ОҚулық Екінші басылым. Өңделген Алматы, 2012 2 Əож 53 (075. 8) Кбж 22. 3 я 73 Т90

1 
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ 
ЖОҒАРЫ ОҚУ ОРЫНДАРЫНЫҢ ҚАУЫМДАСТЫҒЫ
А. ТҮСІПОВ
С. ТҮСІПОВА
МАТЕРИАЛДАР КЕДЕРГІСІ
 
ОҚУЛЫҚ
Екінші басылым. Өңделген
Алматы, 2012

2
ƏОЖ 53 (075.8)
КБЖ 22.3 я 73
Т90
Қазақстан Республикасының Білім жəне ғылым министрлігінің 
Қарағанды мемлекеттік техникалық университетіндегі
 Оқу-əдістемелік секциялары кеңесінің Президиумының  шешімімен 
оқулық ретінде баспаға ұсынылған
Пікір жазғандар:
 
Техника ғылымдарының докторы, профессор Қ. С. Шоланов;
 
Техника ғылымдарының кандидаты, доцент Ж. А. Ақынғазиев
 
        Түсіпов А., Түсіпова С. 
Т90 Материалдар кедергісі: оқулық – 2 - бас., өңд. Алматы, 2012. –  400 бет.
ISВN 978-601-217-306-2
ҚР МЖМБС мемлекеттік жалпыға міндетті білім стандартына сəйкес əзірленген 
үлгілік (типтік) оқу бағдарламасына жəне жұмыстық оқу жоспарларына сəйкес 
құрастырылған.  Бұл оқулық авторлардың бұрын жарық көрген оқулығының 
(А.Түсіпов, С.Түсіпова. Материалдар кедергісі. Алматы-2008) негізінде жəне 
техникалық жоғары оқу орындарында, атап айтқанда «Технологиялық машина-
лар жəне жабдықтар» мамандықтарының жұмыстық  оқу жоспарларына сəйкес 
оқылған дəрістердің негізінде сұрыпталынып, техникалық мамандықтардың ба-
калавариаттарына арналған. Сонымен қатар, студенттердің өздік жұмыстарына 
арналған кейбір теориялық материалдар (Потенциалдық энергия, орын ауыстыру-
ды анықтаудың жалпы əдістері, бұралу деформациясының кейбір ерекшеліктері) 
«Қосымшада» берілген. 
Пəннің негізгі мақсаты «Материалдар кедергісінің» теориялық негіздерін жете 
түсіну арқылы, қазіргі заманға сай құрылымдар мен ғимараттардың элементтерін 
беріктікке, қатаңдыққа жəне орнықтылыққа есептеуге үйрету болып табылады. 
Бұл оқулықты «Қолданбалы механика», «Инженерлік механика» жəне «Матери-
алдар кедергісі» пəні оқылатын барлық мамандықтардың студенттері де пайдалана 
алады. 
ƏОЖ 53 (075.8)
КБЖ 22.3 я 73
 
© А. Түсіпов, С. Түсіпова, 2012
© ҚР Жоғары оқу орындарының 
    қауымдастығы, 2011
ISВN 978-601-217-306-2

3 
КІРІСПЕ
Табиғатта  кездесетін  немесе  жасанды  материалдардың  барлы-
ғында  да  беріктік,  қаттылық,  морттылық,  тағы  да  сол  секілді 
физикалық қасиеттер болады. Міне осындай қасиеттер тəн матери-
алдарды (табиғи немесе жасанды) сындыруға, не болмаса олардың 
геометриялық  өлшемдерін  өзгертуге  əрекет  жасап  көрейікші.  Осы 
кезде олардың бірден сынып, не геометриялық өлшемдерін тез арада 
өзгерткенін көрмейміз, қайта олар сынбауға «тырысып», бізді азды-
көпті  күш  жұмсауға  мəжбүр  етеді.  Басқаша  айтқанда,  сындыруға 
немесе геометриялық түрін бұзуға қарсыласып, «кедергі» жасайды. 
Пəннің «Материалдар кедергісі» деп аталуы да осы терминге байла-
нысты деп түсіну керек.
Инженердің негізгі мақсаты құрылыстар мен машиналарды жəне 
олардың элементтерін берік те арзан, төзiмдi де сенімді етіп жоба-
лау  болса,  осы  элементтер  жасалатын  материалдар  қандай  күшке, 
оның  əрекетіне  қалай  қарсыласып,  қандай  «кедергі»  жасай  алаты-
нын, қанша салмақты көтере алатынын білу, зерттеу – сол мақсатқа 
апаратын жол деп білу қажет. Сайып келгенде, конструкциялардың 
беріктігі,  материалдардың  «кедергісіне» (сыртқы  күштердің 
əрекетіне қарсыласуына) тікелей байланысты. Сондықтан, берiктiк 
iлiмiнiң негiзгi пəнi – біздің елде «Материалдар кедергісі» деп атала-
ды, өйткені бұл пəн орыс тілінен аударылған еді. Ресей ғалымдары 
бұл пəнді, өз уақытында, француз тілінен аударған (французша «Со-
противление  материалов» – «Résistance des matériaux»). Ал  неміс 
тілінде бұл пəн ертеден – die Festigkeitslehre, яғни «Беріктілік ілімі» 
деп  аталады.  Жалпы  алғанда,  беріктік  пен  қатаңдықты  зерттейтін 
ғылым – қатты денелер механикасы ғылымына жатады. Ал «Берiктiк 
iлiмiне» қатысты пəндердiң барлығы осы ғылымның бір саласы бо-
лып табылады. 

4
 
1,а-сурет (схема)
Бұл  пəндерде:  тəжірибеде  жиі  кездесетін  инженерлік  есептерді 
шешудің  қарапайым  жолдары  қарастырылады;  машиналар  мен 
аппараттардың элементтерінің өлшемдерін, олардың геометриялық 
түрлерін теориялық жəне эксперименттік зерттеулер арқылы берік, 
қатаң  жəне  төзімді  етіп  тағайындау  жолдары  негізделеді.  Қорыта 
айтқанда, «Материалдар  кедергісі»  дегеніміз – беріктілік  жəне 
төзімділік туралы ілім.
  “Материалдар  кедергiсi”  пəнiнiң  негiзiнде  дамып,  осы  пəннің 
шеңберінің  үлкеюінің  арқасында,  оның  негізіне  сүйенген  жаңа 
пəндер  пайда  болды.  Олар  инженерлік  салалардың  біреуінің  ғана 
есебінің  шешу  тəсілдерін  зерттеп,  сол  салаға  тəн  бөлшектер  мен 
элементтерді жобалау жолдарын қарастырады. Мысалы қолданбалы 
механиканы,  құрылыс  механикасын,  кеме  жасау  механикасын,  са-
молеттер  мен  зымырандар  механикасын  жəне  тағы  басқа  пəндерді 
атауға болады (Берiктiк iлiмiнiң басқа iлiмдермен байланысын 1,а–
схемадан көре аласыз).  Əрине, осы салаларда қол жеткен ғылыми 
табыстар  жəне  есеп  шешу  тəсілдері,  мүмкіндігінше,  материалдар 
кедергісі пəнінде де, басқа салаларда да қолданылады.

5 
1,б-сурет (схема)
Осыған  байланысты,  берiктiк  есептерін  шығарғанда  жаттан-
дылықтан аулақ болып, əр есептің негізін жете түсініп, маңызы жоқ 
ұсақ-түйекті  ескермей-ақ,  нəтижені  оңай  да  сенімді  жолмен  алуға 
тырысу керек.

6
1-тарау. 
МАТЕРИАЛДАР КЕДЕРГІСІ – БЕРІКТІК ТУРАЛЫ ІЛІМ
§1. Нақты объект жəне оның есептеу нұсқасы
Кез  келген  инженерлік  есепті  шешу,  нақты  объектіні  зерттеу-
ден басталады да, соның нəтижесінде осы зерттеліп отырған нақты 
объектінің  есептеу  нұсқасы  (моделі)  таңдалып  алынады.  Есептеу 
нұсқаны  дұрыс  таңдау,  əрине,  инженердің  білімінің  тереңдігіне, 
тəжірибесінің  молдығына  байланысты.  Бұл  үшін,  осы  нақты 
объектінің негізін жете түсініп, ненің мəнісі зор, ал нені елемеуге бо-
латынын, қай нəрсе объектінің негізін қалайды, ал қайсысы болмашы 
екенін айыра білу керек. Өйткені, объектінің барлық ерекшеліктерін 
толық ескеріп, ұсақ-түйектерін де есепке ала берсек, есептің шешу 
жолы  ұзарады  да,  одан - оның  беріктігі,  төзімділігі  аса  көп  артып 
кетпейді.
Осыған байланысты 1,б-суретінде (схема) нақты материалдардың 
жалпылама қасиеттері талданып көрсетілген.
Мысалы  мынандай  бір  есепті  алып  қарайық.  Қоставрдан 
жасалған  арқалықты 2-суретте  көрсетілгендей  етіп  көтеру  керек 
дейік.  Есептің  шарты:  арқалықты  көтерген  кезде  конструкцияның 
əр  элементі  берік  жəне  қатаң  болып,  ешқайсысы  істен  шықпау 
(қирамау) керек. Осы шартқа байланысты, есептің нұсқасы қандай 
болмақ, ол қандай жолдармен қабылданады, енді соған тоқталайық. 
Төменде сондай есептеу нұсқаларының екеуі көрсетілген (3,а, 3,б- 
суреттері).
Мұның  өзі,  біріншіден  есептің  қойылу  шартына,  оның 
конструкциялық  ерекшелігіне,  екіншіден,  оны  қандай  дəлдікпен 
есептеу  керектігіне  байланысты.  Бұл  конструкция  үш  элементтен 
тұрады: арқан, сырықтар жəне арқалық (қоставр). 
Біріншіден, арқалықты көтеру кезінде арқан үзіліп кетпесін де-
ген шарт қояйық (яғни, арқанның беріктігін есептеу керек). Ол үшін 
арқанға қандай күш əсер ететінін анықтаймыз. Есептің берілуі бой-
ынша, арқанға əсер ететін негізгі күш болып, арқалықтың салмағы 
есептеледі.  Онымен  қоса,  сырықтардың  салмағында  ескеру  керек; 
егер  арқалық  жылдам  көтерілетін  болса,  онда  оның  үдемесін,  ал 
оның  үстіне  арқалық  өте  үлкен  биіктікке    көтерілетін  болса,  онда 
арқан  тым  ұзын  болады  да,  арқанның  өз  салмағын    қоса  есептеу 
керектігі туындайды.

7 
2-сурет 
Аэродинамикалық  кедергіні,  барометрлік  қысымды,  тағы  басқа 
да  сол  секілді  маңызы  аз  (арқанға  əсер  ететін  күш  тұрғысында) 
сыртқы  əсерлерді  ескермеуге  болады.  Сонымен,  арқалыққа  əсер 
ететін  күштерді  екшелеу  арқылы  ғана,  осы  қаралған  қарапайым 
есептің бірнеше есептеу нұсқасын жасауға болады. 
3-сурет  
Екіншіден,  бұл  есепті  басқа  тұрғыдан  қарастырсақ,  мысалы, 
арқалық  көтерілген  кезде  ол  сынып  кетпесін  немесе  шамадан  тыс 
майысып  кетпесін  деген  шарт  қойсақ  (яғни  арқалықтың  беріктігін 
есептеу керек), онда:

8
-  арқалыққа (қоставрға) əсер ететін күш – оның өз салмағы бо-
лып табылады, ол күш арқалықтың бойымен бірқалыпты таралған 
деп есептеледі;
-  бұл  салмақ  күші  арқандарға  түседі  де,  арқандар  бекітілген 
қималарда реактивті  күштер пайда болады, ал олар арқандардың со-
зылу ішкі күштеріне  (
ci
N
) тең болады (4,а сурет).
-  бұл есептің есептеу нұсқасын 4,б-суретте көрсетілгендей етіп 
қабылдауымыз керек.
4-сурет
Қорыта айтқанда, нақты объектінің маңызы аз ерекшеліктері 
ескерілмейтін  түрі – осы  объектінің  есептеу  нұсқасы  деп  ата-
лады.
Біз  жоғарыда  қаралған  есепте  конструкцияның  үш  элементтен 
(арқан,  арқалық,  сырық)  тұрғанын  көрдік.  Тəжірибеде  кездесетін 
конструкциялармен жүйелер бұдан да көп бөліктерден, элементтер-
ден тұруы мүмкін. Енді, осы бөліктер, элементтер немесе конструк-
циялар бір-бірінен, геометриялық тұрғыдан қарағанда, қалайша ай-
ырылады, олардың ерекшеліктері қандай соған тоқталайық.
 

9 
Кез келген дененің геометриялық формасы үш өлшеммен сипат-
талатыны белгілі. Өлшемдерінің шамасына байланысты оларды мы-
нандай төрт топқа бөлуге болады:
1.  Бір  өлшемі  басқа  екеуіне  қарағанда  бірнеше  есе  үлкен  бо-
лып  келетін  денелерді – білеулер  немесе  сырықтар  деп  атаймыз. 
Көлденең  қималарының  пішініне  байланысты,  олар  негізінен  ци-
линдр (5,а-сурет)  не призма (5,б-сурет) түрінде болады. 
5-сурет
2.  Екінші  топқа  жататын  денелердің  екі  өлшемі  үшіншісіне 
(қалыңдығына) қарағанда, анағұрлым үлкен болады. 
6-сурет
Бұл  денелер  параллель  жазықтықтармен  шектелсе,  өздерінің 
қалыңдықтарына байланысты плита, пластина немесе мембрана бо-
лып бөлінеді (6,а-сурет). Олардың қисық беттермен шектелген түрі 
қабыршық (6,б-сурет) деп аталады.
3.  Келесі  топқа  үш  өлшемдері  бір  шамалас  денелер  жата-
ды.  Бұлар  кеңістіктік  денелер  деп  аталады;  оларға  шар  түрінде 

10
жасалған тіректер, қысқа роликтер, машиналардың іргетастары (7,а, 
7,б-суреттері) жатады.
7-сурет
4.  Соңғы  топқа  жататын  денелер  жұқа  қабырғалы  сырықтар. 
Олардың үш өлшемі бір-бірінен өте алшақ келеді (8-сурет).
Конструкцияларда кездесетін денелерді осылай топқа бөлу, нақты 
объектінің есептеу нұсқасын дұрыс таңдап алуды жеңілдетеді.
8-сурет
Сонымен  қатар,  материалдардың  физикалық  қасиеттері  туралы 
гипотезалардың  да  объектінің  есептеу  нұсқасына  тікелей  қатысы 
бар. Ол гипотезалар:
1. Материалдардың барлығы да түбегейлі серпімді, демек, денеге 
əрекет ететін күш алынып тасталғанда, ол дене бастапқы қалпына 
қайтып  келеді.  Бұл  гипотезадан  күштер  əрекетінің  тəуелсіздігі  
принципі туындайды.
2.  Конструкцияларда  қолданылатын  барлық  материалдар  изотроп-
ты, демек, дененің əр нүктесіндегі қасиеттері барлық бағытта бірдей. 
Бұл  гипотезаның  арқасында,  зерттелетін  элементар  көлемді,  дененің 
қай жерінен, қай бағдарда бөлiп алғанымызды айғақтап жатпаймыз.
 

11 
3.  Материалдардың  құрамы  біртекті,  яғни  дененің  қай  жерінде 
болмаса  да,  оның  қасиеттері  бірдей.  Бұл  гипотеза,  элементар 
көлемді  зерттеу  арқылы  анықталған  барлық  физикалық  қасиеттер 
мен  алынған  математикалық  формулалар  осы  денеге  тəн  деп 
тұжырымдауға мүмкіндік береді.
4.  Дененің  құрылысы  біртұтас,  өйткені  дене  затпен  толық 
толтырылған,  ешқандай  бос  қалған  жер  мен  қуыстар  жоқ. 
Инженерлік  есептерді  зерттеуге  математиканың  көп  салаларын 
қолдану мүмкіндігін осы гипотеза береді.
Объектінің есептеу нұсқасы сапалы болу үшін, деформациялардың 
түрлеріне де көңіл аударған жөн.
  «Материалдар  кедергісі»  ілімінде  негізінен  сырықтар  жəне 
сырықтар  жүйелері  қаралатын  болғандықтан,  соларды  толығырақ 
қарастырайық.
Сырықтың  көлденең  қималарының  ауырлық  центрлері  арқылы 
өтетін сызық оның осі деп аталады. 
9-сурет
Сыртқы күштердің əрекетіне байланысты сырықтың созылып не 
сығылып, иіліп немесе бұралып деформациялануы мүмкін. Осыған 
байланысты, егер сырық, негізінен, иіліп деформацияланатын болса, 
ал арқалық, бұралып деформацияланатын болса, онда оны білік деп 
атау қабылданған. 
 

12
10-сурет
Бірнеше  сырықтардан  тұратын  конструкциялар  ферма  жəне 
рама  болып  екі  топқа  бөлінеді.  Егер  конструкцияның  элементтері 
негізінен  созылып  не  сығылып  жұмыс  істесе,  онда  ол  ферма  деп 
аталады. Бұл конструкцияларда бірнеше сырықтар бір түйінге топса 
арқылы бекітіліп, күш оның тек түйініне түседі. 
Сондықтан  деформация  кезінде  түйіндер  сырықтардың 
ұзаруына немесе қысқаруына байланыста жылжиды (9-сурет). Егер 
конструкцияның  элементтері  негізінен  иіліп  не  бұралып  жұмыс 
істесе,  онда  ол  рама  деп  аталады.  Бұл  конструкцияның  ерекшелігі 
– оның түйіндердегі бұрыштарының деформация кезінде өз шамала-
рын өзгертпеуінде (10-сурет).
§2.  Сыртқы жəне ішкі күштер. Қималар тəсілі
Денелердің  бір-біріне  механикалық  əсерін  күш  дейміз.  Егер 
белгілі бір конструкцияны жеке дербес дене ретінде өзгелерден бөліп 
алып  қарасақ,  онда  қалғандардың  оған  əсерін  сыртқы  күш  дейміз 
(тіректердің  əсерін-реакцияларды  сыртқы  күштерге  жатқызамыз). 
Сыртқы  күштер  көлемдік  жəне  беттік  болып  бөлінеді.  Көлемдік 
күш заттың барлық көлеміне таралып, оның əр түйіріне əсер етеді. 
Беттік күштер денеге қадалып, не таралып əсер етеді. Қадалған күш 
деп  нүктеге  түсетін  күштерді  айтамыз.  Ал  тəжірибеде  дəл  нүктеге 
түсетін  күш  жоқтың  қасы.  Сондықтан,  əдетте,  қадалған  күш  өте 
шағын  бетке  түседі.  Таралған  күш  дененің  белгілі  бір  ауданына 
түседі де, өзінің қарқындылығымен сипатталады.

13 
Қарқындылық деп күштің бірлік ауданға немесе бірлік ұзындыққа 
түсірілген  шамасы  аталады.  Оның  тұрақты  болуы  немесе  элемент 
бойымен  өзгеріп  отыруы  мүмкін.  Осыған  байланысты,  таралған 
күшті тұрақты таралған жəне өзгермелі таралған деп бөлеміз.
Сыртқы күштер өздерінің ерекшеліктеріне байланысты тұрақты 
жəне  уақытша  күштер,  статикалық  немесе  динамикалық  күштер 
жəне тағы басқаша болып жіктеледі. Зерттеліп отырған объектінің 
(конструкцияның)  бөліктерінің  өзара  əсерін  ішкі  күштер  дейміз. 
Ішкі күштер денеге сыртқы күштер əрекет еткенде пайда болады.  
11-сурет  
Мысалы, P
1
, P
2
, P
3
, …. P
n 
– күштерiнен тұратын күштер жүйесі əсер 
еткен кезде тепе-теңдік күйде тұрған мына бір сырықты (11,а-сурет) 
алып қарайық. Сыртқы күштердің əсерінен бұл денеде ішкі күштер 
пайда  болады.  Өйткені,  сыртқы  күштер (P
1
, P
2
, P
3
, …. P
n
)  денені 
қиратуға  жəне  оның  геометриялық  өлшемдерін,  пішінін  өзгертуге 
тырысады,  ал  дене  оған  «қарсыласады».  Дененің  қарсыласуын 
ішкі  күштер  арқылы  бағалауға  болады.  Бұл  ішкі  күштерді  денені 
қию  арқылы  айғақтап,  теңдеулер  (статиканың,  динамиканың  жіне 
т.б)  құру  арқылы  олардың  мəнін  табуға  болады.  Осындай  əдісті 
қималар тəсілі деп атайды. Осы тəсілді толығырақ қарастырайық. 
Ол  үшін,  статикалық  тепе-теңдікте  тұрған  денені,  мысалы, 
сырықты алып қарайық (11,а-сурет). Осы қаралып отырған сырықты 
«S» қимасы арқылы ойша тіліп екіге бөлейік те, оның сол жақ бөлігін 
алып тастап, оң жақ бөлігін қарастырайық. Алынып тасталған сол 

14
жақтағы бөліктің, қалған оң жақ бөлікке əсерін А қимасындағы ішкі 
күштер арқылы өрнектеуге болады (11,б-сурет). Екі бөліктің ортақ 
қимасындағы  (мысалы  «А»-қимасы)  ішкі  күштер  өзара  тең,  тек 
қарама-қарсы бағытталған. Əрине, ішкі күштер дененің əр түйірінің 
бір-біріне əсерін  көрсететіндіктен  басқа  қималардағы ішкі күштер 
басқаша болуы əбден ықтимал. Ішкі күштер қима бетінде, көбінесе, 
өте бір күрделі заңдылықпен таралып жатады. Бірақ, ол заңдылық 
қандай қиын болғанымен, дененің əр бөлігі теңдік күйінде болады, 
өйткені есептің қойылу шарты бойынша, берілген дененің өзі теңдік 
күйде  екені  атап  көрсетілген.  Осыған  байланысты  барлық  ішкі 
күштерді, теориялық механика заңы бойынша, бір нүктеге жинауға 
болатынын  ескеріп,  оларды  қиманың  салмақ  центріне  (О)  жинай-
мыз.  Нəтижесінде  бас  вектор  (
P
−
)  мен  бас  моментті  (
M
−
)  аламыз 
(12,а-сурет). Содан кейін, қиманың центрі арқылы өзара перпенди-
куляр үш ось (x,y,z) жүргіземіз де, бас вектор мен бас моментті осы 
үш  оське  жіктейміз  (проекциялаймыз).  Соның  нəтижесінде,  алты 
түрлі ішкі күштер пайда болады.
12 – сурет
Олар: N – бойлық күш, Q
х 
– жəне  Q
у 
– көлденең күштер, М
б 
– бұрау 
моменті, М
х  
жəне М
у
 – ию моменттері (12,б-сурет). Осы көрсетілген 
алты ішкі күштерді табу үшін теориялық механиканың статикалық 
алты теңдеуінен тұратын теңдеулер жүйесін қолдануға болады. 
 
 
 

15 
(
0,
0,
0,
0,
0,
x
y
z
X
Y
Z
M
M
M
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
).
Ал, осы ішкі күштердің (N, Q
x
, Q
y
, M
б
, M
x
, M
y
) бiр қимада бəрі бірдей 
пайда бола бермейтіні тəжірибеден анық көрінеді. Шынында да, егер 
бір қимада екі-үш, тіпті одан да көп ішкі күштер болса, басқа қимада 
бір-ақ  ішкі  күш  болуы  мүмкін.  Осы  ішкі  күштердің  қаншасының 
элемент  қимасында  пайда  болуына  байланысты  кернелген  күймен 
деформацияның  түрі  əрқилы  болып  келеді.  Сондықтан,  элементті 
есептеу жолдары да əр түрлі. Есептерді шығару ыңғайлы болу үшін, 
элементтердің  қимасындағы  ішкі  күштердің  сандарына  жəне  оларды 
анықтау жолдарына байланысты, материалдардың кедергісіндегі есеп-
тер бірнеше топқа бөлінеді. Мысалы, сыртқы күштердің əрекетінен 
элементтердің қимасында тек қана бойлық күш (N)  пайда бола-
тын жүктеменің түрін - созылу немесе сығылу деп атайды. 
Сонымен,  материалдар  кедергiсiнiң  есептерiнiң  қай  тобын 
қарастырсақ  та,  оларды  шешу – белгілі  бір  жолмен  (жоспармен) 
жүргiзiледi. Сол жоспарда көрсетiлген (§6) iшкi күштердi табу үшiн 
қималар  тəсiлi  қолданылады.  Қималар  тəсілі - бірінен  кейін  бірі 
орындалатын,  төрт  кезеңнен  тұратынын  баса  айтуымыз  керек.  Ол 
кезеңдер  мыналар:
1. Ішкі күштер ізделіп отырған нүкте арқылы, ойша қима жүргіземіз 
(мысалға «А» қимасы). Бұл кезде дене екіге бөлінеді (ойша).
2. Екі бөліктің кез келгенін алып тастаймыз. Бұл кезде, қай бөлікті 
қалтыру  мəселесін  шешкенде,  есептің  шешілу  жолының  жеңіл, 
ыңғайлы болуын қарастырған жөн.
3.  Алып  тасталған  бөліктің,  қалған  бөлікке  əсерін,  ішкі  күштер 
арқылы өрнектейміз ( N, Q
х
, …).
4. Теңдіктер жүйесін 
(
0,
0,
0,
0,
0,
x
y
z
X
Y
Z
M
M
M
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
) құрамыз.
Осы  құрылған  теңдіктер  жүйесін      пайдалана  отырып,  ішкі 
күштерді  табуға  болады.  Егер  сыртқы  күштер  берілмеген  болса, 
онда  осы  теңдеулер  арқылы  ішкі  күштер  мен  сыртқы  күштердің 
қатынастарын алуға болады.
§3. Кернеулер
Берiктiк есептерін толық шешу, ішкі күштердің қима бетінде та-
ралу заңын санмен өрнектеуге тығыз байланысты екенiн жоғарыда 
айтқанбыз.  Ал  ішкі  күштердің  қима  бетінде  таралу  заңын  сан 

16
арқылы өрнектеу үшін “кернеу” ұғымын кіргізіп, бұдан былай ішкі 
күш  өлшемін  кернеу  деп  атаймыз.  Дененің  «А»  қимасы  берілсін 
(13-сурет). Осы қимадағы к нүктесінің маңынан 
A
Δ
 элементар ау-
данын бөліп алайық. Бұл ауданға əрекет етіп тұрған күшті 
R
Δ
деп 
белгілейік. Cонда, күш пен ауданның қатынасы қимадағы орта кер-
неу деп аталады. Яғни:
R
P
A
  
                                            (1.1)
 
 
13–сурет                                                            14-сурет
Енді 
A
Δ
 - ауданын кішірейте-кішірейте к нүктесіне жақындатайық. 
Аудан нөлге жуықтағанда бұл қатынас (1.1) қиманың толық кернеуін 
береді.
0
lim
R
 
                                  (1.2)
Толық кернеуді үш құраушыға жіктеуге болады. Оның бірі қимаға 
тік бағытталады да, тік кернеу деп аталып, 
σ
-əрпімен белгіленеді. 
Ал қалған екеуі сол қиманың жазықтығында жатады. Олар жанама 
кернеу деп аталып, 
τ
- əрпімен белгіленеді (14-сурет). Егер кез кел-
ген «к» нүктесі арқылы тағы бір қима жүргізсек, онда бұл нүктедегі 
кернеулер, жалпылама айтқанда, бұрынғыдан өзгеше болады. Соны-
мен, кез келген нүкте арқылы өтетін барлық қималардағы кернеулер 
осы нүктенің кернелген күйін анықтайды. 
§4. Орын ауыстыру жəне деформация
Табиғатта кездесетін барлық материалдар да, жасанды материал-
дар  да  мүлде  (абсолют)  қатты  болмайды.  Олар  сыртқы  күштердің 
əсерінен аз-маз болса да өзінің пішінін, өлшемдерін өзгертеді. Де-
мек,  дененің  нүктелері  өз  орындарын  ауыстырады.  Денелердің 
орын ауыстыруын екі түрге бөлеміз. Біріншісі – дененің түгелімен, 

17 
өзінің  геометриялық  пішінін  жəне  өлшемдерін,  ал,  түйірлері 
өзара  қашықтарын  өзгертпей  орын  ауыстыруы,  екіншісі – оның 
түйірлерінің өзара орын ауыстыруы. Дененің орын ауыстыруының 
бірінші түрі болмайтындай етіп бекітілген денені алайық (15-сурет). 
Сыртқы күштердің əсерінен к нүктесі к
/ 
нүктесіне орын ауыстырды 
делік. Бұл кезде кк
/ 
қашықтығы
 
- оның толық орын ауыстыруы деп 
аталады. Осы толық орын ауыстыруды үш бағытқа жіктеуге,  яғни, 
үш  оське  (x,y,z) проекциялауға  болады.  Түсінікті  болу    үшін  кк
/ 
орын ауыстыруына мына тұрғыдан қарайық. 
 
1
15-сурет                                                             16-сурет
Қарастырылып  отырған  к  нүктесі  алдымен  z  осін  бойлай  жыл-
жып КА қашықтығына орын ауыстырды, сонан кейін х осінің бойы-
мен АВ қашықтығына, ең соңынан у осімен ВК
/
 қашықтығына орын 
ауыстырды деп қарауға болады. Осы орын ауыстыруларды, əдетте, 
төмендегідей етіп белгілейді:
,
,
u BK
v KA w
′
ΑΒ =
=
=
  (1.3)
Сонымен,  толық  орын  ауыстыруды ( кк
/
)  үш  оске  проекциялап, 
u
, 
v
  жəне 
w
 жылжуларын алуға болады. Айта кететін бір жай – 
қатты денелер механикасында, оның ішінде «Материалдар кедергісі» 
пəнінде де, дененің геометриялық өлшемдеріне қарағанда əлдеқайда 
аз болып келетін орын ауыстырулар қарастырылады. 
Енді дененің геометриялық пішіні мен өлшемдерінің өзгеруінің 
қарқынын сипаттау үшін мына денені алып қарайық (16-сурет). Осы 
денедегі екі нүктенің (А жəне В) ара қашықтығын 
l
деп белгілейік. 
Сыртқы  күштердің  (сурет  қиындап  кетпес  үшін  ол  күштер 
көрсетілмеген) əсерінен бұл дене өзінің пішінін өзгертті делік (су-
ретте үзік сызықпен көрсетілген). Ол кезде, А нүктесі А
/
 нүктесіне, 
В  нүктесі  В
/ 
нүктесіне  жылжып,  екеуінің  ара  қашықтығы  өзгеріп, 
2–661

18
l
l
+ Δ болады. 
l
Δ
-дің 
l
-ге  қатынасын 
 
əрпiмен  белгілеп,  оны 
орташа ұзару деп атаймыз, яғни 
l
l
   
  (1.4)
Осыдан кейін А нүктесі мен В нүктесін бір-біріне жақындата ба-
стаймыз. Жақындатудың математикалық шегінде алынатын шаманы 
деформация дейміз. 
0
lim
AB
l
l
l
  
   (1.5)
Толығырақ жəне нақтылап айтқанда, 
AB
ε
- дененің А нүктесіндегі 
АВ  бағытындағы  сызықтық  деформациясы.  Осылайша  қарастыра 
отырып,  координаталық  осьтер x, y, z бағыттарындағы  сызықтық 
деформацияларды  табуға  болады.  Олар 
,
,
x
y
z
ε
ε
ε
  əрiптерiмен 
таңбаланады.  Сызықтық  деформациялардан  басқа,  бұрыштық  де-
формациялар  да  болады.  Олар,  деформацияға  дейінгі  белгілі  бір 
бұрыштың,  деформациялану  кезінде  қаншалықты  өзгеретінін  си-
паттайды  жəне 
,
,
xy
yz
zx
γ γ γ
  символдарымен  таңбаланады.  Есте  бо-
латын  бір  нəрсе,  деформация  мен  орын  ауыстыруды  шатастырып 
алатын  кездер  кездесіп  тұрады.  Мысалы,  сырықтың  толық  ұзаруы 
мен  пружинаның  отыруы,  əр  кезде  де  деформация  емес,  тек  орын 
ауыстыру  болуы  мүмкін  екенін  ұмытпау  керек.  Мына 17-суретте 
көрсетілген сырыққа көңіл аударайық.
17-сурет
Бұл  сырық  Р  күшінің  əрекетінен  СД  шамасына  ұзарады, 
сондықтан  оның  қималары  оңға  қарай  жылжиды.  Бірақ,  ВС  бөлігі 
де жылжығанмен, ол ешқандай деформация алмайды, өйткені оның 
жылжуы  сырықтың  АВ  бөлігінің  ұзаруына  (деформациясына) 
тəуелді.

19