Методняескне осяовьт. Учебное пособие
жүктеу/скачать 0,96 Mb.
|
abylkasymova a teoriia i metodika obucheniia matematike dida
- Бұл бет үшін навигация:
- A——>A
| Синтетический метод. Исходным моментом синтети- ческого док азательст ва утверждени й является условие теоремы. На основе предыдущих предложений и законов логики условие теоремы постепенно преобразуют до тех пор, пока не приходят к заключению. К достоинствам син- тетического метода относятся: исчерпывающая полнота, сжатость, краткость (обычно данный метод применяется при изложении уже разработанных математически х тео— рий, известных доказательств или доказательств, отыска— ние которых не вызывает у учащихся затруднений).
Синтетический метод имеет и свои недостатки. Оста— ется неясным, как можно обнаружить такое доказатель— ство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; дополнительные построения никак не аргументируются; учащиеся, слушая или читая доказательство, воспринима— ют его пассивно, соглашаются с истинностью каждого умозаключения и не представляют, в каком направлении должны вестись дальнейшие рассуждени я. Этот метод мало способствует самостоятельному открытию док аза- тельства; идея, план рассуждений остаются скрытыми от учащихся. Поэтому, используя нисходящий анализ, не- обходимо найти, с чего начинать рассуждение. Таким образом, при док азательстве теорем строится последовательность обоснованных рассуждений начиная с условий теоремы до их заключения. Истинность заклю- чения теоремы является логическим следствием начиная с условия теоремы, ранее известных математических пред- ложений (аксиом, ранее доказанной теоремы и т. д.). Ириведем nример. Док азать, что бисеектриса тре- угольника, полученн ая соединением оснований высот остроугольного треугольника, отрезками совпадает с соот— ветственными высотами первого треугольника. Решение. Допустгтм, что проведен а окружность с диа— метром, равным соответственно стороне АС треугольника ABC (рис. 5). А Рнс. 5 Тогда ZBFE — СВ, так как XBFE + ME —— 180'(сум- ма смежных угЛОІЗ), BCE + +ME —— 180'(противополож- ные углы вписанного в ок- ружность четырехугольника АС.F F ). FD — СВ, так как FD + Х DFB —— 180" и ZDFB + СВ —— 180'. Следова- тельно, XBFE —— CD. Так как FC Х AB, то можно написать ZCFA — CD ——XCFB — ZBFE, а так как XCFA — CD —XCFB, то ZCFA —— ZCFE . Таким образом, отрезок FC является биссе ктpuco’и тре уголыt utca EFD. Точно так же можно доказать, что ДЛЯ = RED и XFDB —— XBDE. Придоказательстве учителю нелегко будет показать, для чего нyжнo осуществить дополнительные построения или почему были выбраны именно эти отношения между элементами данной фигуры. Также в процессе доказательства ученик не сразу по- нимает, для чего проводятся эти преобразования. Многие теоремы школьного курса доказываются синтетическим методом. Как мы увидели выше, при доказательстве мате- матичееких утверждений синтетпческий метод непригоден для нахождения метода решения задачи. При доказательстве синтетическим методом полученное утверждение может противоречить доказываемому. В та- ком случае делается вывод, что доказываемое утверждение является неверным и оно не является теоремой. Если при доказательстве теорем синтетическим методом правильно осуществляется выбор приемов логического вывода, то результат доказательства будет достоверным. Учителю необходимо иногда заменить синтетическое изложение доказательства теоремы на аналитический ме- тод. Это будет способствовать активизации познавательной деятельности учащихся и создавать условия для осознан— ного осуществлени я поиск а путей доказательства, что приведет к качествен ному усвоению учебного материала, изложенного синтетическим методом. Ана ли ти чески й метод. Ана ли ти ч ec к ий метод до- казательства делится на восто0л щ uh (а гнал из Ло п ла) и иисходящий (ана. из Евклида) ииал изьt. Восхода щий аниниз (п нoлuJ Цепи u). Для того чтобы понять смысл этого метода, рассмотрим пример. Доказать неравенство: ( + с ( + d) > (1), здесь о, b, с, d — положительные числа. Дока заіпельстао: Для того чтобы доказать неравенство (1), достаточно доказать, что (д + с)(д + d)>аЬ + cd + 2Вcct ИЛИ ad + cb >z 2dcd . (2) Не равенетво ( 1) являете я следствием неравенства Следовательно, неравенство (1) доказано. Из рассмотренного п римера видно, что при доказа- тельстве методом восходящего анализа отталкиваются от заключения теоремы и подбирают для него достаточные условия. В символической записи процесс доказательства методом восходящего анализа мoжнo представить следу- ющим образом. Пусть А — В — данная теорем а. Для за ключени я Л подбираем достаточное условиеd l т. е. такое, что А, ——> d. Для At, в свою очередь, находим достаточное условие 3 2 :3 2 => At и т. д. Подбор достаточных условий продол- жается до тех пор, пока для какого-либо А достаточным yc ловием окажетс я yc ловие теоремы, т. е. условие А: A—>A.. A——>A,,А ——>B. В итоге док азательство теоремы завершается: А, —>Я, 1 , ... , A 2——>A , A,——>B. Следовательно, Таким образом, доказательство методом восходящего анализа направляется двумя вопросами: что требуется до- казать и что для этого достаточно змать. Ход рассуждеяий, общая их направленность становят- ся мотивированными, естественными. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|