Тік  сызық  бойынша  теңестіру

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        235

Сөйтіп, теориялық теңдеудің түрі келесідей болады: 

y

x

 = 0,856 x – 2,24.

Регрессия  коэффициенті  деп  аталатын  a

1

  параметрінің  практикалық 

маңызы зор. Бұл жағдайда ол жылына бір жұмыс істеушіге шаққанда энер-

гиямен жарақтандыруды 1 мың кВт-сағатқа ұлғайтса, онда еңбек өнімділігі 

жылына 856 бұйымға өседі. 

Регрессия  коэффициенті  мен  оның  маңыздылығының  кездейсоқ 

қателігін  анықтау.  a

1

  параметрінің  кездейсоқ  қатесі  келесі  формула 

бойынша анықталады: 

 

,

n

/

)

x

(

x

2

2

y

y

a

x

1

∑

∑

−

σ

=

−

μ

мұнда: 

х

y

y

−

σ

– теориялық деректерден нақты деректердің ауытқуының ор-

таша  квадратының  квадратты  түбірі  ретінде  анықталатын  байланыс  дис-

персиясы: 

 

.

264

,

1

596

,

1

25

/

91

,

39

n

/

)

y

y

(

2

x

y

y

x

=

=

=

−

=

σ

∑

−

Біздің мысалымызда регрессия коэффициентінің кездейсоқ қатесі мы-

наны құрайды: 

=

−

=

μ

25

/

4

,

253

9

,

2707

264

,

1

2

a

1

 

 

.

107

,

0

81

,

11

264

,

1

5

,

2568

9

,

2707

264

,

1

=

=

−

=

Регрессия коэффициенті (0,856) өзінің кездейсоқ қатесінен 8 есе көп. 

Сондықтан осы параметрді кездейсоқ емес маңызды деп сеніммен айтуға 

болады. Көп жағдайда регрессия коэффициентінің өзінің қатесінен үш есе 

артуын маңыздылық коэффициенті деп атауға болады. 

Икемділік  коэффициенті.  Регрессия  коэффициентін  білдіретін  x 

өзгерістен  y

x

  мағынасының  a

1 

өзгеруінің  сандық  тəуелділігін  көбінесе 

қатысты  шамада  көрсеткен  қолайлы.  Бұл  үшін  x  бір  пайызға  ұлғайғанда 

y  қанша  пайызға  көбейетінін  сипаттайтын  икемділік  коэффициенті  есеп-

теледі: 

Э = a

1

 x / y

x

.

Əрбір зауыт үшін жасалған есеп бір зауыттың икемділік коэффициен-

тін 1,77-ден бастап соңғы зауыттың 1,24-ке дейінгі əр түрлі мағыналарын 

көрсетеді, яғни коэффициентер бірте-бірте кемиді. Алайда барлық жағдайда 

236       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

еңбекті  энергиямен  жарақтандырудың  бір  пайызға  көбейгені  еңбек  өнім-

ділігін кем дегенде бір пайызға ұлғайтады. 

Корреляцияның  сызықтық  коэффициенті  вариацияланатын  белгі-

лердің өздерінің орташа шамасынан стандартталған ауытқуларын салысты-

руға негізделеді: 

r = { Σ[(x –

⎯x)/σ

x

] [y –

⎯y)/σ

y

]} : n.

Осы формуланың аздап өзгерткеннен кейін оны есептеуге қолайлы бо-

лады: 

 

.]

/

)

(

] [

/

)

(

[

/]

/)

(

[

∑

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

−

−

−

=

n

y

y

n

x

x

n

y

x

y x

r

2

2

2

2

Бар деректерді қойып r = 0,85 аламыз. Коррелляцияның сызықтық ко-

эффициенті –1 до +1 аралығында өзгереді, осымен байланыстың тығыздығы 

ғана емес бағытын да көрсетеді. Егер белгі теріс болса, онда байланыс кері, 

ал егер белгі оң болса, онда байланыс тікелей болады. 

Теориялық  корреляциялық  қатынас.  Белгі-факторға  байланыс-

ты  вариация  нəтижелелік  белгісінің  нақты  мағынасының  өзінің  орта-

ша  мағынасынан  ауытқуын  өлшейтін  жалпы  дисперсия  мен  нəтижелілік 

белгісінің теориялық мағынасы мен нақты мағынасының ауытқуын өлшей тін 

дисперсияның айырмасымен өлшенеді. Теориялық корреляциялық қатынас 

осы айырманы жалпы дисперсиямен салыстыруға құрылды: 

.

2

2

2

y

y

y

y

x

R

σ

σ

σ

−

−

=

Біздің жағдайда:

 

0,85.

5,69

1,596

5,69

R

=

−

=

Теориялық корреляциялық қатынас бұл жағдайда еңбекті энергиямен 

жарақтандыру  мен  еңбек  өнімділігінің  арасындағы  тығыз  байланысты 

сипаттайды.  Байланыс 0-ден  бастап 0-ге  дейінгі  шектерде  өзгереді  жəне 

байланыстың кез келген нысанында оның тығыздығын өлшеуге жарамды. 

Бұл ретте y əр түрлі функциялар бойынша тегістей келе біз қалдық вариаци-

яны (σ

y-yx

2

) бағалап, қай функцияның біздің эмпирикалық байланыс сызығын 

ең жақсы дəрежеде тегістейді (аппроксимиляция) айта аламыз. Теориялық 

корреляциялық қатынас та эмпирикалық деректерді ең жақсы дəрежеде ап-

проксимиляция жасайтынын көрсетеді. 

Корреляциялық  байланыстың  маңыздығын  дисперсиялық  тал-

даудың көмегімен тексеру. Егер корреляциялық талдау деректердің ша-

ғын жиынтығына жасалса, онда табылған байланыстың заңдылығы күмəн 

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        237

тудыруы  мүмкін.  Корреляциялық  байланыстың  маңызын  дисперсиялық 

талдаудың көмегімен тексеруге болады. 

Ол жалпы вариацияны талдауға жəне барлық өзге факторлармен бай-

ланысты  қалдық  вариацияға  фактордың  (бір  немесе  бірнеше)  енгізілуіне 

байланысты жүйелік вариацияға бөлуге негізделеді. Мұның өзінде осы ва-

риацияларды  өлшейтін  дисперсия  ауытқу  квадратының  сомасын  тəуелсіз 

вариацияның еркіндік дəрежесінің санына бөлу арқылы есептеледі. Жалпы 

вариация үшін еркіндік саны (n–1), мұнда n – жиынтық санының бірлігіне 

тең болады. Жүйелік вариация үшін (ол топ аралық вариацияға ұқсас) ер-

кіндік дəрежесінің саны (m–1) құрайды, мұнда m – факторлық топ бойынша 

пайда болған топтардың саны. Жəне қалдық вариация үшін (ол топ ішіндегі 

дисперсияға ұқсайды) еркіндік дəрежесінің (n–m) тең болады. 

25 зауыт қарастырылатын біздің мысалда еңбек өнімділігі деңгейінің 

жалпы  вариациясының  ауытқу  квадратының  сомасы 142,25 (5,69*25) тең 

болады.  Жалпы  дисперсия  үшін  еркіндік  дəрежесінің  саны 24 (25–1) тең 

болады. Демек, жалпы дисперсия 142,25:24 = 5,93 тең.

Еңбекті  энергиямен  жарақтандыру  белгісі  бойынша  жүйелік  (топара-

лық) вариация көрсетілген зауыттар 5 топқа бұрын бөлінгенде анықталды. 

Ауытқу квадраттарының сомасы 100,62 тең болды. Бес топ үшін еркіндік 

дəрежесінің саны 4-ті құрады. Демек, жүйелік вариацияны өлшейтін дис-

персия 100,62:4 = 25,15 тең болады. Оны S

1

2 

деп белгілейміз.

Қалдық  (топ  ішіндегі)  вариация  еркіндік  дəрежелерінің  санына 

жатқызылған,  бұрын  есептелген  сомалардың  айырмасы  ретінде  алынған 

ауытқулар  квадратының  сомасына  тең  болатын  дисперсиямен  өлшенеді 

жəне келесіні құрайды: (142,25 – 100,62) : 20 = 41,63 : 20 = 2,08. Оны S

2

2 деп 

белгілейміз.

Осы  дисперсиялардың  айырмашылығының  маңызын  бағалаудың,  де-

мек, анықталған тəуелділіктің маңызының өлшемі ретінде F= S

1

2

/ S

2

2

 қаты-

насы қабылданады. Біздің жағдайда ол F = 25,15 : 2,08 = 12,1-ні құрайды.

Американдық  математик-статистик  Р.  Фишер  кездейсоқ  асып  кету 

ықтималдығы  мардымсыз  сол  немесе  басқа  дисперсияның  еркіндік 

дəрежесінің  санына  байланысты  F-ның  сыни  мағынасын  есептеді.  Егер 

F  нақты  мағынасы  F-ның  теориялық  (кестелік)  мағынасынан  асып  кетсе, 

онда дисперсиялардың арасындағы айырмашылық кездейсоқ факторларды 

көрсетпейді, ол заңдылық сипатында болады, сөйтіп табылған тəуелділіктің 

маңызы расталады. 

Дисперсиялық  талдаудағы  есептеу  келесі 13.1-кесте  түрінде  ресімде-

леді. 

Кестеден  сенімгерлік  ықтималдық 0,95 жəне 0,99 болса,  нақты  F 

(12.1)  кестелік  F-дан  айтарлықтай  асатынын  көрсетеді.  Бұл  еңбекті  энер-

гиямен  жарақтандыру  мен  өнімділігі  деңгейлерінің  арасындағы  табылған 

тəуелділіктің маңызын растайды. 

238       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

13.1. Дисперсиялық талдау 

Вариация

Ауытқудағы 

квадраттардың 

сомасы

Еркіндік 

дəрежесінің 

саны

Дис-

персия 

(S

2

)

Дисперсия-

лардың 

қатынасы

Кестелік F 

ықтимал дығы-

мен 

0,95

0,99

Жүйелік

(топаралық) 

100,62

4

25,15

12,1

2,87

4,43

Қалдық (топ ішіндегі)

41,63

20

2,08

1

1

1

Жалпы

142,25

24

5,93

-

-

-

13.2.

Сызықтық емес тəуелділіктер

Қадағаланатын  құбылыстардың  арасындағы  байланыстар  көбінесе 

сызықтық  емес  болады.  Нақты  деректерді  тегістеу  үшін  функциялардың 

кейбіреуін қарастырайық. 

Гипербола  бойынша  теңестіру.  Дүкендердегі  айналыс  шығынының 

деңгейі  (олардың  сомасының  тауар  айналымына  қатынасының  пайызын) 

мен олардың тауар айналымының арасындағы байланысты қарастырайық. Іс 

жүзінде тауар айналымы ұлғайған сайын шығынның деңгейі төмендей тіні 

байқалады, алайда оның төмендеуі күннен-күнге баяулайды. 

Бұл  шығыстың  барлығы  екі  түрге  бөлінетінімен  байланысты.  Оның 

бір  түрі  (өзгермелі  шығыс) (көлік  шығыны,  сатушылардың  жəне  т.б. 

еңбекақысы)  тауар  айналымының  көлемімен  тығыз  байланысты.  Алай-

да тауар айналымының құрамындағы сатылатын өнім бірлігіне шағылған 

деңгейі өзгермейді (оны a

0 

деп белгілейміз). 

Басқа  шығыстар  (тұрақты  шығыс:  үй-жайға  жұмсалатын  шығыс, 

əкімшілік шығыс, кредит пайызы жəне т.б.) тауар айналымының мөлшеріне 

байланысты  емес.  Алайда  тауар  айналымының  құрамындағы  сатылатын 

өнімнің  бірлігіне  шағылған  олардың  деңгейі  тауар  айналымы  ұлғайғанда 

төмендейді (оларды a

1

, ал деңгейді a

1

/x деп белгілейміз). 

Жоғарыда  айтылғанның  негізінде  айналыс  шығыны  деңгейінің  тауар 

айналымының  мөлшерінен  тəуелділігінің  теориялық  түрі  функционалдық 

байланыста гипербола түрінде анықталады: 

y

x

 = a

0

 + a

1

/x.

Гиперболаның параметрлерін табу үшін ең аз квадраттар тəсілінде ке-

лесі екі теңдеу жүйесі алынады: 

a

0

n + a

1

Σ(1/x) = Σy;

a

0

Σ(1/x) + a

1

Σ(1/x

2

) = Σ(y/x).

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        239

10  дүкен  мысалы  бойынша  гипербола  бойынша  теңестіруді  қарас ты-

рамыз (13.2-кесте).

13.2. Гипербола бойынша теңестіру 

р/с № 

Тауар 

айналымы, 

млн теңге (x)

Өндіріс 

шығынының 

деңгейі (y)

1/x

1/x

2

Y/x

y

x

1

75

10

0,01333

0,0001778

0,13333

10,2

2

90

9,2

0,01111

0,0001235

0,10222

9,3

3

120

8,1

0,00833

0,0000694

0,06750

8,2

4

150

7,8

0,00667

0,0000444

0,05200

7,6

5

180

7,9

0,00556

0,0000309

0,04389

7,1

6

220

7,0

0,00455

0,0000207

0,03182

6,7

7

300

6,1

0,00333

0,0000111

0,02033

6,2

8

450

5,8

0,00222

0,0000049

0,01289

5,8

9

600

5,3

0,00167

0,0000028

0,00883

5,6

10

800

5,0

0,00125

0,0000016

0,00625

5,4

Сомасы

72,2

0,05802

0,0004870

0,47907

-

Теңдеуге кестеден алынған сандарды қойып мынаны аламыз: 

10a

0

 + 0,05802a

1

 = 72,2;

0,05802a

0

 + 0,000487a

1

 = 0,47907.

Екінші теңдеуді 10-ға көбейтіп, одан кейін оны 0,05802 бөліп төмендегі 

теңдеуді аламыз: 

10a

0

 + 0,083947a

1

 = 82,5728.

Осы теңдеуден бірінші теңдеуді алғанда 

0,025929a

1

 = 10,3728 алынады,

осыдан 

a

1

 = 10,3728/0,025929 = 400.

Осы мағынаны бірінші теңдеуге қойғанда келесі теңдеу алынады: 

10a

0

 + 23,21 = 72,2; 10a

0

 = 48,99,

осыдан 

a

0

 = 48,99/10 = 4,9.

Сөйтіп, байланыс теңдеуінің түрі келесідей болады: 

y

x

 = 4,9 + 400/x.

Осы  теңдеуге  x  мағыналарын  қойып  кестенің  соңғы  бағанында  кел-

тірілген өндіріс шығынының теориялық деңгейлерін аламыз. 

240       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Гипербола функциясының көмегімен өнім өндірісі мен өнімнің өзіндік 

құнының,  астық  жинау  мен  оның  түсімділігінің  арасындағы  жəне  кейбір 

көрсеткіштен құралған, яғни оның біріншісі – тұрақты, ал екінші көрсет-

кіш факторлық жəне кері байланыстан құралған бірқатар жағдайларда олар-

дың арасындағы баланс зерттеледі. 

Жартылай  логарифмдік  қисық  сызық  бойынша  теңестіру.  Мы-

сал  ретінде  сатушының  y  еңбек  өнімділігі  мен  дүкеннің  жалпы  тауар 

айналымының x өсуінің арасындағы тəуелділікті қарастырамыз. Тауар айна-

лымы ұлғайған сайын сатушының еңбек өнімділігі бірте-бірте төмендейді. 

Осы тəуелділікті келесі жартылай логарифмдік функциямен көрсетуге бо-

лады: 

y

x

 = a

0

 + a

1

log x.

Осы функцияның нақты мысалда қалай қолданылатынын қарастырамыз 

(13.3-кесте). 

Жартылай  логарифмдік  функцияның  параметрлерін  табу  үшін  екі 

теңдеу жүйесін шешу қажет: 

a

0

n+ a

1

 Σlog x = Σy;

a

0

Σlog x + a

1

 Σ(log x)

2

 = Σy log x ;

Кестеден алып келесі деректерді қоямыз: 

24a

0

+ 37,37a

1

 = 152,4;

37,37a

0

 + 60,167a

1

 = 243,376.

13.3. Жартылай логарифмдік тік сызық бойынша теңестіру 

x

y

Logx

(logx)

2

y logx

y

x

1

2

3

4

5

6

10,2

5,1

1,0086

1,0173

5,1439

4,6

10,4

5,2

1,0170

1,0344

5,2886

4,6

15,3

5,1

1,1847

1,4035

6,0419

5,2

16,2

5,4

1,2095

1,4629

6,5314

5,3

20,0

5,0

1,3010

1,6927

6,5051

5,5

20,8

5,2

1,3181

1,7373

6,8539

5,6

22,0

5,5

1,3424

1,8021

7,3833

5,7

22,5

5,5

1,3522

1,8284

7,4370

5,7

26,0

6,5

1,4150

2,0021

9,1973

5,9

33,2

6,5

1,5211

2,3139

9,8874

6,2

34,0

5,5

1,5315

2,3454

8,4231

6,3

34,8

5,8

1,5416

2,3765

8,9412

6,3

39,2

5,6

1,5933

2,5386

8,9224

6,5

42,0

7,0

1,6232

2,6349

11,3627

6,6

45,5

6,5

1,6580

2,7490

10,7771

6,7

56,0

7,0

1,7482

3,0562

12,2373

6,9

64,0

8,0

1,8062

3,2623

14,4494

7,1

67,5

7,5

1,8293

3,3464

13,7198

7,2

13-тақырып. Өзара байланыстарды зерттейтін корреляциялық-...        241

1

2

3

4

5

6

68,0

6,8

1,8325

3,3581

12,4611

7,2

69,0

6,9

1,8388

3,3814

12,6881

7,2

72,0

7,2

1,8573

3,4497

13,3728

7,3

78,0

7,8

1,8921

3,5800

14,7583

7,4

93,6

7,8

1,9713

3,8859

15,3760

7,7

94,8

7,9

1,9768

3,9078

15,6168

7,7

Сомасы

152,3

37,370

60,167

243,376

152,4

Бірінші теңдеуді 37,37-ге көбейтіп, 24-ке бөлеміз: 

37,37a

0

+ 58,188a

1

 = 237,144.

Екінші теңдеуден алынғанды алып тастап мына теңдеуді аламыз: 

1,979a

1

 = 6,232, 

осыдан 

a

1

 = 6,222/1,979 = 3,15. 

Осы мағынаны бірінші теңдеуге қойып, мына теңдеуді аламыз: 

24a

0

+ 117,7 = 152,3,

осыдан 

24a

0

 = 152,3 – 117,7 = 34,6; a

0

 = 34,6/24 = 1,442.

Демек, байланыс теңдеуінің түрі мынадай болады: 

y

x

 = 1,442 + 3,145 log x.

жүктеу/скачать 2,85 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: