Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан

Если  заранее  исключить  случай  системы,  эквивалентной  паре  сил, 
нетрудно  на  основании  предыдущего  параграфа  доказать  существование  ее 
равнодействующей R.  
Определим  координаты  центра  C(x
c
,  y
c
,  z
c
) 
параллельных  сил,  то  есть 
координаты точки приложения равнодействующей  этой системы. 
Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой: 
M
0
 (R
) = ΣM
0 
(P
i
). 
 
Рис.2 
  
Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, 
поэтому:   
 
М
0
(R) = r
c
×R 
= ΣМ
0i 
(P
i
) 
= Σ(r
i
×P
i
). 
Учитывая,  что  R  =  R
v
∙l,  а  P
i
  =  P
vi
∙l  и  воспользовавшись  свойствами 
векторного произведения, получим: 
r
c
×R
v
∙l = Σ(r
i
 ×P
vi
∙l), 
r
c
∙R
v
×l = 
Σ(r
i
∙P
vi
×l) = 
Σ(r
i
∙P
vi
)×l, 
или:   
 
 
[r
c
R
v
 
− 
Σ(r
i
 P
vi
 )]×l = 0. 
Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение 
в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что 
равнодействующая R = ΣP
i 
, отсюда получим: 
r
c
 = (
ΣP
i
 r
i
)/(
ΣP
i
). 
Проектируя  последнее  векторное  равенство  на  оси  координат,  получим 
искомое выражение координат центра параллельных сил:  
x
c
 = (
ΣP
i
 x
i
)/( 
ΣP
i
); 
y
c
 = (
ΣP
i
 y
i
)/( 
ΣP
i
);                                              (2) 
z
c
 = (
ΣP
i
 z
i
)/( 
ΣP
i
). 
Центр тяжести тел. 
Координаты центров тяжести однородного тела. 
Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , 
где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит. 
Если разбить тело на элементарные части объемом ∆V
i
 
, то на каждую его 
часть  будет  действовать  сила  притяжения  ∆P
i
,  направленная  к  центру  Земли. 
68 
 

Предположим,  что  размеры  тела  значительно  меньше  размеров  Земли,  тогда 
систему  сил,  приложенных  к  элементарным  частям  тела  можно  считать  не 
сходящейся,  а  параллельной  (рис.3),  и  к  ней  применимы  все  выводы 
предыдущей главы. 
 
Рис.3 
Определение.  Центром  тяжести  твердого  тела  называется  центр 
параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела. 
Напомним,  что  удельным  весом  элементарной  части  тела  называется 
отношение  ее  веса  ∆P
i
 
к  объему  ∆V
i
:  γ
i
 
=  ∆P
i
/∆V
i
.  Для  однородного  тела  эта 
величина является постоянной: γ
i
 
= γ = P/V. 
Подставляя в (2) ∆P
i
 
= γ
i 
∙∆V
i
  
вместо P
i
, учитывая последнее замечание и 
сокращая  числитель  и  знаменатель  на  γ,  получим  выражения  координат 
центра тяжести однородного тела: 
x
c
 = (
Σ∆V
i
∙x
i
)/(
Σ∆V
i
); 
y
c
 = (
Σ∆V
i
∙y
i
)/(
Σ∆V
i
);                                          (3) 
z
c
 = (
Σ∆V
i
∙z
i
)/(
Σ∆V
i
). 
При определении центра тяжести полезны несколько теорем. 
1)  Если однородное  тело имеет плоскость  симметрии,  то центр  тяжести 
его находится в этой плоскости. 
Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии, то для каждой 
точки с координатами 
 
можно отыскать точку с координатами 
. И 
координата   по (3), будет равна нулю, т.к. в сумме
 
все члены имеющие 
противоположные  знаки,  попарно  уничтожаются.  Значит  центр  тяжести 
расположен в плоскости симметрии. 
2)  Если  однородное  тело  имеет  ось  симметрии,  то  центр  тяжести  тела 
находится на этой оси. 
Действительно, в этом случае, если ось z провести по оси симметрии, для 
каждой  точки  с  координатами 
 
можно  отыскать  точку  с  координатами 
  
и  координаты    и  ,  вычисленные  по  формулам  (3),  окажутся 
равными нулю. 
Аналогично доказывается и третья теорема. 
3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела 
находится в этой точке. 
И ещё несколько замечаний. 
69 
 

Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны вес и 
положение  центра  тяжести,  то  незачем  рассматривать  каждую  точку,  а  в 
формулах  (3)  P
i
  – 
определять  как  вес  соответствующей  части  и 
  – 
как 
координаты её центра тяжести. 
Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его 
, где 
- 
удельный  вес  материала,  из  которого  сделано  тело,  а  V
i
  - 
объём  этой  части 
тела. И формулы (3) примут более удобный вид. Например, 
 
И аналогично, 
 
где 
 - 
объём всего тела. 

жүктеу/скачать 4,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: