Оқулық Алматы, 201 5 Байарыстанов А. О. Жоғары математика і-бөлім Алматы 2015

Байарыстанов А.О.
ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА
I - бөлім
Оқулық
Алматы,  201 5

Байарыстанов А.О.
ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА
І-бөлім
Алматы  2015

У Д К  51 0(075.8) 
Б Б К  22.1 я73
Б17
J1.H.  Гумилев  атындагы  Еуразия  ұлттық  университет!  Ғылыми  кеңесінің 
2015  жылгы  28  қаңтардагы  мәжілісінің  №   6  хаттамасы  бойынша 
жариялауга үсыныс берілді.
П ікір ж азғандар:
физика -  математика ғылым докторы, профессор  С ерікбаев Ә.Ө.; 
физика -  математика ғылым докторы,  профессор, Б окаев Н.А. 
физика -  математика ғылым кандидаты, доцент А қж ігітов Е.Ә. 
физика -  математика ғылым  кандидаты, доцент Б айм адиева F.A. 
физика -  математика 
ғ ы л ы м  
кандидаты, доцент М ы рзатаева Қ.Р. 
PhD  Қ озы баевД .Х .
Б ай ары станов А.О.
Б17 Ж оғары   м атем атика:  окулык:  Екі болім.- Алматы, Нур-Принт, 2015 — 
ISBN 978-9965-31-534-3
I  бөлім.  -232 бет.
ISBN 978-9965-31-535-0
Окулыкта  сызыктык  алгебра,  аналитикалык  геометрия  сонымен  бірге 
математикалык  талдаудың 
негізгі 
бөлімдері 
дифференциалдык  жэне 
интегралдык  есептеулер  карастырылған.  Әрбір  такырыпта  өзіндік  жұмыска 
арналған  30  нұскалык  есептер  берілген.  Окулык  жоғары  оку  орындарының 
білім  беру  стандартына  сәйкес  техникалык  және  ауылшаруашылык 
мамандыктары бойынша казак бөлімінде окитын студенттерге арналған.
я
С .  T r r j > f * о с   ;
УДК 510(075.8) 
Б Б К  22.1 я73
а к а д е м и к С . Ғ с і
а т ы н д а г ы
КІТАПХАНЛСЫ
■ я
ISBN 978-9965-31-535-0 (I бөлім) 
© Б ай ар ы стан о в А.О., 2015
ISBN 978-9965-31-534-3 
О  Н ур-П ринт, 2015

М А З М Ү Н Ы
Кіріспе.............................................. .............._ ...................................   j 
^
I. Сызыктык алгебра
1.1  Аяыктауыштар және оларға колданатын амалдар........... і....................................
7
1.2  Матрицалар және оларға колданатын амалдар.....................................................
1
 \
1.3  №  1  өздік жұмыс тапсьфмалары........................................................................... jg
1.4 Сьпыктык теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен шешу....................................20
1.5 Сьпыктык теңдеулер жүйесін кері матрица эдісімен шешу................................22
1.6 Сызыктык теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу.............................................23
1.7 Сызыктык теңдеулер жүйесін зерттеу. Кронекер -  Капелли теориясы..............26
1.8 № 2 өздік жұмыс тапсырмалары............................... ...... ..................................... 29
II. Комплекс сандар
2.1  Негізгі түсінік.......................................................................................  
31
2.2 Комплекс санның геометриялык бейнесі...............................................................
3
 \
2.3 Комплекс саннын жазылу формалары....................................................................32
2.4 Комплекс сандарға амалдар колдану......................................................................
34
2.5 Көрсеткіші  комплексті айнымалы болатьш көрсеткішті функция...................... 39
2.6 Эйлер формуласы. Комплекс санын көрсеткіштік формасы................................41
ІП. Векторлык алгебра
3.1  Векторлар жэне оларға колданылатын амалдар....................................................
43
3.2 Скалярлык көбейту............................................................. .....................................
45
3.3 Векторлык көбейту.................................................................................................. ..
3.4 Аралас көбейту.........................................................................................................
4
g
3.5 № 3 өздік жұмыс тапсырмалары..... ........ ..............................................................
50
IV.  Ж азыктыктагы және кеңістіктегі аналитикалық геометрия
4.1  Жазыктыктагы аналитикалык геометрия...............................................................
51
4.2 № 4 өздік жұмыс тапсырмалары.............................................................................
56
4.3 Кеңістіктегі коорлинаттар әдісі............ ..................................................................
57
4.4 Кеңістіктегі жазыктык теңдеулері.........................................................................
58
4.5 Кеністіктегі түзу тендеулері............................... ....................................................
61
4.6 № 5 өздік жұмыс тапсырмалары............................................................................
65
V. Екінші ретті кисыктар және олардын канондык теңдеулері
5.1  Шенбер................... ................................................................................................. 66
5.2 Эллипс............ .................................. ......................................................................... 69
5.3 Гипербола..................... ........................ ...................................................................
73
5.4 Парабола....... ............................................................................................................ ..
5.5 № 
6
 оздік жұмыс тапсырмалары.............................................................................
84
5.6 № 
6
 өздік жұмыс тапсырмаларын шығару үлгілері..............................................
95
VI. Екінші ретті беттер туралы жалпы ұгымдар
6
.1  Бет тендеуі......................................................................... ,................................... Ю
2
6.2 Сфера.... ....................................................... ........................................................... ЮЗ
6.3 Цилиндрлік беттер........................................... ........ .............................................
104
6.4 Конустык бетгер........................... ............. .......................... ................................
1
Q
6
6.5 Айналу беттері....................................................................................................... Ю
8
6.6
 Эллипсоид........... ..................................... .............................................................
1
 jo
6.7 Бір куысты гиперболоид................................ ............... .............. ........................ j 
1
 \
6.8
 Қос куысты гиперболоид................. .................. ................ .................................
112
6.9 Эллипстік параболоид.................................. ......................................................   114
3

6.10 Гиперболалық параболоид................................................................................... 115
6.11  № 7 өздік жұмыс тапсырмалары......................................................................... 117
6.12 № 7 өздік жұмыс тапсырмаларын шығару үлгілері.......................................... 119
VII. М атематикалык талдау
7.1  Жиындар жэне оларға амалдар қолдану............................................................... 121
7.2 Жиындарға амалдар қолдану................................................................................. 122
7.3 Математикалык логика символикасы................................................................... 122
7.4 Нақты сандар............................. ..............................................................................123
7.5 Теңдеулер және теңсіздіктер анықтамасы........................................................... 124
7.6 Кесінді, интервал, шектеулі жиындар.................................................................. 125
7.7 Тізбекің шегі............................................................................................................ 126
7.8 Функция. Функцияның шегі.................................................................................. 135
7.9 Функцияның үзіліссіздігі....................................................................................... 138
7.10 Функция үзіліссіздігінің негізгі теоремалары................................................... 139
7.11  Функция үзіліссіздігінің  касиеттері................................ I................................. 140
7.12 № 8 өздік жұмыс тапсырмалары......................................................................... 143
7.13 Бір айнымалыдан тәуелді функцияның туындысы және
дифференциалы. Айкын функция туындысы............................................... .Г...........146
7.14 Функцияның дифференциалдануы..................................................................... 147
7.15 Туындыны есептеу жолдары............................................................................... 148
7.16 Айқындалмаган функциянын туындысы........................................................... 151
7.17 Параметрлік  түрде берілген функциянын туындысы...................................... 152
7.18 Туынды табу ережелері мен негізгі формулалары............................................ 152
7.19 Дифференциал....................................................................................................... 155
7.20 Функцияның жоғарғы ретті туындысы жэне дифференциалы........................ 157
7.21  Логарифмнің көмегімен дифференциалдау....................................................... 159
7.22 Орта мән туралы теорема. Лопиталь ережесі.................................................... 159
7.23 Функцияны  зерттеу және графигін  салу.......................................................... 161
7.24 № 9 өздік жұмыс тапсырмалары......................................................................... 166
7.25 Анықталмаған интеграл. Тікелей интегралдау.................................................. 170
7.26 Анықталмаган интегралда айнымалыны алмастыру........................................ 173
7.27 Бөліктеп интегралдау........................................................................................... 176
7.28 №  10 өздік жұмыс тапсырмалары....................................................................... 181
7.29 Рационалдық бөлшектерді интегралдау............................................................ 187
7.30 Рационалдық бөлшектерді қарапайым бөлшектерге жіктеу
арқылы нтегралдау.......... ............................................................................................ 192
7.31  Қарапайым ирроцноналды функцияларды интегралдау.................................. 197
7.32 №  11  өздік жұмыс тіщсырмалары....................................................................... 201
7.33 Тригонометриялық функцияларды интегралдау.............................................. 206
7.34 №  12 өздік жұмыс тапсырмалары....................................................................... 210
7.35 Анықталған интеграл........................................................................................... 213
7.36 Анықталған интегралды есептеу ережелері....................................................... 215
7.37 Меншіксіз интегралдар........................................................................................ 216
7.38 Жазық фигуралардың ауданын есептеу.............................................................. 220
7.39 Қисык доғасының ұзындыгын есептеу............................................................... 223
7.40 Дене көлемін есептеу........................................................................................... 225
7.41  №  13 өздік жұмыс тапсырмалары....................................................................... 226
Әдебиеттер.................................................................................................................... 232
4

К ІРІС П Е
«
Назарларыңызга  ұсынылып  отырған  «Жоғары  математика  I»  және 
Жоғары _ математика  II»  окулыктары  бұған  дейін  Білім
Ш
Ш
й
 ¥СЫНЫСЫМеН  колд аныста  жүрген* """«Жогары *  мэтеміітика
р 
жаттьіғулар  жинағы»  атты  окулықтың  «Екінші  ретгі 
S v Z T ™  
Р6ТГ1  бТ еР>>’  <<Комплекс  Й
»
  «Көп  айнымалыдан
шта¥шдар>> 
» « 4 —
«Жоғары  математика  I»  окулығы  7  бөлімнен  және  13  өздік  жұмыс 
тапсырмаларыиаи,  ал  «Жоғары  математика  II»  окулығы  6  бөлімиеи,  5  өздік 
жұмыс тапсырмаларынан жәие 2 косымшадан тұрады
Қазіргі  кредиттік  технология  жүйесімеи  оку  барысында  студентгердің
Ө31НЛ1К  Ж У М И г и н я   i r o n  
* __ : _____  
^  
м
жұмысына
жұмыстарда
_,,, 
■ 
г  ----- " 
олпдія  жұмыска  уқсас
есептер  шьң-арылған.  Жоғары  математика  пэиі  бойыиша  казак тіліиде  жарык
к ө п г е н   ТРППиапі.№  ліг,;л« 
Сі__ гг_______  
. 
. 
r   IIV
QnuOTTpn 
■ 
* 
1 
~ 
жұмыстарды  ирындауға
ариалғаи  есептер  жииағы  жоктьщ  касы.  Онын  басты  себептерінің  бірі  -
жоғары оку орындарына  ариалғаи жоғары  математика  пәні  бойынша  есептер
жинағтл 
ігй
Һ
ш ррр
 
__________  
-  
^
с-  - 
■  ■  - 
-------- тұратын  иил»анлык:ган  мэтіндік
мәселе  боиыиша  орыс  тш идегі  басылымдар  колданылып  келеді.  Бірак
ұлттык
—
нь
.
іс
Н  кезде  окулыктардың  кай  түрі  болмасыи  мемлекетгік 
тшде  жазылуы  кажет.  Соидьнстаи  да  бұл  окулыктар  техиикалык  жогары  оку
ОПЫН ТТЯПкІНим 
шоп м/лттп 
____~ ___ /Г 
.
.
.
 
r  
vlV
күндізгі
казак тілінде шығарылып отыр.
Окулыктарды 
кұрастыру 
барысында 
техникалык 
жоғары 
okv
 
орындарында  жогары  математика  пэні  бойынша  окылып  келе  жаткан 
дәрістер, математиканын типтік оку бағдарламасы және математика бойынша 
жалпыға  міндетті  битім  беру стандартгарының  негіздері  ескерілді.  Сонымен 
бірге  окулыктарда  студентгердш  өмірлік  танымын  арттыру  жэне  өз  бетінше 
кездескен  киыншылыкгарды  шешуге  тэрбиелеу  максаты  көзделген  Осы
аитылғанляпггм t r w  a ru n v  im«;n  
___________
жұмыс
м 
- 
* 
Г— -- тупс\,іпдсіі  кредит
санына  баиланысты  студенттер  өзіндік  жұмыстарды  бөліп-бөліп  тапсырады
Мұндаи  эдас  оку  үдерісінде  студентгердін  дәрістік  жэне  тәжірибелік 
саоактарда алған білімдерін пысыктай түсуге көмектеседі.
V  
■  ч Н В  
Ш Л  А м а н  
ж  
А
жұмыс
. 
" 
'  
~
і
 ан^шрмсищры  шығаруға
керекп  формулаларды  таба  алады  жэне  келтірілген  мысалдарды  пайдалана
ОТЬГПМП 
f l l l H P   түк»/мгм  __________________ •  .  _________ 
г
мүмкінші
жұмыс
Бұл  окулыкта  студентгерге  окылатын  дэрістік  материалдардың  барлык 
оөліміне кажегп  өзіндік есептер берілген.
5

Ұсынылып  отырған  окулыктардың  түп  нұскаларын  окып  шығып, 
кемістіктерін  көрсетіп,  өз  ой  —  пікірлерін  білдіріп,  ұсыныстарын  жасаған 
окытушы-ғалымдарға,  оның ішінде ф.-м.ғ.д.,  профессор Ә.Ө.  Серікбаевка,  ф.- 
м.ғ.д.,  профессор  Н.А.  Бокаевка,  ф.-м.ғ.к.,  доцент  Е.Ә.  Акжігітовке,  ф.-м.ғ.к., 
доцент  Ғ.А.  Баймадиеваға,  ф.-м.ғ.к.,  доцент  Қ.Р.  Мырзатаеваға  және  PhD 
Д.Х.  Қозыбаевка ризашылығымды білдіремін.
6

I. С ы зы к т ы к  алгебра
1.1  А н ы ктауы ш тар жэне оларга  колданаты н  ам алдар
1 
-аныңтама.  Төмендегі  шаршы  кестелік 
түрде  жазылған  А„  саны 
п -  ші ретті аныктауыш деп аталады және былай белгіленеді:
а\\  а\2 *■ *а\п  ) 
^ 
|
А 
а2\  а22--м 2п\ 
";Ч  '' 
Г:'  1'
Д п  =  
*
^п\  ^п2 ’ * * **пп
мұндағы  atj   (і,у = 1,/і)  аныктауыш элементтері деп аталады.
Аныктауыштың  A   (/,у = 1,л)  элементінде  индекстің  бірінші  эрпі  / -  
жатык жол ретін,  ал екінші әрпі  j  - т ік  жол  ретін  көрсетеді, яғни  а у  элементі
осы  жолдардың  киылысында  жатыр.  Бұл  кестенің  кез  келген  жатык  немесе 
тік жолы қатар деп аталады.
Аныктауыштың  ахх,а 12^-^апп  элементтер  жиынтығы  бас  диагонал  деп
аталады,  ал  аХп, ат-\ > аЪп-г • • • > а яі  элементтер  жиынтығы  қосалқы  диагонал
деп аталады.
Ап  аныктауышынан  / -ші  жатык  жолды  жэне  j  -ші  тік  жолды  сызу 
аркылы  алынатын  (и - 1 )  -ші  ретті  Ап_{  аныктауыш  ау  элементінің  My
миноры деп аталады.
а \ \  
а \2 
а \3
Мысалы, 
А =  а2\ 
й ц  
<*23
 
үшінші 
ретті 
аныкташының 
а2 3
Г  ■
 
,«  , 
\а31 
а32 
азз
элементінің  минорын  табу үшін,  берілген  аныктауыштан  2-ші  жатык  жолды
а\\ 
а 
12
 
.
жэне  3-ші  тік  жолды  сызып  тастау  аркылы  Л/23  = 
екінші  ретті
а з\  а32
аныктауышын аламыз.
•  
w
atj  
элементінің 
Ay 
алгебралық 
толықтауышы 
Ay  = (-1 )'  J My
тендігімен  аныкталады,  яғни  алгебральпс  толыктауышта  өз  кезеңінде  минор 
болады,  бірак  берілген  элементтін  орналасу  орнына  байланысты  таңбасын 
өзгертіп  отырады.  Жоғарыда  берілген  мысалдан  а23  элементінің  алгебралык
тольпстауышы мына түрде жазылады
л 
(   і\2+ 3  а \ 1 
а \2
а
2
з
= \ ~ Ч  
: 
„   | * п  
і-
аз\ 
аз
2
 
хйъ\ 
азг
Ал  аъі  элементінің алгебралык толыктауышы мына түрде жазылады
А 
/  ^з+і  а\2 
ат  
а\2 
а\з 
^ЗІ  * Н )  
I 
*^ 
•
а22 
а23 
Г22 
а23 
/
7

Жалпы  кезкелген  санды  бірінші  ретті  аныктауыш  деп  карастырута 
болады. 
Сондыктан 
аныктауыштардын 
есептелуін 
екінші 
ретгі 
аныктауыштардан  бастап  карастырамыз  және  ол  аныктауыштын  мәні  мына 
ережемен есептеледі
а\\  а п \
^ 2 “  
= °11«22  ~ «12«21»
^21  ^22
яғни 
бас 
диагонал
элементері 
кобейтіндісінен 
косалкы 
элементерінің көбейтіндісін алып тастаймыз.
Үшінші ретті аныктауыштар төмендегі үш  әдіспен  есептеледі
1.  Үшбүрыштар эдісі төмендегі сұлба түрінде беріледі:
« 1 1
« 1 2
«13
« 2
і
« 2 2
«23
«31
«32
«33
•
•
-
•
•
-
•
Ф
+
диагонал
а ч а 22а 33  +   а
2
\а )
2
а и   +   ^12^23^31  ~  а \Ъа
22
°Ъ\  ~~  а и а і \ а ъъ  ~  а и а Ъ
2
а і\
2.  Саррюс әдісі бойынша анықтауыш мына түрде есептелінеді:
+
+
^11^22^33 
^21^32^13 
^31^12^23 
~ а\Ъа2іаЪ\  ~ ^23^32^11  “  ^33^12^21*
ау \ а,і
^*21  ^22  ^23
3.  Жіктеу  эдіс  бойынша  аныктауыштың  кандай  да  бір  катарының 
элементгері алынып, эрбір элемент өзінің сәйкес алгебралык толыктауышына 
көбейтіліп  косылады.  Мысалы  бірінші  жатық  жол  элементтері  аркылы 
жіктейтін болсак, онда аныктауыш келесі түрде есептелінеді;
а
П 
а \2  а \Ъ
а 2\  а22  а 2Ъ  ”“а 11^11  + а12^\2  + а 13^13
а Ъ\  а 32  а 33
мұндағы
Ах , = ( - ■1 )м М и
1.1
= ( - і ) ы   22
«23
«32
«33
Ап   = ( - 1)
і
+2М 12 1  (-1 )1+2 021
«23
«31
«33
8

4 э « Н ) м А#ІЗ * ( - 1 ) м '  21  a* l
Щ і  а Ъ2
^ іі 
’ ^12
 ’^ і з ~  
шамалары 
алгебралык 
толыктауыштар, 
ал 
М \і >А^і
2
5^ і з   ~  ^ з   аныктауышындағы  Яц, а1
2
элементтерінің  сәйкес 
минорлары.  Бұл  минорлар  Д3  аныктауышынан  сәйкес  жатык  жолдармен  тік 
жолдарды сызғаннан алынған екінші ретті анықтауыштар болады.
Төртінші  жэне  одан  жоғары  ретгі  аныктауыштар  жіктеу  әдісімен 
есептелінеді.  Сондыктан 
к е з к е л г е н   w -ш і  р е т т і 
аныктауыш үшін
п
=  Ш Й Й ІІI 
*=1
мұндағы  Ахк  = (-1 )1+А М ік,  ал  М хк  минорлары  /±п  аныктауышынан  бірінші 
жатык  жолмен  £-ш і  тік  жолды  сызғаннан  шығатын  ( « - 1 )  -ші  ретгі 
аныктауыштар.
Аныктауыштарды жіктеп есептеу кезінде  көбінесе элементтері арасында
0  (нөлі)  және  1  (бірі)  көп  болатын  катарлар  алынады.  Себебі  алгебралык
толыктауышты 
0-ге 
көбейтсек 
0, 
ал 
1-ге 
көбейтсек 
алгебралык 
толыктауыштың өзі шығады.
Анықтауыштың негізгі қасиеттері:
1.  Жатык  жолдарды  сәйкес  тік  жолдармен  ауыстырғаннан  аныктауыштың 
мәні өзгермейді;
2.  Егер  параллель  екі  катар  жолдың  орындарын  ауыстырсак,  онда 
аныктауыш таңбасы карама-карсы таңбаға ауысады;
3.  Егер  аныкта>ыштың  параллель  екі  катар  жолдарының  элементтері  тең 
болса, онда аныктауьпп нөлге тең;
4.  Егер  аныктауыштың  кандайда  бір  катар  жол  элементтері  нөлге