ОӘК 628. 33 А. А. Абенова комплекс сандар. Электротехника есептеулерінде комплекстік сандарды қолдану

«Қоғамды ақпараттандыру»  III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

 

113 

ОӘК 628.33 

 

А.А. АБЕНОВА  

 

КОМПЛЕКС САНДАР. ЭЛЕКТРОТЕХНИКА ЕСЕПТЕУЛЕРІНДЕ КОМПЛЕКСТІК 

САНДАРДЫ ҚОЛДАНУ 

   

 

Алгебралық теңдеулерді шешу үшін нақты сандар жеткіліксіз. Сондықтан да осы теңдеулерді 

шешуге деген ұмтылыс сандар ұғымының кеңеюіне әкеледі. Теңдеудің түбірін табу үшін оң сандар 

жеткіліксіз, сондықтан да теріс сандар және нөл енгізу қажеттілігі туындайды.  

Біздің  дәуірімізге  дейін  2  мың  жыл  бұрын  ежелгі  Египет  және  Вавилонда  практикалық 

есептеулерде бөлшек сандар қолданылған. Сан ұғымы дамуының келесі кезеңі теріс сандарды енгізу- 

б.д.д 2 ғасыр бұрын қытай математиктері енгізген.Теріс сандар көмегімен бірыңғай жолмен шамалар 

өзгерісін  суреттеуге  болады.  Б.д.д  8  ғасырда  оң  таңбалы  санның  квадраттық  түбірінің  екі  мәні  –оң 

және теріс бар екендігі, ал теріс таңбадан квадрат түбір шығаруға болмайтындығы белгілі болды. 16 

ғасырда  кубтық  теңдеулерді  зеттеу  кезінде  теріс  таңбалы  саннан  квадраттық  түбір  шығару  керек 

болды.  Кубтық  теңдеуді  шешу  формуласында  кубтық  және  квадраттық  түбір  бар.  Бұл  формула 

теңдеудің  бір  нақты  түбірі  болса  үзіліссіз  әсер  етеді,  ал  егер  ол  үш  нақты  түбірі  болса,  онда 

квадраттық  түбірде  теріс  сан  болады.  Осы  феноменді  түсіндіру  үшін  1545  жылы  итальяндық 

алгебраист Дж.Кардано табиғаты жаңа санды енгізуді ұсынды.Кардано мұндай шамаларды  «сандар 

теріс»  деп  атады  және  оларды  жарамсыз  деп  санап,  қолданбауға  тырысты.  Шындығында,  мұндай 

сандардың көмегімен қандай да бір шаманың нәтижесін, осы шаманың өзгерісін көрсетуге болмайды. 

Бірақ та 1572 жылы Бомбелли өз кітабында алғаш рет  осы сандарға қолданылатын арифметикалық 

амалдар ережесін орнатты. «Жорамал сан» атауын 1637 жылы француз математигі Р.Декарт енгізді, 

ал  1777  жылы  Х.Эйлер  француз  санының  бірінші  әріпі  і  қолдануды  ұсынды,  бұл  белгіні  жалпы 

қолданысқа К.Гаусс енгізді. 

18  ғасырдың  соңында  француз  математигі  Ж.Лагранж  жорамал  сандар  көмегімен  сызықты 

дифференциаль теңдеулерді  көрсете білді.  

Я.Бернулли  комплекс  сандарды  интегралды  есептеу  үшін  қолданды.18  ғасырда  комплекс  сан 

көмегімен картография, гидродинамика және т.б. байланысты қолданбалы есептер есептелінді. Бірақ 

та осы сандар теориясының логикалық негізі болмады. 

19  ғасырда  комплекс  санның  геометриялық  талдауы  алынды.Комплекс  сандардың 

геометриялық  талдауы  комплекс  айнымалы  функциямен  байланысты  көптеген  түсініктер  табуға, 

олардың  қолдану  саласын  кеңейтуге  мүмкіндік  берді.  Комплекс  сандардың  көптеген  сұрақтарда, 

жазықтықта вектормен көрсетілетін шамалары бар,  керекті екендігі белгілі болды: су ағынын зерттеу 

кезінде, серпімділік теориясы тапсырмаларында, теориялық электротехникада.  

Физика  және  техника  тапсырмалырының  шешімі  кері  дискриминантты  квадраттық  теңдеулер 

арқылы жүргізіледі. Бұл теңдеулердің нақты сандар облысында шешімі жоқ. Бірақ мұндай көптеген 

тапсырмалардың  шешімінің  нақты  физикалық  мағынасы  бар.  Көрсетілген  теңдеуді  шешу 

нәтижесінде  алынған  шама  мәнін  комплекстік  сандар  деп  атады.  Комплекстік  санды  орыс 

авиациясының  негізін  қалаушы  Н.Е.Жуковский  қанат  теориясын  құру  кезінде  кең  қолданған.  Бұл 

теориядағы негізгі мәселелер: қанатты көтеруші күш қалай, қайдан шығатынын, оның шамасы және 

түсу нүктесі ұшу жағдайына қалай байланыстылығын айқындау, зерттеу.  Комплекстік сандар және 

комплекстік айнымалылар функциясы көптеген ғылым мен техника сұрақтарында қолданыс табады.  

Комплекс  сан  ұғымы  квадрат  теңдеулерді  шешумен  байланысты  шыққан  ұғым.  Мысалы, 

мынадай  

0

1

2





x

, квадрат теңдеудің нақты сандар облысында түбірлері болмайтын себепті жаңа 

сан,  атап  айтқанда  жорамал   

1





i

    бірлік  енгізілген.  Демек, 

1

2





i

.  Мынадай  a+bi  санды 

комплекс сан деп атайды, мұнда а және б – нақты сандар. 

Әрбір  a+bi  комплекс  санды  ХОУ  жазықтығында  жатқан  координаталарын  (а,в)  нүктемен  не 

болмаса  координаталардың    бастапқы  нүктесінен  (а,в)  нүктесіне  дейін  жүргізілген  вектормен 

кескіндеуге болады. 

Комплекс санға осындай мағына беру, ол жөніндегі ұғымның ілгері дамуына және практикалық 

мәселелерді  шешуге  қолданылуына  үлкен  себеп  болды.  Комплекс  санға  осындай  геометриялық 

мағына бере келе, біз мынадай қорытындыға келеміз: 1) әрбір комплекс санға жазықтықтың белгілі 

бір  нүктесі  сәйкес  келеді  және  керісінше  де  солай;  2)  комплекс  сандар-  қос  (а,в)  нақты  сандар, 

«Қоғамды ақпараттандыру»  III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

 

114 

сондықтан  да,  нақты  сандарға  қолданылатын  амалдар  қандай  заңға  бағынса,  комплекс  сандарға 

қолданылатын амалдар да сондай заңға бағынады. 

Комплекс сандарға математикалық амалдарды қолдану. 

Қосу  және  алу.  Екі  комплекс  санды  қосқанда  оның  алгебралық  түрін  қолдану  керек.  Онда 

нақты сан  мен нақты санды, жорамал сан мен жорамал санды қосады. 

C

j

C

B

A

j

B

A

B

j

B

A

j

A

B

A

C













































)

(

)

(

)

(

)

(







 

Алу амалы да осылайша жүргізіледі. 

D

j

D

B

A

j

B

A

B

j

B

A

j

A

B

A

D













































)

(

)

(

)

(

)

(







 

Көбейту және бөлу.  Көбейту, бөлу, дәрежеге шығару, түбірден шығару амалдарына комплекс 

санның  көрсеткіш  түрін  жазған  дұрыс.  Көбейткенде  (бөлгенде)  комплекс  санның  модульдерін 

көбейтіп (бөліп) аргументтерін қосады (алады). 



j

Ae

A





,   



j

Be

B





         

)

(

*











j

ABe

B

A

D





 

)

(

/

/

















j

j

j

e

B

A

Be

Ae

B

A

C







 

Дәрежеге шығару және түбірден шығару. Комплекс санды дәрежеге шығарғанда оның модулін 

дәрежеге шығарады да аргументін сол дәрежеге көбейтеді. 



ja

a

a

e

A

A





    Комплекс санды түбірден 

шығару  үшін  оның  аргументін  сол  түбір  дәрежесіне  бөледі  де,  модулін  түбірден  шығарады.  

2





j

j

e

A

Ae



   

Комплекстік  санның  алгебралық  үлгісі 

A

j

A

A











    (мұндағы 



cos

A

A





, 



sin

A

A





; 

тригонометриялық үлгі 

)

sin

(cos





j

A

A







; көрсеткіштік үлгі 



j

Ae

A





. 

Комплекстік  сандарды  қолдану  тұрақты  ток  тізбектерінде  қолданылатын  барлық  заңдар, 

формулалар  және  есептеу  әдістерін  айнымалы  ток  тізбектерінде  есептеуде  қолдануға  мүмкіндік 

береді. 

Электротехникада  «Айнымалы  ток»  тақырыбы  ауқымды  орын  алады.  Бұл  көптеген 

электротехникалық  қондырғылар  айнымалы  токта  жұмыс  істейтіндігімен  түсіндіріледі.  Электр 

станциялары қарапайым электр тізбектерінде айнымалы ток түзетін айнымалы кернеу өндіреді, бірақ 

электростанциялар  тек  қана  айнымалы  емес  сонымен  бірге  синусоидалы  өзгеретін  кернеу  мен  ток 

жасайды.  

Айнымалы  кернеу  теңдеуінің  жалпы  түрі: 

)

sin(









t

U

u

m

.  u-кернеудің  максимум  мәні 

(амплитуда), 

m

U

-кернеудің  лездік  мәні,  ω-бұрыштық  жиілік,  50Гц  стандартты  жиілікте,  t-уақыт,  φ-

бастапқы фазалық бұрыш, 

t



=α- электрлік бұрыш,φ=314рад/с немесе ω=град/с 

)

sin(









t

U

u

m

– 

бұл теңдеу 2 айнымалы шаманы байланыстырады: кернеу U және уақыт t. Уақыт өтуіне байланысты 

кернеу  синусоидалы  өзгереді.  Осыған  ұқсас  басқа  да  синусоидалы  өзгеретін  ток  шамалары  бар: 

)

sin(









t

I

i

m

, 

)

sin(









t

E

e

m

..  және т.б. 

Айнымалы  синусоидалы  шама  вектормен  берілуі  мүмкін.  Вектор  ұзындығы  амплитудаға  тең, 

иілу бұрышы бастапқы фазалық бұрышқа тең.  

Синусоидалы шамаларды қосу және азайтуды векторларды қосу және азайтумен алмастыруға 

болады. Бірақ та , қосу және алудан басқа , синусоидалы шамаларды көбейту және бөлуге тура келеді. 

Осы кезде бізге комплекс сандар көмекке келеді.  

Комплекс  сандар  жазықтықта  вектормен  көрсетіледі,  оның  ұзындығы  комплекс  санның 

модуліне, ал иілу бұрышы аргументіне тең. Комплекс санның нақты және жорамал екі құрама бөлігі 

болады,  комплекстік  беттің  абсцисса  өсі  бойынша  комплекстік  санның  нақты,  ал  ординат  өсі 

бойынша  жорамал  бөлігін  алады.    Электротехникада,  математикаға  қарағанда,  жорамал  бірлікті  –j 

әріпімен  белгілейді.Егер  де  A=a+jb  комплекс  саны  болса,  оны  вектормен  көрсетуге  болады. 

2

2

b

a

A





 

комплекс санның модулі; 

a

b

arctg





- комплекс санның аргументі. 

Кернеу және ток 

)

sin(









t

U

u

m

теңдеуі бар. Электротехникада вектордың ұзындығына максимал мән емес 

шын мән алынады. Ол U әріпімен белгіленеді және максимал мәнді 

2

 бөлу жолымен есептелінеді.  

«Қоғамды ақпараттандыру»  III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

 

115 

Комплекстік  санмен  берілген  синусоидалы  шама  комплекстік  деп  аталады  және  жоғары 

жағында нүктесі бар бас әріппен белгіленеді 

U

.  Алгебралық  үлгі  -   

p

a

jU

U

U







  (мұндағы 

a

U

  -

кернеудің  активті  құраушысы, 

p

U

-кернеудің  реактивті  құраушысы)  ;  тригонометриялық  үлгі- 

)

sin

(cos





j

U

U







; көрсеткіштік үлгі-  



j

Ue

U





. 

Сонымен, комплекстегі кернеу, модуль нақты мәнге, ал аргумент- бастапқы фазалық бұрышқа 

тең.  Кернеудің  активті  құраушысы  кернеу  комплексінің  негізгі  бөлігіне,  ал  реактивтік-  жорамал 

бөлікке тең.  

Токқа 

да 

аналогты 

болады:

)

sin(









t

I

i

m

; 

2

/

m

I

I



; 

)

sin

(cos





j

I

I







; 

p

a

jI

I

I







; 



j

Ie

I





. 

Кедергі 

Тізбек  аумағының  комплекстік  кедергісі  нақты  бөлігі  активті  кедергі  шамасына,  жорамал 

бөліктегі коэффициент-реактивті кедергіге тең  комплекстік сан түрінде болады. 

Комплекстік кедергіні жазу түріне байланысты тізбек аумағының сипаттамасын айтуға болады: 

R+jX- активті-индуктивтік кедергі 

R-jX- активті-сыйымдылықты.  

r-активті кедергі, мысалы, қыздыру лампасы; 

L

X

- индуктивті кедергі, мысалы, катушка, Z-тізбектің 

жалпы кедергісі. r, 

L

X

 , Z кедергісі кедергінің тік бұрышты үшбұрышын құрады.  

Кедергі синусоидалы шама болмаса да Z бөлігі комплекстік санмен берілуі мүмкін, егер де  r  

бөлігі  нақты  сандар  осінде  қалады  деп  есептесек,  онда 

L

X

  -жорамал  сан  осі  бойынша  қалады. 

Комплекстік үлгідегі кедергі Z әріпімен белгіленеді.  Мұнда  

Z-тің  үстіне  комплекстік  шама 

екенін  білдіретін  нүкте  қойылған  жоқ.  Ондай  белгі  уақыт  өтуіне  қарай  синусоидалық  функция 

түрінде өзгеретін комплекстік шаманың үстіне ғана қойылады. 

Алгебралық үлгі - 

L

jX

r

Z





;  тригонометриялық  үлгі- 

)

sin

(cos





j

z

Z





;  көрсеткіштік 

үлгі- 



j

ze

Z



, модуль- 

2

2

L

X

r

A





; аргумент- 















r

X

arctg

L



. 

Комплекстегі кедергі модулі-толық кедергіге, ал аргумент- фазалық ығысуға тең. 

C

X

-  сыйымдылық  кедергі,  мысалы,  конденсатор.  Алгебралық  үлгі  - 

C

jX

r

Z





; 

тригонометриялық 

үлгі- 

)

sin

(cos





j

z

Z





; 

көрсеткіштік 

үлгі- 



j

ze

Z





, 

модул- 

2

2

C

X

r

A





; аргумент- 















r

X

arctg

C



. 

Өткізгіштік. Өткізгіштік- бұл кедергіге кері шама. G табу үшін кедергі комплексі мәнін 

қолданамыз 

L

jX

r

Z





. 

;

*

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Z

X

j

Z

r

X

r

X

j

X

r

r

X

j

r

jX

r

jX

r

jX

r

jX

r

G

L

L

L

L

L

L

L

L

L



























 

Z

G

1



 – өткізгіштік комплексі. 

g

Z

r



2

, 

l

L

b

Z

X



2

 деп белгілеп, 

l

jb

g

G





аламыз. g- активті 

өткізгіштік, 

l

b

-реактивті өткізгіштік. 

Көрсеткіштік үлгіде 



j

ye

G





, мұнда 

2

2

l

b

g

y





  y-толық өткізгіштік 

















g

b

arctg

l



. 

Сыйымдылық кедергі үшін ұқсас 

c

jb

g

G





, 



j

ye

G



, 

2

2

c

b

g

y





 , 















g

b

arctg

c



.  

Қуат.  Қуат  комплексі  егер  кернеу  комплексін  бағыттас  ток  комплексіне  көбейткенде  пайда 

болады.   

I

U

S









~

, 

S

~

- қуат комплексі, 

I



- бағыттас ток комплексі. 

Комплекстік үлгіде тек толық қуатты жазуға болады: 













j

j

j

Se

UIe

UIe

I

U

S















)

(

~







 

«Қоғамды ақпараттандыру»  III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

 

116 

Толық  қуат  комплекстік  үлгіде  екі  бөліктен  тұрады:  заттық  бөлік  активті  қуат,  ал  жорамал 

бөлік  коэффициенті  реактивті  қуат.  Жорамал  бөлік  алдындағы  мәннің  «+»    белгісі  кернеу  токты 

басып озады, жүктеме-активті-индуктивті, «-» белгісінде жүктеме- активті-сыйымдылықты. 

Көбейтуден  кейін  нақты  бөлігі  активті  қуатқа,  ал  жорамал  бөлігі  –  реактивті  қуатқа  тең 

комплекстік сан аламыз. 

S

~

=P+jQ. Р-активті қуат. Q - реактивті қуат.  

Ом заңының комплекстік түрде берілуі: 

Z

U

I

/







 

Комплекстік түрдегі Кирхгофтың бірінші заңы: 







n

k

k

I

1

0



 

Комплекстік түрдегі Кирхгофтың екінші заңы: 











n

k

n

k

k

k

k

z

I

E

1

1





 

 

 

Қазіргі  уақытта  кей  ғылымдарды  комплекстік  сандарды  қолданусыз  елестету  қиын. 

Электротехника,  электромеханика,  радиотехника,  ұшақ  құру  және  басқа  да  ғылымдар    теориясы 

комплекс сан түріндегі модельді  қолданусыз  мүмкін емес. 

Комплекс  сандарды  есептеуді  калькулятор  немесе  программалау  тілдері  арқылы  жүргізе 

аламыз.  Осындай  программалау  тілінің  бірі-  Common  Lisp.  Common  Lisp-  басқа  программалау 

тілдеріне  қарағанда  математиканы  жеңілдетпейді,  тек  оны  қолдану  оны  қарапайым  етеді. 

Математиктер Lisp-ті математикалық функцияларды зерттеу үшін құрастырған.