ Зх'4 + ~2) dx = ~ l Ыlfl + lnlf + 1l - 1 1" 1* + 21 + С =
8 9 . / У
J *п+ 1
■
dx.
4  Имеем
„
2
п
—1
/ f e l t i b l
,,( 0
=
J х" +
1
 
п J
хп
 
+ 1
 
п J
х п
■> 
1
 
v 
'
: — ^-ln X
4
+ ln(x
4
+ 1) — ~ 1л
(*4
+ 2) + С, х ^
0
. ► 
8
8
+
1
где — оо < х < +оо при четном и и х ^
- 1
при нечетном п Ф 
0
. ►
/
rfx
/
9 0 . , ___ я___
х(х
10
+ I
)2
◄ Умножая числитель и знаменатель на х4, получаем
.ю , i\ 
„ю
dx
1
f
d(xb) 
1
:Ю +
1)2
5 
J
xs (x
10
+ l
)2
5
1 
[ (
У
у
^
4 \ *
5
(x
10
+
1
) 
(x 10 
+
l ) 2 
J
K 1
X
5
Xs 
\
J
\ z
6
X
10
+
l 
(x 10 + l ) 2 ,J
- 1
/ (*10
+
1
) - * % г » ч .
~
S
J
Х8(х10 + 1)2 
( 
’
, , S) 
_ 1
/ f
(*10
+ l
) - * 10
_
у
d{: ~ 5 J
V ®5( * 10 + 1) 
(®10+ i ) 2
d(x6) = i In |x5| — 
ln(x
10
+
1
) +
10
~ ( \ n X
10
10
(x
10
+
1
)
d(xs) =  
.
+ C :
M
+ 1 
X10 + l
+ C, x ф 0. ►
d x .

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: