Математиканы

жүктеу/скачать 0,56 Mb.

бет	11/48
Дата	26.11.2023
өлшемі	0,56 Mb.
	#128398

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 48

Байланысты:
Силлабус 2ББ

Толық индукция деп математикада қарастырылатын жағдайларының саны шектеулі, ол жағдайлардың бәрін түгел қарастырып барып қорытынды жасауға болатын жағдайларды айтады.
Мысалы, кез келген дұрыс көпжақ үшін Т+Қ+Ж=2 (1) қатысы дұрыс болады. Мұндағы Т - көпжақтың төбесінің саны, Қ- қабырға саны, Ж- көпжақтың жақ саны. Тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр сияқты бес дұрыс көпжақты қарастырумен шектелеміз. Басқа дұрыс көпжақ болмайды. Кесте бойынша тексерейік:

көпжақтың аты

төбе саны

қабырға саны

жақ саны

Тетраэдр	4	6	4
октаэдр	6	12	8
куб	8	12	6
додекаэдр	20	30	12
икосаэдр	12	30	20

Барлық бес дұрыс көп жақ үшін (1) теңдігі дұрыс орындалады. Сонымен барлық жағдайды толық қарастырып барып жасалатын әдіс толық индукция деп аталады.

Математикалық индукция деп, алғашқы элементі туралы жасалған тұжырымның шындығы келесі элементі үшін де дұрыс болатын тұжырымды айтамыз. Математикалық индукция әдісі математикалық индукция қағидасына негізделеді. Сонымен математикалық индукция әдісінің мәні мынада:

қадам. Теореманың (есеп, формула) n=1 үшін дұрыстығы тексеріледі
қадам. Теорема кез-келген n=к болғанда дұрыс деп ұйғарылады.
қадам. Осы ұйғарымға сүйене отырып, теораманың n=к+1 үшін дұрыстығы дәлелденеді.

Үшінші қадамның дұрыстығы және математикалық индукция қағидасы негізінде кез-келген натурал n үшін теорема дұрыс деген қорытынды шығарылады.
Мысалы, математикалық индукция әдісімен мына формуланың дұрыстығын дәлелдеу керек:
 ⁿ⁽ⁿ^¹⁾ 2


S_n 1³  2³  3³  n³  _
₂_
(*)

¹⁽¹^¹⁾ 2

қадам. n=1 болғанда

S₁ __₂__ 1

қадам. n=к болғанда (*) формуласы дұрыс деп жориық, яғни

 ^k⁽^k^¹⁾ 2




S  1³  2³  3³   k ³ 
k _
₂_

Енді n=к+1 болғанда (*) формуласының дұрыстығын көрсетейік:

S  S

 (k  1)³ 
 ^k⁽^k^¹⁾ 2

^²  ^

__₃k 4k 4




(k 1)  (k  1)²

 (k  1)² ((k  2) / 2)² 

k 1 k
_ ₂_
^₂2 ^

⁽^k^¹⁾⁽^k^²⁾ 2

 __
₂_

қадам. Алғашқы екі қадамдағы дәлелдеулердің нәтижелерін ескеріп және математикалық индукция әдісін қолданып, (*) формуласын кез-келген nN үшін дәлелденген деп есептейміз.

Теңдікті дәлелдеу керек:

1 _
1 4
1

4  7
_1
7 10
 ... 
1

(3n  2)(3n  1)
 ⁿ; 3n  1

n=1 болғанда, дұрыс:
1 _1 _;

n=k болғанда,

1 _1

1 4


4

¹ ...  ¹

 ^к;

1 4
4  7
7 10
(3к  2)(3к  1)
3к  1

теңдігін дұрыс дейік. Сонда n=r+1 үшін дұрыс болатындығын көрсетуіміз керек.

1 _
1 4
1

4  7
_1
7 10

 ... 
1

(3к  2)(3к  1)
_1
(3к  1)(3к  4)
 ^к
3к  1
1

(3к  1)(3к  4)
_к  1 _;3к  4

Математикалық индукция қағидасы бойынша, кез-келген натурал n саны үшін теңдік дұрыс деп саналады.

Жалпылау деп обьектілер жиынына қатысты және оларды біріктіретін қасиеттерді анықтау тәсілін айтады. Обьектідегі тұрақты шаманы айнымалы шамамен алмастыру арқылы жалпылау жасауға болады.

Мысалы, 2+3=3+2, 4+5=5+4, 7+8=8+7 сияқты нақты мысалдардан
қосудың жалпы заңын өрнектеуге болады, яғни a+b=b+a немесе x+y=y+x теңдіктерін аламыз. Обьектіге қойылатын шарттарды кеңейту арқылы жалпылау жасауға болады. Мысалы, геометриялық прогресияның n-ші мүшесінің формуласын оқығанда алдымен оқушылар геометриялық прогресияның мүшелерін берілген бірінші мүшесі мен өсімшесі арқылы есептейді.
Бұл есептеулерді жүргізгенде төмендегідей теңдіктерді қолданады:

b₂ b₁ q

b₃ b₂
 q  b₁
 q²

b₄ b₃
 q  b₁
 q²  q  b
 q³

1
......................

Бұдан жалпылау жасап мына формуланы аламыз:

b_n b₁
__qn1

Бұл формула бойынша геометриялық прогрессияның кез-келген мүшесін табуға болады. Қандай да бір тізбек беріліп, оның жалпы мүшесінің формуласын табу керек болса, онда жалпылау, ал берілген формула бойынша тізбектің мүшелерін тапқанда, нақтылау жүзеге асырылады. Жалпылау кезінде қандай да бір жиынды қарастырудан оны қамтитын жиынға көшу жүзеге асады. Сондықтан, алдымен бірінші жиынның барлық қасиеттері дәлелденеді де, одан соң бірінші жиын үстіндегі барлық қасиеттер дәлелденеді. Осылайша, жиынның кейбір қасиеттері сол күйінде сақталып қалады да, қайсыбірі өзінің күшін жояды, ал кейбір қасиеттері жалпыланған түрде түсіндіріледі. Мысалы, тікбұрышты үшбұрыштар кез- келген үшбұрыштың ішкі жиыны. Бірінші жиыныннан екінші жиынға өту кезінде ”тікбұрышты үшбұрышқа іштей шеңбер сызуға болады”,
«тікбұрышты үшбұрыштың ішкі бұрышының қосындысы 180⁰ тең» қасиеттері сақталады. Ал “тікбұрышты үшбұрыштың бір бұрышы 30⁰ болса, онда сол бұрышқа қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең болады” қасиеті тікбұрышты үшбұрыштан басқа кез келген үшбұрыш үшін дұрыс болмайды. Ал тікбұрышты үшбұрыш үшін Пифагор теоремасын, кез-келген ұшбұрыш үшін оның жалпылануы болатын косинустар теоремасымен алмастыруға болады.
Абстракциялау деп зерттелетін заттар мен құбылыстардың елеусіз қасиеттерін ойдан шығарып, оның елеулі қасиеттерін анықтауды айтады.
Абстракциялау таным процесінде екі түрде көрінеді. Абстракциялаудың бірінші түрі затты сезімдік қабылдауда оның бірнеше қасиеттерін ескермей, басқа кейбір қасиеттерін іріктейді. Мәселен, кез-келген затты геометриялық дене ретінде қарастыра отырып, оның тең пішініне, мөлшеріне, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі орнына ғана назар аударады. Абстракциялаудың екінші түрі сезімдік танумен шектелмейді. Мұнда заттар мен құбылыстардың қасиеттерін іріктеп қана қоймай, оларды түрлендіреді. Мысалы, үшбұрыштарды бұрыштары бойынша сараптай отырып, оқушылар абстракциялау арқылы қабырғаларының әр түрлілігін ескермей, тек ұшбұрыш ұғымына ғана амалдар қолданады.
Нақтылау деп жалпыдан жекеге көшу ережесімен түсіндіріледі. Бұл ереженің мағынасы мынандай: егер қандай да бір обьектінің барлық элементтері А қасиетіне ие болса, онда осы обьектінің кезкелген бір а элементі де сол қасиетке ие болады. Мәселен, a+(b+c)=(a+b)+c қосудың терімділік заңын нақтылап 12+(7+25)=(12+7)+25 мынадай теңдігін табамыз, немесе a²-b² = (a-b) (a+b) формуласын нақты жағдайда: 16²-9²=(16+9)(16-9) мәнін оңай таба аламыз. Бұл мысалдардан нақтылауды пайдаланып, жалпыдан жекеге көшу тәсілін көруге болады. Ұғымдарды жалпылау мен нақтылауды ұтымды жүргізу нәтижесінде ұғымды саналы игеруге, олардың арасындағы логикалық байланыстарды тағайындауға және жүйелеуге қолайлы жағдай жасалынады. Нақтылау кезінде берілген жиынның элементтерін қарастырудан оның ішкі жиынының элементтеріне көшу жүзеге асырылатын болса, онда берілген
жиынның элементтері үшін тағайындалған барлық қасиеттер, оның ішкі жиынының элементтерінің қасиеттері болады. Мысалы, ромб ұғымын оқып үйрену үшін оның параллелограмм екендігі негізінде, ромбыға параллелограмның барлық қасиеттері тән болатындығы көрсетіледі де, одан кейін ромбының қасиеттері тағайындалып, дәлелденеді.
Басқа ғылымдарды ... математикалық дәлелдемелер арқылы тани білу керек. Бұл
математикалық дәлелдемелерсіз өзге

ғылым-

болмайды,

дарды түсінуге де, түсіндіруге де

онсыз ол ғылымдарды оқып үйренуге де, үйретуге де болмайды. Егер біреу, матема- тиканың күшін жекелеген ғылымдарға қолданып, дербес мәселелерге көшсе, онда ол математикасыз білім шыңына шыға алмайтындығын көреді.

Бэкон Р.

жүктеу/скачать 0,56 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 48