4.2. Инверсияда нүктенің образын тұрғызу Айталық жазықтықта (О, R) шеңбері және М нүктесі берілген. ин-версия шеңбері болсын. М нүктесінің инверсиядағы образын табу үшін, оның шеңберіне қатысты орналасу жағдайларын қарастырайық:
1 – жағдай. М — шеңберінің сыртындағы нүкте (68 – сурет). Онда салу жоспары төмендегіше болады:
1) [ОМ) сәулесін жүргіземіз
2) М нүктесі арқылы шеңберіне жанама
3) Осы жанаманың шеңберімен қиылысу нүктесін Q делік
4) Q нүктесінен [ОМ) сәулесіне перпендикуляр: h 5) M' = h [ОМ) нүктесі
М' – ізделінді нүкте.
Шынында да, MQ шеңберіне жанама болғандықтан, OQM = 900. Сонда тікбұрышты үшбұрыштардың ұқсастық белгісі бойынша OQM' ~ OQM. Олай болса, = , яғни ОМ' ОМ = OQ2 = R2.
2 – жағдай. М — шеңберінің бойындағы нүкте, яғни М (69 – сурет). Бұл жағдайда М нүктесінің образы осы нүктенің өзі болады. Себебі
ОМ ОМ' = RR = R2.
3 – жағдай. М — шеңберінің сыртындағы нүкте (70 – сурет). Бұл жағдайда инверсияның бірмәнділігін ескеріп, салуды керісінше тәртіппен орындаймыз.
4.3. Салу есептерін инверсия әдісімен шешкенде қолданылатын теоремалар Теорема1: Инверсия центрі арқылы өтетін шеңбер инверсияда түзуге көшеді және бұл түзу инверсия центрі мен берілген шеңбердің центрлері арқылы өтетін түзуге перпендикуляр болады.
Теорема2: Инверсия центрі арқылы өтпейтін шеңбер инверсияда шеңберге көшеді.
Теорема3: Инверсия центрі арқылы өтпейтін түзу инверсияда шеңберге көшеді және ол шеңбер инверсия центрі арқылы өтеді.
Теорема4: Егер шеңбер өзара инверсиялы екі нүкте арқылы өтсе, онда инверсияда бұл шеңбер өзіне көшеді.
Теорема5: Егер 1, 2 сызықтары бір – бірінен инверсия центрінен өзге М нүктесінде жанасса, онда олардың образдары М' = f (М) нүктесінде жанасады. Мұнда 1 – шеңбер немесе түзу, ал 2 – шеңбер.
Теорема 6: Базистік шеңберден өзге шеңбер инверсияда өз - өзіне көшу үшін, оның базис шеңберге ортогональ болуы қажет және жеткілікті.
(Екі шеңбер ортогональ деп аталады, егер олар тікбұрыш жасай қиылысса, яғни олардың қиылысу нүктесінен жүргізілген радиустары өзара перпендикуляр болса.)
