«Математиканы оқыту әдістемесі» оқу пәні ретінде 1-Дәріс. Математиканы оқыту әдістемесінің, негізгі мәселелері мен мақсаттары

f₁(х₁, х₂,...,х_n) >g₁(х₁, х₂,...,х_n), f₂(х₁, х₂,...,х_n) >g₂(х₁, х₂,...,х_n)түріндегі теңсіздіктерді бірдей мағыналы теңсіздіктер деп атайды.

f₁(х₁, х₂,...,х_n) >g₁(х₁, х₂,...,х_n), f₂(х₁, х₂,...,х_n) >g₂(х₁, х₂,...,х_n)

түріндегі теңсіздіктерді қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер деп атайды.

Теңсіздіктерді (теңдеулерді) қарастырғанда екі мәселені есте сақтау керек: 1. Берілген теңсіздікті (теңдеуді) шешу - олардың барлық шешімдерінің жиынын табу; 2. Теңсіздікті (теңдікті) дәлелдеу немесе теңсіздіктің (теңдіктің) жалған теңсіздіктің /теңдіктің/ екенін анықтау. Екінші мәселе бірінші мәселемен тығыз байланысты. Бұл екі мәселені қарастырғанда мәндес ұғымы негізгі роль атқарады.

Анықтама. Егер екі теңсіздіктің /теңдіктің/ біреуінің шешімі екіншісінің де шешімі болса, немесе, керісінше, екіншісінің шешімі біріншісінің де шешімі болса, онда мұндай теңсіздіктерді /теңдеулерді/ мәндес теңсіздіктер /теңдеулер/ деп атайды да, мына түрде жазады:

f₁(х₁, х₂,...,х_n) =g₁(х₁, х₂,...,х_n)↔f₂(х₁, х₂,...,х_n) =g₂(х₁, х₂,...,х_n),

f₁(х₁, х₂,...,х_n) >g₁(х₁, х₂,...,х_n)↔f₂(х₁, х₂,...,х_n) >g₂(х₁, х₂,...,х_n),

шешімдері беттесетін (бірдей) теңсіздіктер (теңдеулер) мәндес теңсіздіктер (теңдеулер) болады. Шешімдері жоқ болатын теңсіздіктер де /теңдеулер де/ мәндес теңсіздіктер (теңдеулер) деп саналады.

Теңсіздіктерді шешкенде пайдаланылатын теңсіздіктердің мәндестігі жайлы негізгі теоремаларды қарастырайық.

1-теорема. Егер f(х₁, х₂,...,х_n) >g(х₁, х₂,...,х_n) және f(х₁, х₂,...,х_n) +φ(х₁, х₂,...,х_n)>g(х₁, х₂,...,х_n) + φ(х₁, х₂,...,х_n),теңсіздіктерінің анықталу обылысы беттесетін болса, онда бұл теңсіздіктер мәндес теңсіздіктер болады.

Дәлелдеуі. Бірінші теңсіздіктің шешімі екінші теңсіздіктің де шешімі болатындығын дәлелдейік. х₁=а₁, х₂=а₂, х_n=a_n бірінші теңсіздіктің шешімі болсын. Сонда f(а₁,а₂,...,а_n)>g(а₁,а₂,...,а_n) – дұрыс сандық теңсіздік. Мұның екі бөлігіне де φ(а₁,а₂,...,а_n) сандық өрнегін қосайық (теорема бойынша анықталу облыстары бірдей).

Сонда f(а₁,а₂,...,а_n)+ φ(а₁,а₂,...,а_n) >g(а₁,а₂,...,а_n)+ φ(а₁,а) сандық теңсіздігі орынды. Осы сандық теңсіздікті екінші теңсіздікпен салыстырып, х₁=а₁·х₂=а₂, х_n=a_n - екінші теңсіздіктің де шешімі болады деген қорытындыға келеміз. Керісінше, x₁=b₁,x₂=b₂,x_n=b_n- екінші теңсіздіктің шешімі болсын, сонда f(b₁,...,b_n) +φ(b₁,...,b_n)>g(b₁,...,b_n) + φ(b₁,...,b_n) санды теңсіздігі орынды. Осы теңсіздіктің екі бөлігінен де φ(b₁,...,b_n) санын азайтсақ, f(b₁,...,b_n) >g(b₁,...,b_n) сандық теңсіздігі шығады. Мұны бірінші теңсіздікпен салыстырып, x₁=b₁,x₂=b₂,x_n=b_n – бірінші теңсіздіктің де шешімі болады деген қорытындыға келеміз. Сонымен, бірінші теңсіздіктің шешімі екінші теңсіздіктің де, екінші теңсіздіктің шешімі бірінші теңсіздіктің де шешімі болатыны дәлелденді. Демек, берілген теңсіздіктер мәндес екен.

2-теорема. Егер f₁(х₁, х₂,...,х_n) >g(х₁, х₂,...,х_n) және f(х₁, х₂,...,х_n)φ(х₁, х₂,...,х_n)>g(х₁, х₂,...,х_n)φ(х₁, х₂,...,х_n) теңсіздіктерінің анықталу облыстары бірдей болса және осы анықталу облысында φ(х₁, х₂,...,х_n) >0 болса, онда берілген теңсіздіктер мәндес болады.