Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015
жүктеу/скачать 12,35 Mb. Pdf көрінісі
|
| §
ff > л; ; Осы тамаша шектермен бірге төмендегі шектерді колдану тиімді болады: ,• і 1 . ^ - 1 , r. ( 1 + х )т — 1 lim ---------- = 1 , lim -------- = 1 п я , lim -------------- = т . ^ х->0 X * - > 0 х д : — > 0 7.9 Функцияның үзіліссіздігі нүктесі мен центрі х0 нүктесі аймакта аныкталган, ягни у 0 = f ( x Q) теңдігі орындалатын функциясын карастырамыз. У / М Егер айнымалысына кандайда бір оң немесе теріс Ах өсімшесін Ах М Ә Н ІН КабЫЛПЯЙТ 1 > 7 Н f i n n r t m OUTTQ 1 » -- Функцияның мына түрде аныкталады Щ I f ( x о I Адс). Бұл теңдеуден (7.9) Ду Mo N Уо Ах арқылы өрнектеледі (56-сурет) А У = / ( * о + Д*) - f ( x 0 ): (7.1 0) 2 0 -анықтама. Егер ол х0 нүктесінде жэне оный кандай да бір аймагында аныкталган жэне lim Ay = 0 Дг — » 0 (7.11) немесе lim „ L /(* o + д||I f ( x о )] I О хо+Дх д*-»о (7.12) 56-сурет болса, онда у = / ( * ) функциясы х = х0 мэнінде (нүктесінде) 138 Үзшіссіздіктің сонғы шартын, яғни ( 7 . 1 2 ) теңдігін мына түрде жазуға да болады: lim f { x 0 + Дх) = f ( x 0 ) (7.13) Ax — > 0 немесе lim f { x ) = f ( x 0). (7.14) X-»JC 0 Енді lim x = x 0 болатынын ескеретін болсак, онда (7.14) теңдеуді келесі түрде жазамыз: lim / ( x ) = / f lim x ], (7.15) яғни үздіксіз функцияның jc —> jc 0 ұмтылгандагы шегін табу үшін функция өрнегіндегі х аргументінін орнына х 0 мәнін кою жеткілікті болады. Геометриялык тұрғыдан карағанда функцияның нүктедегі үзіліссіздігі дегеніміз, егер Ах өте аз болғанда у = / ( х ) функциясының графигінің х 0 + Ах және х0 «үктелеріндегі ординаталарының айырмасы абсолют шамасы бойынша өте аз шама болады. Мысалы, у = х 2 функциясының кез келген jc 0 нүктесінде үзіліссіздігін есептейміз. Шешуі: y 0 =XQ, ? о + А у ~ ( * 0 + Ах)2, А у = (х 0 + Ах ) 2 - Xq = 2х0Ах + Ах . lim А у - lim \2х0Ах + Ax 2 )= 2x0 lim Ax+ lim Ax lim Ax = 0. Дх— >0 Дх->0 Дх— >0 Ax— >0 Ax— >0 7.10 Ф ункция үзіліссіздігінін негізгі теорем ал ары 15 -теорема. Егер /,(х ) жэне / 2 (х) функциялары х 0 нүктесінде үзіліссіз болса, онда косынды (р{х) = /j(x)-f / 2 (х) функциясы да х 0 нүктесінде үзіліссіз болады. ^ Д э л е л д е у: Теореманың шарты бойынша f x(x) жэне / 2 (х) функциялары үзіліссіз болгандыктан (7.14) теңдеуінің негізінде, келесі түрде жазуга болады lim / ,( х ) = / ,( х 0) және l i m / 2 ( х ) = / 2 (х0). X-+X q Шектер теориясынын негізінле lim <р(х)= lim L/1 (дг) + / 2 W ] = lim /,( * ) + lim / 2(*) = / ] (*o) + / 2 (*o X—»Xg x —>X 0 *“ ►*() теңдігі орындалады. Сонымен, ф{х)= /|( х ) + / 2 (х) косындысы үзіліссіз функция болады. Шектердін негізі касиеттеріне сүйене отырып, төмендегі теоремаларды да дәлелдеуге болады. 16 -теорема. Екі үзіліссіз фукциялардың кебейтіндісі де үзіліссіз функция болады. 17 -теорема. Екі үзіліссіз функциялардын катынасы да үзіліссіз функция болады, егер бөліміндегі функция нөлге тен емес болса. * 3 9 Ш ' -r " нүктесінде / ( “ ) функциясы и0 = (р(х 0) нүктесінде үзіліссіз болса, оцда f[ нүктесінде 19 -теорема. Барлык элементарлык функциялар өздерінің аныкталу облысында үзіліссіз болады. 21-анықтама. Егер у — f { x ) фукциясы a болтан кезде (a,b) интервалының эр бір нүктесінде үзіліссіз болса, оңда функция осы интервалда үзіліссіз болады. 22 -анықтама. Егер у Я f ( x ) функциясы х = а аныкталган жэне а+О аталады. нүктесінде X 23-анықтама. Егер у = / ( х ) функциясы х = Ь аныкталган |™ 0/ ( х ) = / ( 6) болса, онда х = Ь нүктесінде сол жагынан үзіліссіз жэне деп аталады. 24 -анықтама. Егер y = f ( х) функциясы (а,һ) интервалының эрбір нүктесінде функциясы түйъщталван кесіндісінде үзіліссіз деп аталады. функциясы үшін үзіліссіздіктін ең кемінде бір шарты орындалмаса, яғни jt = jc 0 болтан кезде функция аныкталмаган немесе lim f ( x ) шегі болмаса немесе х -> хп кез келген ұмтылганда lim f ( x ) * / ( * 0) болса, бірак тевдікгің оң жатындаты жэне сол жагындагы өрнектердіц мәні бар болса, онда у = f ( x ) функциясы х = х0 нүктесінде үзілісті ( үздікті ) деп аталады. 26-анықтама. Егер у = f ( x ) функциясынын lim f ( x ) = f ( x n + 0) жэне * ~ f \ xQ~ °) акьірлы шектері бар, бірак lim / ( * ) * lim f i x ) *-*jr 0 + 0 Jf-^До-О немесе x = x0 нүктесінде f { x ) функциясынын мэні болмаса, онда х = х0 нүктесі I -ші тектегі үзілістік нүктесі болады. 21-анъщтама. Егер у = f ( x ) функциясынын х = х0 нуктесінде немесе Urn / ( * ) = / ( * , - 0) шектері жок немесе х->х0+0 х->х0- 0 болады. нүктесі ІІ-ші тектегі үзілістік нүктесі 7.11 Ф ункция үзіліссіздігінің касиеттері Н Ц ^ И і кесіндідегі Ш В функц„т ардын кейбір касиеттери 140 20 -теорема. Егер y = f ( x ) функциясы кандайда бір [a,b\ { а < х < Ъ) кесіндісінде үзіліссіз болса, онда \a,b\ кесіндісінде ең кемінде х = х х бір нүктесі табылып, функцияның осы нүктедегі мәндері мына теңсіздікті канағатгандырады f { x x) > f { x ) , мұндағы х — кесіндінін кез келген баска нүктесі жэне ең кемінде х = х2 бір нүктесі табылып, функцияның осы нүктедегі мэндері мьша теңсіздікті канағаттандырады * f ( x 2) < f ( x ) . Жоғарыда көрсетілген f{*\) функциясының мэнін у - f ( x ) функциясының [a,b] кесіндісіндегі ең үлкен мэні, ал f ( x 2) функциясының мэнін у = f ( x ) функциясының [а,б] кесіндісіндегі ең кіші мэні деп атаймыз. Айтылған теореманы кыскаша төмендегідей түрде баяндауға болады: Берілген а < х < Ь кесіндісінде үзіліссіз болатын функция осы кесіндіде ең кемінде бір рет ең үкен М мэнін жэне ең кіші т мәнін кабылдайды. ( 5 7 - сурет) 57-сурет 58-сурет 2 \-теорема, у = f ( x ) функциясы \a,b] кесіндісінде үзіліссіз жэне осы кесіндінін шеткі нүктелерінде әр түрлі танбадағы мэндер кабылдаса, онда a және Ь нүктелерінің арасынан ең кемінде бір д: = с нүктесі табылып, осы нүктеде функция нөлге айналады (58-сурет): / ( с ) = 0 , a < c < b . 22-теорема, у — f ( x ) функциясы [a% b] кесіндісінде аныкталган жэне үзіліссіз болсын. Егер осы кесіндінін шеткі нүктелерінде функция тен емес мэндер кабылдаса, ягни f ( a ) - A , f ( b ) = B болса, онда А жэне В 141 сандарының арасындағы кандайда болмасын ц санына, / ( с ) = /і болатын а және b нүктелерінің арасында жататын х = с нүктесі табылады. Келесі мысалдарды карастырамыз: t .. х 3 — 6х2 + 1 Ъг - 6 . * МврНЙВ І 1 . lim ------ -----------------есептеңіз. x~+l X - Зх + 2 Шешуі: Бұл есепте х —> 1 ұмтылғанда — аныкталмағандығын аламыз, яғни х —>1 ұмтылғанда (х — 1 ) — » 0 ұмтылады, сондыктан бөлшектің алымынан жэне бөлімінен (х - 1 ) өрнегінен кұтылу керек ол үшін, бөлшектің алымын жэне бөлімін жіктейміз: « т + 1 Ь - « - М . И - , » 3 - « * Ш І х - З х + 2. [Oj х-*і х 7 - х - 2 х + 2 - j-m X 2 (лс — 1) — 5х(х - 1 ) + 6 (ХУ 1) J. ( jc - 1)(лг2 -5х + 6) х-*і x(x - 1 ) - 2(х - 1 ) х-»і ( / - 1)(дг - 2) х 2 -5дс + 6 2 = І і т -------------- = — = — 2 . j c - 2 - 1 ^ 1 г 1 ; ~ « 9х 3 - 1х2 + 4 . . іші — у ----------- есептеңіз. Злг^ + 5х - 6 Шешуі: Бұл есепте х —> оо ұмтылғанда — аныкталмағандығын аламыз. 00 Мұндай аныкталмағандыкты ашу үшін, бөлшектің алымынан жэне бөлімінен х — тің ең үлкен дэрежесін жакшаның сыртына шығарып кыскартамыз: 9 х ’ - 7 х 2 + 4 і В Ж Я Х ■ & ~ * А , Ш 1 Т з ~ — 1 Ш ^ ----- ~ Х Л = lim ----- Здг 1 Ц - 6 *-*« з -V ■ 5 6 3 + дг - > 0 0 « 5 6 3 + - r - 7 i 9 - lim — + lim Д - *->°о ДГ -Г — >со х 3 9 — 0 + 0 3 + lim ~ - lim ~ 3 + ° - ° ДГ - > 0 0 X X-tCG X ( з. Н И ] есептеңіз. ІмЙВі X — > 0 0 Шешуі: Бұл есепте х —> оо ұмтылғанда {і*} аныкталмағандығын аламыз, X сондыктан оны екінші тамаша шек lim 1 1 + - I = е формуласын колданып *-><Ч х 1 шығарамыз: 142 / . lim X —>00 V jc + 8 x — 2 = 1 і т Г * - 2 + 10Ү / X — > 0 0 V x - 2 J = lim X— >oc 1 + V J O jc — 2 lim J - > X i+ V 1 x - 2 10 lim *->oo x - 2 10 \ ------------- x 10 x - 2 1 + 1 V 10 10 = lim ex~2 = X — > 0 0 У exp ІШ ІШ1------ | = exp V JT->ocX — 2 \ lim lOx V 1 r = exp 10 lim --f - - X — > 0 0 2 J J V = e 10 tgx — sin X 4. lim —— ------есептеңіз. x x-+0 Шешуі: Бұл есепте х -> 0 ұмтылғанда бөлшектің алымындағы ш тригонометриялык функциялардын айырмасының х катынасынан sinx , аныкталмағандығын аламыз, яғни оірінші тамаша шек lim ----- = 1 колданып Jf — > 0 jc шығарамыз: t. tgx - sin X .. /gx(l-COSJC) .. t g x . . 1 -c o s x lim — —■ ------= lim — ------ - = lim — lim ----- -— = Jc->0 x x->0 x x->0 X x -* 0 x =(бірінші көбейткіш бірінші тамаша шектің негізінде 1 -ге тең)= Щ 9. . 2 х 2 X 2 X • 2 X I __ sin —+ COS — cos —+ sm — = Bm ------ 2 --------- 1 - ------ 2 --------- 2 „ х — > 0 х х — > 0 х lim х-*0 Т • 2 х 2ш\ ____ 2 JC 2 = - lim 2 х н SU1 X 2 2 1 2 у 7.12 № 8 өздік жүмыс тапсы рм алары Берілген шектерді есептеңіз: I №1 1 . 1 lim x - 5 x 4 * 6 * - > 2 x 2 - 1 2 x 4 - 2 0 1.4 lim 2 x - x - 1 3x - x - 2 1 . 2 lim x — >0 x 3 - x 2 + 2 x l.S lim X - f X 2x2 - 7x + 6 *-*2 x — 5x + 6 1.3 lim б + ДГ- J t 1.6 lim *-*з x -2 1 1 2 - x - x 2 x - 2 7 143 О ! О . _ х +2х 1.7 lim —---------- ; » х-*-2 х + 4х + 4 1 . 1 0 lim х 3 - 8 *-*2х + Х - 6 1.13 lim х 2 - 1 6 *->4х + х - 2 0 і л£. i- + l x - 2 1.16 lim — г-----------; X^~23x + 8х + 4 1.19 lim l x + 4 х - 3 1 . 2 2 lim * - > ~ 1 2x 1 3x + 1 4 x 2 + x - 5 x-*1 x - 2x + 1 1.25 lim 3x —6x — 45 * -* 2 хг - З х - 3 5 1.28 lim 2x2 + 1 5 x - 8 - 8 3x +25x + S 1 . 8 lim x 2 - 4 x - 5 x z - 2 x - 3 I II 1 3x — 1 lx 1 6 1 . 1 1 lim — ------------ * M 2x2 - 5 x - 3 1.14 lim 4x2 + 1 lx - 3 *-*-з Ш 1 2x - 3 1.17 lim 5x2 + 4 x - \ 3x + x - 2 1 . 2 0 lim 3x - x - 44 *-*4 x z - x - \ 2 1.23 lim - 5 x + l l x - 2 *->2 3x - x - 1 0 1.26 lim x 2 +8x + 15 x7>-3 x — 6x — 27 1.29 lim 2x ~ 4 0 x-*4 x 2 - 3 x - 4 1.9 lim 3x2 + 2x ~J 4-X4-2 . 2 1 . 1 2 lim x - 2 x 5 + 1 1.15 І і г а ^ Ь - ^ ; *-f 3 2x - l x + 3 1.18 lim x - 4x - 5 ЗдГ + 1 1 2 1 Я 1 2x 2 -9ДГ + 10 1 2 1 lim —------------- • * - > 2 x + 3 x -1 0 1.24 lim х 2 ~ 5 х ~ 1Л ; x-*T2x2 - 9 x - 3 5 ’ 1*27 lim jc - 2 x - 3 5 * - » - 5 2jc 4-1 lx 4 - 5 i in г + 5x —3 1.30 lim — — ---- ; H I 3x2 +10x-f-3 №2 2 . 1 lim Зх3 - 5 x 2 +2 *-**> 2x3 + 5x2 - X ’ 2.4 l i m ~ 3 ~ 2x2+4x jc-ko 2x3 + 5 2.7 lim - + x 2 + x g p f x + 3 x - 2 2 . 1 0 lim — 3 ~ 3 j f 2 + 1° ; *-**> 7x3 +2x + l ~ . 3x + 2x + 9 2.13 lim — ------------ |j *->® H I — jc + 1 0 2.16 lim 18л:2 + 5x 2.19 lim JC—>00 8 x -4 д : 2 + 3 2 x 4 +1 l + 4 x - x 4 2 . 2 2 lim -. , ....... I x + 3x + 2x4 ’ X — 2x 2 4- 5 r 4 2.25 lim —— • x-*x 2 + 3 x2 + x 4 2.2 lim 4x3 + l x 2.5 lim x~*B2x3 - 4 jt 2 + 5 1 x 3- 4 x 2+28 x *-** Щ + 3x 2 +ЛГ - 1 ’ 2 . 8 lim 2x + 7x + 3 *->® 5xz - 3x + 4 , 4x + 5 x - 7 2 . 1 1 lim — —--------- *N § 2 x - x + 1 0 2.14 lim 3x + 5x - 7 3x2 + x + l 2.17 lim Ъ*Л ~ 6х1 +2 Шй x 4 +4 x - 3 2 . 2 0 lim 3x - 4 x + 2 *->=° 6 x 2 1 H 1 1 ’ n 2 x + 7 x 2 — 2 2.23 lim — ------ ----- M G 0 6 x -4 x 4 -3 3x 4 - 2 x 2 - 7 2.26 lim — — — ___ L x-** 3x 4-3x4-5 2.3 lim 5x4 - 3 x 2 +7 1 1 1 x 4 +2x3 +\ 2 . 6 lim 3x 2 +10x + 3 *-*“> 2x2 + 5x - 3 ’ 2.9 lim x + 3* + l 2 . 1 2 lim *-»*> 3x + x - 5 3x4 + 2 jc +1 x 4 - x 3 + 2x 2.15 lim 2x3 + 7 x - 2 Ъх - X - 4 2.18 lim 8 лГ + 4x - 5 *->*> 4 xz - 3x + 2 2 . 2 1 lim 7 x 3 + 4x ; x-+*>x3 - 3 x + 2 ’ 2.24 lim 3 x -fl4 x 2 *->x I + 2x 4- 7x 2 4 - 5 r 2 - 4 r 5 2.27 lim—-— — — ; *-•* X 4- 6x4- 8 144 2.28 lim — — ^ + 3 *-**> 2 + 2 хШхз ’ 2.29 lim 4х 3 - 2х +1 *-*°°2х + 3х“ + 2 п Ц 5х2 - З х + 1 2.30 lim — ---------- *-**> Ъх + х - 5 №3 3.1 lim X—XX 3.4 х + 4 х + 8 х — 1 л-Злг / lim В| x - x x l г / л N 1 + 2 .Г 3.7. Ш Нг х—7 2х+1 3.10. lim Jr-ксі х 3.13. lim p S p - 1 ; * -> Ч х + 1 ) 3.16. І і т Г ^ і Г x-*xl 2 jc + 4 у г * - 7 4 x -2 3.19. lim х - х х ^ X + 1 3.22. lim' l ~ X x-> 2 ~ X 3x 3.25. l im f 2* 1 \ 2 x + 4 3.28. lim 3x I 3x + 2 л х - 2 3.2. lim I x \ 2 x -3 x—XX U + l У 5x X — КС 3.8. lim x-4 п ц f _ I \3 x + 2 3.11. lim I ------I ; X— XX o^x + 4 J 3.14. lim / \ x - 5 X - 3 Г З х -4 3.17. lim X— XXV —3x 2 x 3.20. lim X—XX \ X J 3 -2 x 3.23. lim f— —1 ; U x + lJ x— XX 3.26. lim . Г Зх + 4^ x+1 x-*x\v 3x + 5 ; 3 -2 x 3.29. lim x - x x l JC — 1 3.3. lim X—XX 2x \ -4x U + 2 x J 3.6. lim X-xxV X ( Я - 5 x 3.9. lim x— XX V 2 jc 2 t - 3 3x 3.12. lim x— XX f 2 x + l \ x + 2 V 2 jc — 1 У 3.15. lim f 3x—4"\ 2 x V 3x + 2 ; 3x+4 3.18. lim ^ ^ ■ i - x x v X / 3.21. lim 2 - З х У 3x 3.24. lim ГЗх + 4^ 3x : 3.27. lim ( l + 2 x ) - X I ■ ■ . 4 - 2 x 3.30. lim x-xxl 1 — 2 jC x — 1 №4 4.1 lim x - » 0 1 - cos 8 x . 4.4 lim ,g3x ; x-x 0 2 sin;c 4.7. lim '8 3x— ; x —>0 i — c o s 4 jc A 1Л .. 1 - COS2 X 4.10. lim — -у—— *-*o xtgx . ~ e. ? i n 3 x - s i n x 4.2. lim д в -*——— 5x л с t- tgx - s in x 4.5. lim - .— ; •*“*0 3jc 2 4.8. lim xsin 2 x о 1 — cos 2 x 4.11. limf -— 1 x tgx sin x \ 4.3 lim x - * 0 c o sx -c o s5 x 2 x 2 4.6 .. arcsin 5x lim x-xO sin3x 4,9. lim X x - * 0 / 4.12. lim x--x 0 2 i * 2 sin 3x - sin X 145 . . . sin 7 jc + sin 3 jc 4.13. l i m --------- ;---------- x-+0 JtS U lJC 4.14. lim 1 - c o s 5 jc I 1 arctglx 4.16. h m — 6 - * - » 0 tg Здг 0 2xz . ._ 1 г&Злг - sin 3 jc 4.17. t e n —-------- --------- W i 2x 4.15. lim x —*0 4.19. lim *-»o cos 4л: - cos 4 jc 3x2 4.20. lim arcsin 5x 4.22. lim jc - * 0 1 1 \ sin 2 jc t g l x * - > 0 g ^ - A .. 1 - c o s 4 j c 4.23. lim ----- :------ x-+o jcsinjc cos 2 jc — cos 4 jc 3jc2 4.18. lim '? 5*— ™ x-+o arcsin I x . .. 1 - c o s 2 2x 4.21. l i m —------------ ; *->o jc arcsin jc 4.24. lim jc —>0 cos 5jc — cos jc 4jc 2 4.25. lim X — > 0 л o o 1- 1 — c o s 2 j c 4.28. lim ------------ *->o xtg3x A sin5jc + sinjc 4.26. lim -------- :-------; х-to arcsin jc 4.29. lim —---- — ------ ; *-*o sin jc + sin 7jc A 1 - eos 2 3x 4.27. h m ------:-------- ; *->o jcsin3jc 4.30. lim jc — >0 C O S J C -C O S JC 5jc 2 7.13 Бір ай н ы м алы д ан тәуелді ф ун кц и ян ы ң гуындысы және V ■ PS . I туы нды сы Қарастырылатын у = f ( x ) функциясының хх жэне х2 аргументтің мәндері Уі f { x і) және У 2 ~ / ( х 2 ) мэндеріне сәйкес келетін болсын. Аргументтердің Ах = х2 —хі айырмасы аргумент өсіміиесі деп аталады, ал АНИ 14 И W f A ) өсіміиесі деп аталады. 28 -анықтама. у = f ( x ) Ах -ке катынасының Ах - акырлы шегі у = / ( j с) айырмасы Я ; х2 ] кесіндісіндегі функция аргумент (аргумент өсімшесі нөлге ұмтылғандағы) = / W функциясының аталады жэне мына белгілеулердің бірі аркылы белгіленеді: Ш, П х Х Сонымен, анықтама бойынша dx Av болады. d x Д*->0 A x Ax->0 Ax функциясы Функцияның амалы у f ( x ) функциясын дифференциялдау деп аталады. Енді туындының геометриялык мағынасына тоқталу үшін, / ( jc ) функциясының тікбұрышты координаттар жүйесіндегі сэикес / М кисығын карастырамыз (59-сурет). Қандайда бір jc мәнінде функция У - f \ x ) мэнін кабылдайды. Осы х жэне у мәндеріне кисыктың М 0(х,у) нүктесі сэйкес келеді. Аргументтің х мэніне Ах өсімшесін б еп етін f i n n r » 146 онда аргументтің дг + Ддг өсімшесіне функцияның у + Ау = f ( x + Ax) өсірілген мәні сәйкес келеді. Бұган кисыктың М ](х + Дх , у + Ay) нүктесі сэйкес келеді. Кисыкка А/ 0 А/, кимасын жүргіземіз жэне оның Ох өсінің оң бағытымен жасаитын бұрышын д> аркылы белгілейміз. — катынасын карастыратын Дх k ' Ду _ . оолсак, онда суреттен — = tgq> болатындығын көреміз. Дх Егер, Дх нөлге ұмтылатын болса, онда М Х нүктесі кисык бойымен жылжи отырып, А / 0 нүктесіне жакындайды. Кисыктын Л/ 0 А/, кимасы М 0 нүктесінін манында айналады жэне Дх-тың өзгеруіне байланысты (р бұрышыда өзгеріп отырады. Егер, Дх—>0 ұмтылганда (р бұрышы кандайда бір а шегіне ұмтылады. онда М 0 нүктесі аркылы өтетін абсцисса өсінін он багытымен а бұрышын жасаитын тузу у — f ( x ) кисыгының А / 0 нүктесіндегі ізделінді жанамаськ болады. Онын бүрыштык коэффициенті мына формуламен аныкталады: tga = lim 1g lim ~ = f ' ( x ) f At - > 0 Дх - » 0 Дх Сонымен туындының геометриялык магынасы у = f i x ) функциясынын графигіне М0(х,у) нүктесінде жүргізілген көлбеу жанаманын бұрыштык коэффициентіне тен, ягни у' = f ' (x)= tga мұндағы а жанаманын Ox өсінін он багытымен жасайтын бұрышы. Физикалык тұргыдан y f = f £ x ) туындысы функциянын х нүктесіндегі өзгеру жылдамдыгын аныктайды. 7.14 Функциянын лифференциалдануы 29 -анықтама. Егер У = / ( * ) функциясынын х = хп нүктесінле туындысы бар, ягни lim lim / < Ч + .* » ) - / ( * . ) Ajt - * 0 Дх Ах-Я) Д г (7.16) (7.17) 147 дифференциалданады немесе оның туындысы бар деп айтамыз. Егер функция кандайда бір \a>b\ кесіндінің немесе (а,А) интервалынын әрбір нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол сэйкес [a, b] кесіндісінде немесе (а,Ь) интервалында дифференциалданады деп аталады. 23-теорема. Егер у = f ( x ) функциясы х = х0 нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол осы нүктеде үзіліссіз болады. Сонымен, үзілістік нүктесінде функцияньщ туындысы болмайды, бірак кері жорамал дұрыс емес, ягни кандайда бір д: = лг 0 нүктесінде y = f ( х) функциясы үзіліссіз болганымен оны осы нүктеде дифференциалданады деп айтуга болмайды, себебі, f ( x ) функциясынын х0 нүктесінде туындысы болмауы мүмкін. ш еп бар болса, онда біз берілген х = х0 нүктесінде функция 7.15 Т уы нды ны есептеу ж олдары Берілген у = f ( x ) функциясынын туындысын габу үшін туындының анықтамасының негізінде төмендегі іс эрекетті жасаймыз: 1) х аргументіне Дх өсімшесін беріп, функцияның өсірілген мэнін есептейміз: ^ v - y - h k y - f ( x + Дх); 2 ) функцияньщ сэйкес өсімшесін есептейміз: А У = f { x + Ьх)~ 3) функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне катынасын кұрастырамыз: I 1 жүктеу/скачать 12,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|