Вариацияның  басқа  қатысты  көрсеткіштері

122       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Бұдан кейін дисперсияны, орташа квадраттық ауытқуды жəне вариация 

коэффициентін есептейміз: 

σ

2

 = (Σ(x –

⎯x)

2

 f) / Σf = 2 987 200 000/ 500 = 5 974 400;

σ = (5 974 400) 

1/2

 = 2444;

v = 2444 / 33160 × 100 = 7,4%.

Сөйтіп, орташа квадраттық ауытқу 2444 теңгеге, ал вариация коэффи-

циенті – 7,4%-ға тең болады.

7.2.

Дисперсияны есептеу 

тəсілдері

Дисперсияның  аса  маңызды  математикалық  ерекшеліктері. 

Ауытқулардың  σ

2

  орташа  квадратының  оны  есептеу  техникасын  оң-

айлататын жəне басқа көрсеткіштерді есептеуге мүмкіндік беретін бірқатар 

математикалық ерекшеліктері бар. 

1.  Егер барлық варианттардан А санын шегерсе, онда ауытқулардың 

орташа квадраты бұдан өзгермейді: σ

2

(x-A)

 = σ

2

. Егер барлық варианттарға 

А  санын  қосса  да,  теңдік  сақталады.  Демек,  дисперсияны  есептеу  үшін 

варианттардың  өзін  емес,  олардан  А  санынан  ауытқуды  пайдалануға 

болады. 

2.  Егер  варианттардың  барлық  мағыналарын  қайсы  бір  А  санға 

бөлсе, онда орташа квадрат осыдан А

2 

есеге кемиді, ал орташа квадраттық 

ауытқу  –

 

А  есеге  кемиді,  яғни  σ

2

(x/A)

 = σ

2

 / А

2

,  σ

(x/A)

 = σ / А  болады.  Де-

мек,  дисперсияны  есептегенде  варианттардың  барлығын  А  санға  есеп-

теуге, дисперсияны есептеуге, содан кейін оны осы санның квадратына 

көбейтуге болады. 

3.  Егер  кез  келген  А  мөлшерден  ауытқудың  арифметикалық  ор-

таша  шамадан  сол  немесе  басқа  шамада  ерекшеленетін  орташа  квад-

ратын  есептесе,  онда  ол  арифметикалық  орташа  шамадан  есептелген 

ауытқудың  орташа  квадратынан  əр  кезде  көп  болады:  σ

2

A

 > σ

2

.  Мұның 

өзінде ол белгіленген мөлшерге, яғни орташа шамадан жəне шартты түрде 

алынған мөлшердің арасындағы айырманың квадратына, яғни (x – А)

2 

көп 

болады: 

σ

2

A

 = σ

2

 + (

⎯x – А)

2

немесе σ

2

 = (Σ(x – А)

2

 f) / Σf − (

⎯x – А)

2

.

Демек,  орташа  шаманың  дисперсиясы  кез  келген  басқа  мөлшерден 

есептелген  орташа  ауытқу  квадратынан  əрқашан  аз  болады,  басқаша 

айтқанда оған аздық ерекшелік тəн. 

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        123

4.  Белгінің  дисперсиясы  мағынаның  орташа  квадраты  мен  олардың 

орташа шамасы квадратының айырмасына тең болады, яғни:

2

2

x

x

−

2

=

σ

.

Дисперсиияны  жəне  орташа  квадраттық  ауытқуды  мезеттік  (мо-

менттік) тəсілмен есептеу. Мезеттік тəсілді пайдалану арқылы дисперсия-

ны есептеуді оңайлатуға болады (1 жəне 2-ерекшеліктер). Осыны мысалмен 

көрсетейік. Сұрып сынау станциясында 125 жер теліміне (əрқайсысы 1 шар-

шы м) бидайдың жаңа тұқымы егілді делік. Олардың орташа түсімділігін, 

дисперсиясы мен вариацияның коэффициентін есептеу қажет. Бастапқы де-

ректер мен қосалқы есептер 7.4-кестеде келтірілген. 

7.4. Бидайдың түсімділігін жəне оның вариациясының көрсеткіштерін есептеу

Түсімділік, г/м

2 

(x)

Жер телімінің 

саны (f)

(x – 235) / 10 = x

1

x

1

 

f

x

1

2

 f

195

2

-4

-8

32

205

5

-3

-15

45

215

13

-2

-26

52

225

17

-1

-17

17

235

18

0

0

0

245

31

1

31

31

255

22

2

44

88

265

12

3

36

108

275

5

4

20

80

Жиыны

125

65

453

Көрсеткіштерді есептейміз:

m

1

= (Σ x

1

 f) / Σf

 

= 65 / 125 = 0,52, m

1

2

 

= 0,2704;

⎯x = A + i m

1 

= 235 + 10 × 0,52 = 235 + 5,2 = 240,2 г/м

2

;

m

2

= (Σx

1

2

 f) / Σ f = 453 / 125 = 3,624;

σ

2

 = i

2

 (m

2 

–

 

m

1

2

) = 10

2

 × (3,624 – 0,2704) = 10

2

 × 3,3536 = 335,36;

σ = (335,36)

1/2

 = 18,3 г/м

2

;

v = σ /

⎯x × 100 = 18,3 × 100/240,2=7,6%.

Топ  ішіндегі  жəне  топаралық  вариация.  Белгінің  вариациясы  əр 

түрлі  факторларға  байланысты  пайда  болады.  Осы  факторлардың  кей-

біреуін  топтастырудың  көмегімен  жеке  бөлуге  болады.  Біздің  соңғы  мы-

салда 125 жер  телімі  əр  түрлі  жер  массивінде  орналасты  делік:  55  жер 

телімі тыңайтылмаған массивте, ал 70-і тыңайтылған массивте орналасқан. 

124       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Олардың  əрқайсысының  орташа  түсімділігін,  дисперсиясы  мен  вар-

иациясының коэффициентін есептейік (7.5-кесте).

7.5. Екі жер массивінде бидайдың орташа түсімділігін жəне оның 

вариациясының көрсеткіштерін есептеу

Түсім-

ділік, 

г/м

2 

(x)

Жер 

телімі нің 

саны (f)

Оның ішінде: 

(x – 235) / 

10 = x

1

1-жер теліміне 

арналған есеп 

2-жер теліміне 

арналған есеп 

бірінші 

массивте 

(f

1

)

екінші 

массивте 

(f

2

)

x

1

 f

1

x

1

2

 f

1

x

1

 f

2

x

1

2

 f

2

195

2

2

0

–4

–8

32

0

0

205

5

5

0

–3

–15

45

0

0

215

13

12

1

–2

–24

48

–2

4

225

17

15

2

–1

–15

15

–2

2

235

18

10

8

0

0

0

0

0

245

31

7

24

1

7

7

24

24

255

22

3

19

2

6

12

38

76

265

12

1

11

3

3

9

33

99

275

5

0

5

4

0

0

20

80

Жиыны

125

55

70

–46

168

111

285

Тыңайтылмаған массивке арналған көрсеткіштерді есептейміз: 

m

1

= (Σ x

1

 f

1

) / Σf

1 

= –46/55 = –0,836, m

1

2

 

= 0,7;

⎯x = A + i m

1 

= 235 + 10 × (–0,836) = 235 – 8,36 = 226,64;

m

2

= (Σx

1

2

 f

1

) / Σ f

1

 = 168 / 55 = 3,05;

σ

2

 = i

2

 (m

2 

–

 

m

1

2

) = 10

2

 × (3,05 – 0,7) = 10

2

 × 2,35 = 235;

σ = (235)

1/2

 = 15,3;

v = σ / 

⎯x × 100 = 15,3 × 100/226,64=6,8%;

тыңайтылған массив үшін: 

m

1 

= (Σ x

1

 f

2

) / Σf

2 

= 111/70 = 1,586, m

1

2

 

= 2,5;

⎯x = A + i m

1 

= 235 + 10 × 1,586 = 235 + 15,86 = 250,86;

m

2

= (Σx

1

2

 f

1

) / Σ f

1

 = 285 / 70 = 4,07;

σ

2

 = i

2

 (m

2 

–

 

m

1

2

) = 10

2

 × (4,07 – 2,5) = 10

2

 × 1,57 = 157;

σ = (157)

1/2

 = 12,5;

v = σ / 

⎯x × 100 = 12,5 × 100/250,86 = 5% .

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        125

Алынған нəтижелерді барлық жер телімдері бойынша деректермен бір-

ге бір кестеге жинақтаймыз (7.6-кесте).

7.6. Барлық жер теліміндегі жəне екі жер массивіндегі бидайдың 

түсімділігі жəне оның вариациясының көрсеткіштері 

f

⎯x

σ

2

σ

V

Барлық жер телімдері 125

240,2

335

18,3

7,6

Тыңайтылмаған

55

226,64

235

15,3

6,8

Тыңайтылған 70

250,86

157

12,5

5,0

Түсімділік  тыңайтқышқа  байланысты  болуына  байланысты,  топтық 

орташа  шама  жалпы  орташа  шамадан  айтарлықтай  ерекшеленеді,  яғни 

тыңайтылмаған массивте түсімділік орташа шамадан төмен, ал тыңайтыл-

ған массивте – жоғары.

Сонымен  қатар  осы  белгі  бойынша  топтастыру  біркелкі  жиынтықтар 

құрады,  сондықтан  топтар  бойынша  дисперсия  көрсеткіштері  мен 

вариацияның  көрсеткіштері  жалпы  барлық  жер  телімдерімен  салыстыр-

ғанда  төмен.  Алайда  топтық  дисперсияның  болуы  топтардың  шектерінде 

тыңайтқышты  қоспағанда  басқа  да  факторлардың  ықпалына  байланыс-

ты  түсімділік  вариациясы  қалғанын  растайды.  Мəселен,  тыңайтылмаған 

массивте  дисперсия 235-ті,  ал  тыңайтылған  мсассивте – 157-ні  құрады. 

Ішкі  топтық  дисперсияның  орташа  шамасы  осы  басқа  факторлардың 

ықпалының жалпы өлшемі болып табылады: 

⎯σ

2

 = (Σσ

2

f) / Σf = (235 × 55 + 157 × 70) / 125 = 

= (12925 + 10990) / 125 = 191.

Ол жалпы вариацияның 57% (191/335 × 100) құрайтын топ ішіндегі ва-

риацияны өлшейді. Жалпы дисперсияның қалған бөлігі топтастыру белгісі-

мен, яғни тыңайтқыш факторымен байланысты. Егер топтық орташа шама-

ны варианты ретінде қарастырсақ жалпы вариацияның осы бөлігін тікелей 

өлшеуге (оны топ арасындағы вариация деп атаймыз жəне «дельта» деп ата-

латын грек əрпінің квадратымен, яғни δ

2

 белгілейміз) жəне жалпы орташа 

шама айналасындағы олардың өзгеруін есептеуге болады (7.7-кесте). 

7.7. Топаралық вариацияны (топтық орташа шаманың дисперсиясын) 

тікелей есептеу 

x

f

x – 240,2

(x – 240,2)

2

(x – 240,2)

2

 f

Тыңайтылмаған

226,64

55

-13,56

183,9

10114,5

Тыңайтылған

250,86

70

10,66

113,6

7952

Барлық жер телімдері

125

18066,5

126       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Топтық орташа шамалардың дисперсиясы топаралық вариациясын ке-

лесідей талдап қорытып сипаттайды: 

δ

2

 = (Σ(x – 240,2)

2

f) / Σf = 18066,5 / 125 = 144.

Топтық орташа шама мен топ ішіндегі орташа дисперсияның сомасы 

жалпы дисперсияны (дисперсияны қосу ережесі) құрайды: 

σ

2

 = 

⎯σ

2

 + δ

2

.

Осы ереже екі мөлшерді біле отырып үшінші мөлшерді білуге мүмкін-

дік береді. Мəселен, бізге жалпы дисперсия (σ

2

) жəне топтық орташа шама-

ның дисперсиясы белгілі (δ

2

). Осыдан белгінің топ ішіндегі қалдық вариа-

циясын (

⎯σ

2

) анықтауға болады. 

Топтық орташа шаманың дисперсиясы, сондай-ақ топтастыру белгісі-

нің жалпы дисперсияның құрылуына ықпал жасайтын күшін көрсетеді, осы 

екі  көрсеткіштің  арақатынасы  детерминация  коэффициенті («эта»  деген 

грек əрпінің квадраты) аталады: 

η

2

 = δ

2

 / σ

2

 = 144 / 335 = 0,43 немесе 43%.

Демек,  тыңайтқыш  факторы  түсімділік  вариациясымен 43%-ға  бай-

ланысты.  Детерминация  коэффициентінің  түбірі  η  топтық  жəне  нəти-

желік  белгілерінің  арасындағы  байланыстың  тығыздығын  көрсететін 

корреляциялық  (эмпирикалық)  қатынасты  береді.  Біздің  жағдайда  η = 

(0,43)

1/2

 = 0,66, демек тыңайтқыш енгізу мен түсімділіктің арасындағы ша-

малы байланысты білдіреді. 

Альтернативті белгінің дисперсиясы. Вариацияланатын белгілердің 

арасында  жиынтықтың  бір  бірліктерінде  білінетін,  ал  бас қа  бірліктер-

де  білінбейтін  белгілер  де  кездеседі.  Мысалы,  жоғары  оқу  орны ның 

оқытушыларында  ғылыми  дəрежесінің,  түлектердің  бөлігінде  үздік 

дипломның  болуы  жəне  т.б.  мысалдарды  келтіруге  болады.  Осындай 

белгілер  балама  белгілер  деп  аталады.  Белгілер  білінбейтін  бірліктерде 

вариацияның саны 0-ге немесе осы белгі білінетін бірліктерде вариацияның 

саны 1 мағынасында болады. 

Бүкіл  жиынтықтың  санында  белгісі  бар  бірліктердің  үлесі p əрпімен 

белгіленеді, ал осы белгісі жоқ бірліктердің үлесі – q əрпімен белгіленеді. 

p + q = 1 болатыны белгілі, сондықтан q = 1 – p. 

Альтернативті белгінің орташа мағынасы мен оның дисперсиясын есеп-

тейік: 

⎯x = (Σ x f) / Σf

 

= (1 × p + 0 × q) / (p + q) = p.

Сөйтіп,  альтернативті  белгінің  орташа  мағынасы  жиынтықтың  осы 

өзгермелі белгі бойынша сипатталатын үлесіне тең болады. 

Осыдан кейін альтернативті белгінің дисперсиясын есептейміз: 

σ

p

2

 = (Σx

2

 f) / Σ f = [(1–p)

2

p + (0–p)

2

 × q)] / (p + q) = q

2

p + p

2

q =

= pq × (p + q) = pq.

7-тақырып. Вариацияның көрсеткіштері        127

Демек, альтернативті белгінің дисперсиясы (σ

p

2

) үлестің осы үлесті бір-

ге дейін толықтыратын санмен көбейтіндісіне тең болады. Осы көрсеткіш-

тен алынған квадраттық түбір орташа квадраттық ауытқуға сəйкес келеді. 

p + q 1-ден аспауына байланысты σ

p

2

 0,25-тен аспайды.

7.3.

Вариациялық қатарды талдау 

тəсілдері

Бөлу  заңдылығы  жөнінде  түсінік.  Көптеген  реттелген  қатарларда 

жиілік  бөлу  қатарының  бойымен  жылжуға  орай  өзгереді.  Атап  айтқанда 

вариацияланатын белгінің ұлғаюына байланысты жиілік алдымен арта бас-

тауы,  содан  кейін  кемуі  мүмкін.  Вариациялық  қатарда  жиіліктің  осылай 

заңды өзгерістері бөлу заңдылығы деп аталады. 

Вариациялық  қатарды  талдауда  бөлудің  заңдылықтарын  табу  жəне 

оның ерекшеліктерін анықтау басты міндет болып табылады. Осы мақсатта 

барынша  үлкен  жиынтыққа  арналған  вариациялық  қатарлар  құрылып, 

ол  оңтайлы  топ  санына  бөледі.  Қиындық  туындаған  жағдайда  бастапқы 

жиынтық барынша көп топ санына бөлінеді, содан кейін ол аралықтарды 

ірілендіру арқылы оңтайлы санға дейін қысқартылады. 

Бөлу заңдылықтарының типтері. Бөлу заңдылықтары айқын біліне-

тін жағдайларға да, сондай-ақ кездейсоқ факторларға да байланысты. Егер 

бөлу біркелкі жағдайды көрсетсе, онда бөлудің ерекшелігі, оның заңдылығы-

ның типі жөнінде айтуға болады. Ал егер бір қатарда бөлу типі əр түрлі екі 

сан түрлі бөлу араласса, онда соңында бөлудің сипатын анықтайтын ерек-

шеліктер айқын білінбеуі немесе екі қырлы (бимодальдық) жəне көп қырлы 

сияқты білінуі мүмкін. 

Бөлудің  қисық  сызығы  деп  вариациялық  қатарда  варианттардың 

өзгеруімен функционалдық түрде байланысты жиіліктің өзгеруінің үздіксіз 

сызығы түріндегі графикалық сурет аталады. 

Бөлудің теориялық қисық сызығы деп бөлудің осы түрінің, заңдылық-

тың  осы  түріне  кездейсоқ  факторлардың  ықпалына  жол  бермейтін  таза 

түріндегі жалпы заңдылығын білдіретін қисық сызық аталады. 

Гистограмма  мен  бөлу  полигоны  бөлудің  сынық  сызықтарын  береді. 

Осы графиктердегі аралық қаншалықты қысқа болса, бөлуде немесе гистог-

раммада бөлу типі соншалықты айқын білінеді.

Қалыпты бөлу. Статистикада қалыпты бөлуді сипаттайтын теориялық 

бөлу қисық сызықтары жиі қолданылады. Қалыпты бөлу мына теңдеумен 

сипатталады: 

2

2

2

1

t

t

e

y

−

=

π

σ

,

128       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

мұнда: y

t

 – қалыпты  бөлудің  (жиілік  шамасының)  қисық  сызығының

            ординатасы; 

t – (x –

⎯x) / σ-ға тең нормаланған ауытқу; 

σ − орташа квадраттық ауытқу;

π = 3,1415; 

e = 2,7182.

Сөйтіп,  қалыпты  бөлудің  қисық  сызығы  келесі  екі  параметрмен – 

x арифметикалық орташа шамамен жəне σ орташа квадраттық ауытқумен 

анықталады. 

7.1-суретте  қалыпты  стандартталған  бөлудің  қисық  сызығы  келтіріл-

ген, онда орташа шама нөлге (

⎯x = 0), ал дисперсия – бірге (σ = 1) тең. 

Қалыпты  (нормальное)  бөлудің  қисық  сызығының  симметриялығы 

оның ерекшелігі болып табылады. Онда арифметикалық орташа шамамен, 

мода мен медиана сəйкес келеді. 

Қалыпты бөлудің сызығы 

y

 

t

 

жүктеу/скачать 2,85 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: