Определение ускорения в полярных координатах

Естественные оси – это подвижные оси, связанные с движущейся точкой 
М  и  образующие  правую  прямоугольную  систему  координат.  Плоскость, 
проходящая через обе нормали (главную нормаль n и бинормаль b), называется 
нормальной  плоскостью.  Координатная  плоскость,  проходящая  через 
касательную нормаль n, называется соприкасающейся плоскостью. 
Соприкасающуюся  плоскость  в  некоторой  точке  М  кривой  можно 
определить  также,  как  предельное  положение  плоскости,  проходящей  через 
касательную в точке М и любую точку  кривой  М
1
, когда последняя стремится 
в пределе к совпадению  с точкой М. 
При  движении  точки  по  траектории  направления  естественных  осей 
непрерывно изменяются. 
 
Рис.11 
 
Было  показано,  что  ускорение  точки    лежит  в  соприкасающейся 
плоскости,  т.е.  в  плоскости  Mτn;  следовательно,  проекция  вектора    на 
бинормаль равна нулю (a=0).                
Вычислим проекции  , на две другие оси. Пусть в момент времени t точка 
находится в положении М и имеет скорость v, a в момент t
1
=t+
∆t приходит в 
положение М
1
 
и имеет скорость v
1
. 
Тогда по определению 
 
Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси Mτ  и Mn, 
проведенные  в  точке  М  (рис.11).  Тогда  на  основании  теоремы  о  проекции 
суммы (или разности) векторов на ось получим: 
 
Учитывая,  что  проекция  вектора  на  параллельные  оси  одинаковы,  
проведем через точку М
1
 
оси 
, параллельные Mτ, Mn, и обозначим угол 
между направлением вектора   и касательной Mτ через ∆φ. Этот угол между 
касательными к кривой в точках М и М
1
 
называется углом смежности. 
Напомним,  что  предел  отношения  угла  смежности  ∆φ  к  длине  дуги 
MM
1
=
∆s  определяет  кривизну  k  кривой  в  точке  М.    Кривизна  же  является 
величиной, обратной радиусу кривизны ρ в точке М. Таким образом, 
 
Обращаясь теперь к чертежу (рис.11), находим, что проекции векторов   
и    на оси Mτ, Mn, будут равны:  
 
где v и v
1
 - 
численные величины скорости точки в моменты t и t
1
. 
88 
 

Следовательно, 
 
Заметим  что  при  ∆t→0  точка  М
1
 
неограниченно  приближается  к  М  и 
одновременно 
 
Тогда,  учитывая,  что  в  пределе 
,  получим  для  a
τ
 
выражение 
 
Правую  часть  выражения  a
n
 
преобразуем  так,  чтобы  в  нее  вошли 
отношения,  пределы  которых  нам  известны.  Для  этого  умножим  числитель  и 
знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на ∆φ∆s. Тогда будем иметь 
 
так  как  пределы  каждого  из  стоящих  в  скобке  сомножителей  при  ∆t→0 
равны: 
 
Окончательно получаем: 
 
Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную  равна 
первой производной от численной величины скорости или второй производной 
от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения 
на  главную  нормаль  равна  квадрату  скорости  деленному  на  радиус  кривизны 
траектории  в  данной  точке  кривой;  проекция  ускорения  на  бинормаль  равна 
нулю (a
b
=0). Эти результаты выражают собою одну из важных теорем кинема-
тики точки. 
 
Рис.12 
Отложим вдоль касательной Mτ и главной нормали Mn векторы    и  , 
численно  равные a
τ
 
и a
n
 
(рис. 12).  Эти векторы изображают касательную и 

жүктеу/скачать 4,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: