Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл


/4  + Ус + .2/8 )  я 2 • 5,54412 = 11,08824; 1 /■



Pdf көрінісі
бет130/135
Дата31.10.2022
өлшемі16,21 Mb.
#46579
1   ...   127   128   129   130   131   132   133   134   135
Байланысты:
Anti-Demidovich Lyashko I I i dr Tom 1 Vvedenie v matematicheskij analiz proizvodnaja integral 2001 ru T 358s

2/4 
+
Ус
+
.2/8

я
2 • 5,54412 = 11,08824;
1
/■
фг я i ( 3 , 71828 + 29,08692 + 11,08824) =
4 я 1,46311.
Получили три верных цифры после запятой. ►
164. 
Вычислить
J
(fI _ 1) 1п X
dx с точностью до 10"
■4 При х — 0 
(ег —1)1п^ —►
0, поэтому интеграл Римана существует. Производная 
четвертого порядка подынтегральной функции имеет весьма сложный вид и оценить ее труд­
но; более того, уже первая производная подынтегральной функции неограничена на [0, 1]. В


348
Гл. 4. Определенный интеграл
принципе мы можем воспользоваться формулой Симпсона, однако оценку погрешности про­
извести не сможем. Поэтому поступим следующим образом. Разложим по формуле Тейлора 
функцию 1 — t x по степеням х :
2


X
X
X
Xs
xG
—■

|-----------h — - -J- . ■ —
“Ь • —


24
120
720
где R(x) =
0 < с < 1. Запишем подынтегральную функцию в виде
f ( x ) = (1 — ех)1п х
и обозначим через <р{х) функцию
. . 

/
х2 
х3 
х4 
х 5 
х'6
w
\


24 
120 
720
Очевидно, f (x )  = <р(х) + 72i(ж), где ЙДх) = 1пхй(х). Оценим |i£i(x)| =
[О, 1]. Поскольку liiu х 7 In х = 0; ln l = 0, то функция \z\ = |х71пх| достигает абсолютного
Х—
+0
максимума в некоторой внутренней точке отрезка [0, 1]. Дифференцируя z(x), получаем
_ 1
z'(x) — хв + 7x6lu x . Приравнивая нулю z'(x), находим, что в точке х = е 7 функция |z(x)| 
достигает абсолютного экстремума, равного
при х G
1 - 1
max |z(x)| = — -е
I 7

Так как |й(х)| < 
j ;
ПРИ 
х
€ [0, 1], получаем оценку |/(х ) — (x)| = |Ki(x)| < 
.
Таким
образом,

1
J { f ( x ) ~<р{х)) dx

J
|/(х ) -

< ID- *.
о 
о
поэтому вместо интеграла функции /(х ) будем вычислять интеграл от функции 
<р(х).
Задан­
ная точность будет обеспечена, если в процессе вычисления интеграла функции 
<р(х)
погреш­
ность вычислений не превзойдет 10- 4 .
Интегрируя функцию 
<р(х
) по частям, имеем
 
. , 
/ , , , 
. . , 
I* 
[ ( Х 
Я2 
Х
Х
хЪ 
X6' \ ,
J

 
|0 

\ 2  

24 ^ 120 ^ 720 
7! J


0
1 1 , 1
1 , 1
1
= — + 77Г + — + ТТ7Г + T—Г7 +

18 
96 
600 
6 - 6! 
7 -7 !’
где
x2 . X3 . x4 . 
X s

X 6 
X 7
* ( * )
= - { T + T + 2 4 + m
+ 720+ 7 \ ) ’ 
Ф{ х ) Ых
о =
Ф{1)
' l n l _ Ь о ^
) l n i = °- 
С точностью до 10-6 имеем
i = 0,250000; \ = 0,055556; 
— = 0,010417; 
— = 0,001667; 
—!— = 0,000231;

18 

96 
600 
’ 6-6!
1
J
 
(1 — e*) In x dx « 0,250000 + 0,055556 + 0,010417 + 0,001667 + 0,000231 = 0,317871 «0,3179. ► 
0
+ oo
1 6 5 . 
Вычислить с точностью до 0,001 интеграл вероятностей 
I
 = 
 
е х dx.


§ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов
3*9
■4 Интеграл сходится, поэтому Ve > 0 3Ai > 0 такое, что при 
А  ^ Ai
+ оо
/
е х dx < е.
Если мы нашли A i , то можем записать при А ^ Ai
А  
+ оо
/ = 

е ~ Х
где

J
е х dx.
О 
А
Возьмем е = 10 
и постараемся определить оптимальное А , т.е. такое, чтобы промежуток 
[0, Л] имел по возможности небольшую длину. Проще всего поступить следующим образом:
+
00

+ со
допустим, мы нашли такое И, что f е~х dx < е; тогда и интеграл J е- * dx < е;
А 
Л + 1
О <
+ 00 
А+1
е~х dx = I 
е ~ х 
dx — 
< £,
А + 1
А
+ оо 
+ о о
А + 1
J
d x -
J
е~*2 dx = 
J
где А < $ < А + 1 (по теореме о среднем).
Полученное неравенство эквивалентно неравенству
Подставляя е = 10 3, получим
 > А п 1000 « х /6-907755 « 2>628
и в качестве А можем взять А = 2,6.
Можно получить более тонкую оценку для А. Допустим, найдено такое А, что
+ о о
/] =
J
е~х dx < е.
А  
, ,

Произведя замену 
х 2 
=
^dx 
=
, получим
+ о о
+ о о
I1 = l J
 7ТЛ< £4 
J e~tdt=

А*
А2
Из условия 
< е находим Ае^2 > 
In А + А2 > In 
откуда А > ^/ln ^ —In А. Так
как должно быть Л > 2 при е = 10-3 , под радикалом можем взять In 2 вместо In Л:
Л > Vln 1000 - 2 In 2 и у'б,90775 - 1,38628 = х/5,52147 = 2,35.
Таким образом, взяв, например, Л = 2,4, можем записать
+ СО
2,4
0 <  е- *2 dx — / е - *2 dx < 10~3
J
0
J
0
Наша задача сводится теперь к вычислению с точностью до 10 3 интеграла


350
Гл. 4. Определенный интеграл
Мы могли бы поступить здесь, как и в предыдущей задаче 164: аппроксимировать функ- 
цию е 
полиномом. Но в связи с тем, что промежуток интегрирования имеет длину 2,4, а 
степени (2,4)” растут довольно быстро, нам пришлось бы для обеспечения нужной точности 
взять больше 15 членов разложения в формуле Тейлора.
Интеграл 7 будем вычислять по формуле Симпсона. Найдем у ^ функции у = е~х^ . 
Поскольку у(4> = 4у (3 - 12х2 + 4х4) , то |у(4)(х)| < 4(3 - 12 • 5,76 + 4 • 33,1776), х е [0; 2,4],
^ 1, а функция z — 3 
12х2 + 4х4 монотонно возрастает при х > \ 
Таким
образом, |t / 4^(x)J 
4 • 66,5904 = 266,3616, 0 ^ х ^ 2,4. Оценивая погрешность R формулы
Симпсона
R = - ( ± z H ! ± f < ) {n  
180 
J
находим для нашего случая
a
«S ( < ь,
Из условия < 10"
получаем
h <
ю-
180
<
3,55148/г4.
ю -
= 0,1 <
0,13.
3,55148 
V 3-5
Для получения заданной точности можем взять h = 0,1.
Рассмотрим сетку 
на 
отрезке [0; 2,4]: ш>, = {х; = 0,1г; г = 0, 1 ,...,2 4 } . Для обеспече­
ния заданной 
точности значения подынтегральной функции в узлах сетки будем вычислять 
с 
пятью 
значащими цифрами 
после 
запятой. Имеем уо = 1: у24 И 0,00315; у
я 0,99005;
уз. « 0,96079; уз я 0,91393; у4 я 0,85214; у5 Я 0,77880; ' у6 
« 0,69768; 
у7 
я
0,61263;
у8 И 0,52729; уд 
я
0,44486; у10 я 0,36788; уи Я 0,29820; у12 
я 0,23693; у 13 
я
0,18452;
у и « 0,14086; у15 я
0,10540; y ie 
я 0,07731; 
у „ я 0,05558; у18 я 0,03916; у19 я 0,02705;
2/20
и 0,01832; y2i « 0,01216; у22 я 0,00791; у23 я 0,00504; уо + у24 « 1,00315;
12 
11

« 4.4,42822 = 17,71288; 

Е
У2}
1 = 1
 
1 = 1
12
 
11
 
\
7 « — I 
2/0
+
2/24 
+ 4 ^
у 
г, - 1
+ 2 
у2) ) ?
i=i 
j=i 
/
: 2 • 3,92627 = 7,85254; 
28,56857
30
0,8856.
Рассмотрим точное значение / = ^ = 0,8862... , а также ошибку R = I — I = 0,0006 = 
6-10~4. Полученная точность превысила заданную. ►
166. 
Приближенно найти длину эллипса, полуоси которого а 

10 и b 

6.
■4 Параметрическими уравнениями эллипса являются х = lOcosl, у = 6sint, 
^2Х ,
а длина его дуги
L = 4 
J 
v ^ O
cos2 t + 36 sin2 tdt
2
- /
V l7 + 8 cos 2x dx.
Вычислим интеграл с помощью формулы Симпсона, разделив отрезок [о, | ] на 6 равных 
частей (А = y j ) . Будем вычислять значения подынтегральной функции в узлах сетки и>н =
{ih; г = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6}:
уо = 5, 
ув = 3, 
у, = x / l T + l V I я у/23,928 « 4,892; 
у2 = >/17+ 4 = V21 я 4,583,
уз = >/17 я 4,123; 
у4 = >/ТГ^4 = \/1з я 3,606; 
у5 = \ / l 7 - 4\/з « х/10,072 я 3,174;
У о + У б = 8 ;
4 (yi 
+
уз 
+
ys) Я 48,756; 
2 (у2 
+
у4) я 16,378.
Подставляя полученные значения в формулу парабол, находим:
27Г
6,283 • 73,134




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   127   128   129   130   131   132   133   134   135




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет