Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

186
Гл. 
2. 
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1 6 6 .
При каком выборе коэффициента q многочлен Р(х) = х
2
+от нуля” на сегменте [—
1
, 
1
], т. е. Ер = sup |-Р(х)| принимает минимальное значение?
◄ Сравнивая числа Р (
0
) = д, Р (±
1
) = д + 
1
, находим, что
sup |Р (х )| = т а х { |9|, |q + 
1
|} = |
^
т. е. sup |Р (х)| = \я + 
Далее, имеем
М
<1
если
если
«I > |? +
1
|.
9 + 1| ^ Ы,
min 
Е
р
= min max{|g|, \д 
+
1
|} =
min | q 
+ | + | } = |
при q = - \ -  ►
1 6 7 .
Абсолютным отклонением двух функций / и д на сегменте [0, 1] называется число
Д = sup |/( х ) - у ( х ) |.
Определить абсолютное отклонение функций / : i н i ! и д : х 
х
3
на сегменте [
0
, 
1
].
■4 Дифференцируемая на [
0
, 
1
] функция ip : х н-►
/(х ) — д(х) на концах этого отрезка 
принимает равные значения <р(
0
) = <р(1)
 
=
0
и на интервале ]
0
, 
1
[ имеет единственную ста­
ционарную точку х = | .
Следовательно,
Д = max {|<р(0)|, | * ( ! ) | } = | < Р
=
1 6 8 .
Определить минимум функции
/ : 
х 
т а х {
2
|х|, 
|1
+ х|}.
◄ Если 2|х| ^
|1
+ xj, то т а х {
2
|х|, 
|1
+ х |} =
2
|х|. Значит, / : х н
2
|х|, если —оо < х ^ — j
или х ^
1
. Далее, если 2|х| < |1 + х|, то тах{2|х|, 
|1
+ х|} = |1 + х|. Следовательно, 
/ : х Н-+ |х +
1
| при — j < х < 
1
. Таким образом,
/ : х I-+
|х +
1
|, если — j < х < 
1
,
2
|х|, 
если х g ] —j ,
1
[.
: I и
J 
’ 
з
,
По производной
если — j < х < 
1
,
!sgnx, если х g [ - j , l] ,
видим, что точки х\ — ——
и Х
2
= 1 подозрительны на экстремум. Сравнивая числа / ( —j ) =
| и / (
1
) =
2
, находим / min = I- ►
f
\
2
s,
Упражнения для самостоятельной работы
Исследовать на экстремум следующие функции:
369. / : X h-►
I R R T
где х ^-*> 
1
+ I + V +
f
3
3 =
0
,
1 
-
1
,
х = £.
370. / : X »—►/ е х р (
5
5 3 г), х * ±
1
,
1
0
,
= 1 V х = —
1
.
П
1
1
371. / : X 
1
—►£ , 
sin kar л 
2
+
2
^
* > и ^ х ^ я\ 372. / : х и |х |*
(1
- х ) 7 ( 2
fv — 1
1
1
1
373. / : : X н-►
Х7Г 
_
—-, 
0
< х < тс.
374. / : X I-* |х| ^ l l — х|
>Д.
375. / : : х *—>■cos
100
х + ch
100
x.
376. / : х 
j(cos х + |
СО£
ill).
377.
: X
Y , х — 31 — I3, у = 4t - t
4
, C K l s C l .

§ 11. Построение графиков функций по характерным точкам
187
378. / : (р ^  
1
+ COS
9
, 0 < <р < j .  379. / : X  — Y ,  х
3
+ yz + х2у + 
1
•= 0.
Найти минимумы следующих функций:
380. /
:
i h
max {ch х 
+
4 — ch х } . 381. /
: 
х 
н - .
max{l — |х 
+
3|, 
1 — |®|, 1 
— ( ®
— 2)2}.
Найти максимумы следующих функций:
382. / : х и min{x +
5 ,
In х, 1 — х}. 383. / : х н-. min 
х, (х + 2
)2
— 
— ■"
Найти наибольшие значения следующих функций:
384. / : х н ( х - 1)2(х - 2)2, - 3 ^ х ^ 4. 
385. / : х н —
57
—г - , - 1 < х < 1.
' 
' 
1
-f V€X—
X
r 
Г ■
, ° < W O ,
! . / : х и
2+ —
^ 4, 
х = 0.
386. / : х и { 2+ —
387
,
/
:
i
h
Найти наименьшие значения следующих функций:
И 
2
cos х cos — ... co s —
г--------- *■*------
2 —COS 
X
cos — ... c o s — 
2 
n
Ы
388. / : x I-. ^- + | x
3
— —x
2
— jx + 1, —3 389. / : x >-►
^  sinfcxx, 1 ^ x ^ 4.
*=1
390. / : X  —. У, x
3
+ y
3
— 4,5xy = 0 (0,5 ^ x 
1,5; 
0
< у < x), / — непрерывная 
функция.
391. / : x 
—sin(asinx), 0 ^ x ^
a > 0.
В следующих задачах для данных функций / определить их приближения /* так, чтобы 
sup |/ ( х ) - /* ( х ) | был минимальным (функция /* называется чебышевским приближением):
о.<Сх<С
6
392. / : х н и 2; / * : х к о о + сцх
2
+ а
2
х4, 0 ^ х ^ 1.
393. / : х I—
►
eJ!; /* : х н-►
ао + aix + а
2
х2, 0 ^ х ^ 1.
394. / : х i— е*; /* : х ьн- 
0 ^ х ^ 1.
395. / л и х ’ -
6
х
2
+
6
х + 1; /* : х ь-» аох, 1 ^ х 
5.
Найти наименьшие и наибольшие значения следующих функций:
396. / л н е
*2
^\/2 + sin 
j , х ^ 0, х € [—я-, я-].
397. f : г н [
lS
4
Ilxl> 
1
^ ^7Г’ fc £ Z, на отрезке [—
47
Г, 
47
т].
I U. 
X “• ft; 7Г j
Найти i nf/ (x), sup/(х ) следующих функций:
398. / : х н-+ е I
+ sill х^ , х ф j , / (у ) = — 1 на интервале ]0, +оо[.
399. / : х I—►
| sin X — |х — a|| иа ] — 1, 1[.
В следующих задачах для данных функций / найти приближения /* g {f*} так, чтобы 
sup 
|/(х ) - /*(х)| = inf sup If ( x ) - f *( x) I,
0 < i < - j - o o
{ / * } : c > 0
где
Л #
/ : x
a
0
+ aix + a2x , 
0
^ x ^ xo,
(60
+ bix +
62
x2) - 1 , 
Xo < x < +
0 0
.
400. f : x
1
+Л
4
401. / : x 
1
—►
(1 + x2) e x .
402. / : х и ( 1 - x2) e 
403. /
:
i
h
л/ l + x + :
§ 11. П остроение графиков функций по 
характерным точкам
Исследование и построение графика функции у = /(х ) целесообразно проводить по сле­
дующей схеме:
1. Определить область существования функции, периодичность, точки пересечения с 
осью Ох и интервалы знакопостоянства, симметрию графика функции, найти точки раз­
рыва и интервалы непрерывности.
2. Выяснить вопрос о существовании асимптот.
3. Найти интервалы монотонности функции и точки экстремума.

188
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
4. Указать интервалы сохранения направления выпуклости и точки перегиба графика 
функции.
5. Построить график функции.
Построить графики следующих функций:
х -  
2
1 6 9 .
у =
л/х2 +
1
◄ 1. Функция определена и непрерывна при всех 
х, положительна при х > 
2
и отрицательна при х < 
2
;
у(
2
) =
0
.
2
. Из 
П т
у =
±1
следует, что у = 
1
— асимптота
х —►
i со
графика функции при х —►
+оо, а у = — 
1
—- при х —* 
—оо.
3. Поскольку производная
Р и с . 22
3/ =
2 х +
\/(х2
 +
i_ Г <0
"IF 1 >о
то функция убывает при х < — j  
- j ,  а при х = — 1 имеет минимум, равный — л/5 и —2,24.
4. Судя по знакам второй производной:
при X <
при х > 
—1
и возрастает при х >
У = -
4 ( 1
+ >±Щ ) ( , - j S b i )
v V
2
+ i
)5
< 
0
при х < —
3+ ч/41*,
^ п 
3+лДГ ^ 
, 3-V4T
> О п р и ---- — < х < —J— ;
< 
0
при
з-чДГ
< х,
заключаем, что при х < — 
~ —1,18 и х > 
~ 0,42 график функции выпуклый
вверх, при —
< х < —
график выпуклый вниз; точки перегиба х\ т —1,18; yi ss 
—2,06 и X
2
и 0,42; 
»/2
~  —1,46.
5. График функции изображен на рис. 22. ►
1 7 0 .
у
=
л/х2 — \ J X2
+
1
 .
< 1. Функция определена, непрерывна и отрицательна при всех х; ее график симметричен 
относительно оси Оу, поскольку у(х) = у(—х).
2. Поскольку предел lim у равен нулю, то у =
0
— асимптота; других асимптот нет.
X — ► ОО
3. По знакам производной
2 
4
2 ( (х
2
+
1)3
-
13
Зх з (х
2
+ 1) з
< 
0
при х < 
0
; 
> 
0
при х > 
0
Рис. 
23
заключаем, что функция убывает при х < 
0
и возрастает при 
х > 
0
, а при х =
0
имеет минимум, равный —
1
.
4. Поскольку
2 - 1
_ 5 /
5 
4 
1 ° \
у" = - - Х з (х2 + 1) 3 
(х2 + 1 ) з + 3 х з - х з
< 0
(0
< |х| < + о о ),
то график функции выпуклый вверх и точек перегиба нет.
5. По полученным данным строим график функции (рис. 23). ►
1 7 1 . , =
| 1 + х | 2
у/1
< 1. Функция определена, непрерывна и положительна при всех х > 0.

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: