Н. ҚАЙРАТКЫЗЫ, Э.М. МАГЗУМОВА

27

Региональный вестник Востока

  

 

 

 

 

        

Выпускается ежеквартально

STROND SOLVABILITy OF A BOUNDARy PROBLEM 

OF MAGNETIC HyDRODyNAMICS IN CASE 

2

R

⊂

Ω

Correctness issues of boundary problems for the magnetic hydrodynamics model are 

viewed  in  given  paper.  Consider  the  boundary  value  problem  of  magnetic  hydrodynamics 

of  fluid  flow  in  the  vessel  of  finite  size,  the  walls  of  which  are  made  of  conductive  ideal 

materials. Liquid for given initial and boundary conditions is influenced by hydrodynamic 

and  electromagnetic  forces.  Existence  of  a  solution  of  the  boundary  value  problem  is 

investigated.

Consider strong solvability of a boundary value problem of magnetic hydrodynamics in 

a limited area 

2

R

∈

Ω

.

Keywords: magnetic hydrodynamics, boundary value problem, initial and boundary 

conditions.

Рассмотрим краевую задачу магнитной гидродинамики о движении жид-

кости в сосуде конечных размеров, стенки которого сделаны из идеальных про-

водящих материалов. Жидкость при заданных начальных и граничных услови-

ях  находится  под  воздействием  гидродинамических  и  электромагнитных  сил. 

Исcледовано существование этой краевой задачи.

Постановка  задачи  и  вспомогательные  соотношения.  Известно,  что  если 

проводящую  жидкость  поместить  в  магнитное  поле,  то  при  ее  движении  воз-

никают токи, создающие свое магнитное поле. Оно сложится с первоначальным 

полем и в свою очередь будет влиять на движение жидкости и ее электромагнит-

ное поле и т.д.

Возникает сложная картина взаимодействия электромагнитных и гидроди-

намических полей. Если жидкость несжимаемая и вязкая, а также изотропная и 

однородная, то в определенной системе единиц она описывается следующей не-

линейной системой уравнений [1]

 

(

)

,

2

1

2

2

1

2

1

f

H

p

grad

v

v

x

H

H

v

v

v

k

k

k

k

k

t

+











 +

−

=

∆

−

∂

∂

−

∇

⋅

+

∑

∑

=

=

µ

ρ

ρ

µ

 

(1)

 

,

0

=

v

div

  

(2)

 

E

rot

t

H =

∂

∂

−

µ

,  

(3)

 

[ ]

(

)

[ ]

0

0

1

1

,

,

,

j

rot

H

H

V

rot

t

H

j

H

V

E

H

rot

σ

σ

µ

µ

µ

σ

+

∆

=

−

∂

∂

+

+

=

  

(4)

Н. ҚАЙРАТКЫЗЫ, Э.М. МАГЗУМОВА. 2 (66) 2015. С. 26-34   

 

 

                ISSN 1683-1667 

28

Тоқсанына бір рет шығарылады

  

 

 

 

         

Шығыстың аймақтық хабаршысы

,

0

=

H

div

  

(5)

Здесь 

( )

t

x

V ,

 – скорость течения жидкости в точке 

(

)

3

2

1

,

,

x

x

x

x =

 во время 

t

, 

( ) ( )

t

x

E

t

x

H

,

,

,

 – векторы магнитной и электрической напряженностей,

( )

t

x

p ,

 – давление, 

( )

t

x

f ,

 – внешние гидродинамические силы,

( )

t

x

j ,

0

 – заданные токи, 

µ

 – магнитная проницаемость,

 

σ

 – проводимость, 

p

 – плотность, которая в дальнейшем для простоты равна единице,

υ

 – кинематическая вязкость жидкости.

Токами смещения (они пропорциональны 

i

E

) мы, как принято в магнитной 

гидродинамике, пренебрегли. Уравнения (1) и (2) должны выполняться в области 

1

Ω

, заполненной жидкостью, уравнения (3)-(5) – во всей области 

Ω

 где изуча-

ется электромагнитное поле, в том числе и в области 

1

Ω

. Наконец, если в нашу 

физическую систему входит диэлектрик или вакуум, заполняющий некоторую 

область 

(

)

Ω

⊂

Ω

Ω

2

2

 в пространстве 

,

3

R

x ∈

 то в ней, помимо (3)-(5), должно 

выполняться еще уравнение 

( )

x

E

div

ρ

π

4

−

=

 

, где 

( )

x

ρ

 – заданное распределе-

ние зарядов, или, в частности, 

0

=

E

div

, если зарядов нет [3]. Мы рассматриваем 

задачи на определение величин поля 

p

E

H

v

,

,

,

, если известны начальные со-

стояния системы

 

( )

( )

Ω

=

Ω

=

=

=

x

H

H

x

v

v

t

t

0

0

1

0

0

|

|

  

 (6)

и на границе заданы 

 

,

0

|

,

0

|

=

⋅

=

S

s

H

v

τ

  

(7)

где 

τ

 – касательный вектор к границе 

S

.

Задача сводится к нахождению вектор-функций 

p

E

H

v

,

,

,

, удовлетворяю-

щих  в  цилиндре 

[ ]

[ ]

(

)

T

t

x

T

Q

,

0

,

,

0

∈

Ω

∈

×

Ω

=

  системе  уравнений  (1)-(4)  и 

начально-граничным условиям (6)-(7) [2].

Мы будем рассматривать функции, принадлежащие определенным функ-

циональным пространствам; дадим определение этих пространств [1], [3].

Определение 1. Функция 

( )

x

p

 называется финитной в 

Ω

, если она равна 

нулю вне некоторой строго внутренней ограниченной подобласти 

Ω′

 области 

ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

29

Региональный вестник Востока

  

 

 

 

 

        

Выпускается ежеквартально

Ω

. Вектор-функция 

( )

x

u

 называется финитной в 

Ω

, если все ее компоненты 

являются функциями, финитными в 

Ω

. 

Определение 2. Пространством 

( )

Ω

2

L

 назовем гильбертово пространство 

вектор-функций, все компоненты которых квадратично суммируемы в 

Ω

; ска-

лярное произведение в нем равно

 

( )

,

,

vdx

u

v

u

∫

Ω

Ω

⋅

=

где

 

( ) ( )

∑

=

=

⋅

2

1

.

i

i

i

x

v

x

u

v

u

 

Индекс  «

Ω

»  в  обозначении  скалярного  произведения,  указывающий  на 

область определения векторов 

u

 и 

v

, мы будем опускать, если это не вызовет 

недоразумений.

Определение 3. Пространством 

( )

Ω

l

W

2

 назовем гильбертово пространство 

вектор-функций, все компоненты которых квадратично суммируемы в 

Ω

 и име-

ют квадратично суммируемые обобщенные производные до порядка 

;l

 скаляр-

ное произведение 

( )

Ω

l

W

2

 равно

 

( )

,

,

,

x

d

v

D

u

D

v

u

v

u

l

t

∫

∑

Ω

≤

Ω

















⋅

+

⋅

=

α

α

α

 

где 

α

D

 – оператор обобщенного дифференцирования порядка 

α

.

Определение  4.  Пространством 

( )

Ω

° ~

2

l

W

  назовем  подпространство  

( )

Ω

l

W

2

, являющееся замыканием в норме 

( )

Ω

l

W

2

 множества бесконечно диффе-

ренцируемых финитных в 

Ω

 векторов. 

Мы будем также пользоваться пространствами 

( )

,

,

,

2

2

2

°

Ω

l

l

W

W

L

 элементами 

которых являются скалярные функции; мы обозначаем их теми же символами, 

что и пространства, состоящие из вектор-функций. 

Область 

Ω

 – односвязная и ограниченная, a 

S

– ее граница.

Определение 5. 

( )

Ω

0

G

 есть подпространство 

( )

Ω

2

L

, состоящее из гради-

ентных векторов 

( )

x

p

grad

u =

, где 

( )

( )

Ω

∈

°

l

W

x

p

2

. Из определения 4 вытекает, 

что в 

( )

Ω

0

G

 плотны векторы 

( )

x

p

grad

u =

, где 

( )

x

p

 – бесконечно дифференци-

руемая финитная функция.

Определение 6. 

( )

Ω



J

 есть подпространство 

( )

Ω

2

L

, являющееся замыка-

Н. ҚАЙРАТКЫЗЫ, Э.М. МАГЗУМОВА. 2 (66) 2015. С. 26-34   

 

 

                ISSN 1683-1667 

30

Тоқсанына бір рет шығарылады

  

 

 

 

         

Шығыстың аймақтық хабаршысы

нием в норме 

( )

Ω

2

L

 непрерывно дифференцируемых соленоидальных векторов 

( )

x

u

 (т.е. векторов, удовлетворяющих условию 

( )

0

=

x

u

div

), у которых 

 

0

| =

S

n

u

,

где 

S

n

u |

 – нормальная составляющая вектора 

u

 на 

S

.

Определение 7. 

( )

Ω

U

 есть подпространство 

( )

Ω

2

L

, являющееся замыкани-

ем в норме 

( )

Ω

2

L

 непрерывно дифференцируемых внутри 

Ω

 векторов, гради-

ентных и соленоидальных одновременно. 

Определение 8. 

( )

( )

( )

.

0

Ω

⊕

Ω

=

Ω

U

G

G

 

Определение 9. 

( ) ( )

( )

.

Ω

⊕

Ω

=

Ω

U

J

J



Определение 10. 

( )

Ω

1

J

 есть подпространство 

( )

Ω

l

W

2

, состоящее из соле-

ноидальных векторов. 

Определение  11. 

( )

Ω

n

J

,

1



  есть  подпространство 

( )

Ω

l

W

2

,  являющееся  за-

мыканием в норме 

( )

Ω

l

W

2

 множества непрерывно дифференцируемых соленои-

дальных векторов, у которых

 

0

| =

S

n

u

.

Определение  12. 

( )

Ω

τ

,

1



J

  есть  подпространство 

( )

Ω

l

W

2

,  являющееся  за-

мыканием в норме 

( )

Ω

l

W

2

 множества непрерывно дифференцируемых соленои-

дальных векторов, у которых 

 

0

| =

S

u

τ

,

где 

n

u

n

u

u

−

=

τ

 есть тангенциальная составляющая вектора 

u

 на 

S

.

Определение 13. 

( )

Ω

1



J

 есть подпространство 

( )

Ω

°

l

W

2

, состоящее из со-

леноидальных векторов. 

Определение  14. 

( )

Ω

•

1

J

  есть  множество  бесконечно  дифференцируемых 

соленоидальных векторов, финитных в 

Ω

. 

Известны следующие теоремы. 

Теорема 1. 

[ ] ( )

( )

( )

( )

Ω

⊕

Ω

⊕

Ω

=

Ω

U

J

G

L



0

2

0

1

 

. 

 

( ) ( )

( )

Ω

⊕

Ω

=

Ω

G

J

L



2

,

где 

( )

Ω



J

  –  замыкание  в  норме 

( )

Ω

2

L

  множества  гладких  фифнитных  в 

Ω

 

векторов 

( )

x

u

,  дивергенция  которых  равна  нулю,  а 

( )

Ω

G

  –  подпространство  

( )

Ω

2

L

, состоящее из 













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

=

∇

3

2

1

,

,

x

x

x

grad

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

; 

ϕ

 – однозначная функция 

ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

31

Региональный вестник Востока

  

 

 

 

 

        

Выпускается ежеквартально

класса 

( )

Ω

1

2

W

. Отметим, что каждая конкретная функция 

( ) ( )

( )

x

p

x

u

x

v

∇

+

=

 раз-

лагается на соленоидальную 

( ) ( )

Ω

∈



J

x

u

 и гардиентную 

( ) ( )

Ω

∈

∇

G

x

p

. В самом 

деле, если 

( ) ( )

x

u

x

v ,

 и 

( )

x

p

 гладкие функции, то взяв 

div

 от обеих частей равен-

ства 

 

( ) ( )

( )

x

p

x

u

x

v

∇

+

=

получим

 

( )

x

v

div

p =

∇

,

 

( )

S

S

n

v

n

p

|

|

⋅

=

∂

∂

.

Теорема 2. Множество

( )

Ω

•

J

 плотно в 

( )

Ω



J

.

Теорема 3. Если граница гладкая, то множество векторов из 

( )

Ω

τ

,

1

j

 плотно 

в 

( )

Ω

j

. 

В дальнейшем будем считать границу S дважды непрерывно дифференци-

руемой.

Теорема  4.  Всякий  вектор 

( )

Ω

∈

j

φ

  однозначно  представим  в  виде  

ξ

φ

rot

=

,

где 

( )

Ω

∈

τ

ξ

,

1

j

 имеет место неравенство 

 

.

2

1

1

φ

ξ

φ

C

C

≤

≤

Теорема  5.  Всякий  вектор 

( )

Ω

∈

J

j

  одназначно  представим  в  виде 

,

φ

rot

j =

где 

( )

Ω

∈

n

j

,

1

φ

 имеет место неравенство 

 

.

4

1

3

j

C

j

C

≤

≤

φ

H

div

H

rot

rot

H

∇

+

−

=

∆

 имеем 

 

[ ]

0

1

1

1

,

j

rot

H

H

v

rot

H

σ

σ

µ

µ

+

∆

=

−

.  

(8)

Cистему уравнений (1)-(2), (5), (8) с начально-краевыми условиями (6)-(7) 

назовем задачей 1. 

Н. ҚАЙРАТКЫЗЫ, Э.М. МАГЗУМОВА. 2 (66) 2015. С. 26-34   

 

 

                ISSN 1683-1667 

32

Тоқсанына бір рет шығарылады

  

 

 

 

         

Шығыстың аймақтық хабаршысы

В  этой  части  изучается  теорема  существования  сильно-обобщенного  и 

сильного решения задачи 1 когда 

2

R

⊂

Ω

. Доказывается теорема существования 

и  единственности  сильно-обобщенного  и  сильного  решения  в  случае  плоско-

параллельного течения.

В этой статье я рассмотриваю двумерные задачи магнитной гидродинами-

ки. Под двумерными мы будем понимать такие задачи, в которых векторы 

v

 и 

H

 имеют в качестве 

3

x

составляющих нуль и, кроме того, все данные задачи и 

искомые величины зависят от 

3

x

. В этом случае 













∂

∂

−

∂

∂

=

2

1

1

2

x

H

x

H

k

H

rot

 и из урав-

нения (5) вытекает, что ток 

[ ]

(

)

0

,

j

H

v

E

j

+

+

=

µ

σ

 

должен быть направлен по 

оси 

3

x

. Будем считать, что уравнения (1)-(4) имеют вид

 

,

2

1

2

2

1

2

1

f

H

p

grad

v

x

H

H

x

v

v

t

v

k

k

k

k

k

k

+











 +

−

=

∆

−

∂

∂

−

∂

∂

+

∂

∂

∑

∑

=

=

µ

ρ

ν

ρ

µ

  

(9)

 

,

0

2

2

1

1

=

∂

∂

+

∂

∂

=

x

v

x

v

v

div

  

(10)

 

1

2

2

,

x

E

t

H

x

E

t

H

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

−

µ

µ

,  

(11)

 

,

0

=

H

div

  

(12)

 

(

)

[

]

0

1

2

2

1

2

1

1

2

j

H

v

H

v

E

x

H

x

H

+

−

+

=

∂

∂

−

∂

∂

µ

σ

,  

(13)

Векторы 

v

 и 

H

 по-прежнему будут удовлетворять граничным условим

 

( )

( )

,

,

|

,

|

0

0

0

0

Ω

∈

=

=

=

=

x

x

H

H

x

v

v

t

t

  

(14)

 

[ ]

.

,

0

,

0

|

,

0

|

T

t

H

v

S

S

∈

=

⋅

=

τ

 

  

(15)

Находим 

E

τ

из (13), подставим в (11), получим 

 

(

)

,

0

1

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

1

j

x

H

v

H

v

x

x

H

x

H

x

t

H

∂

∂

+

−

∂

∂

+













∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

µ

µ

σ

 

  

(16)

ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

33

Региональный вестник Востока

  

 

 

 

 

        

Выпускается ежеквартально

 

(

)

,

0

2

1

2

2

1

1

2

1

1

2

1

2

j

x

H

v

H

v

x

x

H

x

H

x

t

H

∂

∂

+

−

∂

∂

−













∂

∂

−

∂

∂

∂

∂

−

=

∂

∂

µ

µ

σ

 

  

(17)

С учетом того, что 

0

=

H

div

 перепишем (16), (17) в виде

 

(

)

,

0

2

1

2

2

1

2

1

1

j

x

H

v

H

v

x

H

t

H

∂

∂

+

−

∂

∂

+

∆

=

∂

∂

µ

µ

σ

 

  

(18)

 

(

)

,

0

1

1

2

2

1

1

2

2

j

x

H

v

H

v

x

H

t

H

∂

∂

+

−

∂

∂

−

∆

=

∂

∂

µ

µ

σ

 

  

(19)

 

Системы  уравнений  (9)-(11),  (18)-(19)  с  начально-краевыми  условиями 

(14), (15) будем называть задачей 2. Для простоты изложения возьмем 

µ

ρ

σ ,

,

 

равными единице.

Теорема 

1. 

Пусть 

( )

(

)

( )













Ω

∈

Ω

∈

−



1

2

2

2

0

;

,

0

,

;

,

0

J

T

L

f

L

T

L

f

t

t

, 

( ) ( )

( )

Ω

∈

2

2

,

0

,

,

0

W

x

H

x

v

. Тогда существует единственное сильно-обобщенное ре-

шение задачи 2. 

H

v,

 являются сильно-обобщенным решением задачи 2.

Теорема  2.  Пусть  выполнены  условия 

( )

(

)

Ω

∈

2

2

;

,

0

L

T

L

f

, 

( )

Ω

∈



1

0

J

v

, 

( )

(

)

( )

( )

2

2

1

0

2

2

0

,

,

,

;

,

0

R

C

S

H

x

H

L

T

L

j

rot

∈

Ω

∈

Ω

∈

Ω

∈



.  Тогда  существует  силь-

ное решение задачи 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Решение некоторых нестанционарных за-

дач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская, 

В.А. Солонников. – Тр.МИАН СССР. – T.LIX, 1960. – C. 115-173.

2.  Быховский  Э.Б.,  Смирнов  Н.В.  Об  ортогональном  разложений  пространства 

вектор-функций,  квадратично  суммируемых  по  заданной  области,  и  операторах  век-

торного анализа / Э.Б. Быховский, Н.В. Смирнов. – Тр.МИАН СССР. – T.LIX, 1960. – 

C. 5-36.

3.  Ладыженская  О.А.  Математические  вопросы  динамики  вязкой  несжимаемой 

жидкости / О.А. Ладыженская. – М.: Наука, 1970. – 288 с.

4. Антонцев С.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей / С.Н. Ан-

тонцев, А.В. Кажихов, В.Н. Монахов. – Новосибирск: Наука, 1983. – 318 с.

5. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Ли-

онс. – М.: Наука, 1972. – 587 с.

6.  Ладыженская  О.А.  Смешанная  задача  для  гиперболического  уравнения  / 

Н. ҚАЙРАТКЫЗЫ, Э.М. МАГЗУМОВА. 2 (66) 2015. С. 26-34   

 

 

                ISSN 1683-1667 

34

Тоқсанына бір рет шығарылады

  

 

 

 

         

Шығыстың аймақтық хабаршысы

О.А. Ладыженская. – М.: Гостехиздат, 1953. 

7. Ладыженская О.А. О решении стационарных операторных уравнений различ-

ных типов / О.А. Ладыженская. – ДАН СССР, 102. – №2 (1955). – 207-210; Мат. сб., 39 

(81). – №4 (1956), 491-552. 

8. Киселев А.А., Ладыженская О.А. О существовании и единственности решения 

для нестационарной задачи вязкой несжимаемой жидкости / А.А. Киселев, О.А. Лады-

женская. – Изв. АН СССР, Сер. математ., 21, №5 (1957), 655-680. 

9.  Ладыженская  О.А.  Решение  в  целом  краевой  задачи  для  уравнений  Навье-

Стокса в случае двух пространственных переменных / О.А. Ладыженская. – ДАН СССР. 

– Т. 123. – №3 (1958). – С. 427-429.

10. Ладыженская О.А. О решении общей задачи дифракции / О.А. Ладыженская. 

– ДАН СССР, 96. – №3 (1954). – С. 433-436. 

11. Ладыженская О.А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными 

производными / О.А. Ладыженская. – УМН, XII, 5 (77) (1957). – С. 123-148.

REFERENCES

1. Ladyzhenskaja O.A., Solonnikov V.A., Reshenie nekotoryh nestancionarnyh zadach 

magnitnoj gidrodinamiki dlja vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti. Tr.MIAN SSSR. T. LIX. 1960. 

115-173 (in Russ).

2. Byhovskij Je.B., Smirnov N.V., Ob ortogonol'nom razlozhenij prostranstva vektor-

funkcij, kvadratichno summiruemyh po zadannoj oblasti, i operatorah vektornogo analiza. 

Tr.MIAN SSSR. T.LIX. 1960. 5, 36 (in Russ).

3.  Ladyzhenskaja  O.A.,  Matematicheskie  voprosy  dinamiki  vjazkoj  neszhimaemoj 

zhidkosti. Nauka, 1970, 288 (in Russ).

4.  Antoncev  S.N.,  Kazhihov  A.V.,  Monahov  V.N.,  Kraevye  zadachi  mehaniki 

neodnorodnyh zhidkostej. Novosibirsk, Nauka, 1983, 318 (in Russ).

5. Lions Zh.-L., Nekotorye metody reshenija nelinejnyh kraevyh zadach. Nauka, 1972, 

587 (in Russ).

6. Ladyzhenskaja O.A., Smeshannaja zadacha dlja giperbolicheskogo uravnenija. Gos-

tehizdat, M., 1953 (in Russ).

7. Ladyzhenskaja O.A., O reshenii stacionarnyh operatornyh uravnenij razlichnyh ti-

pov. DAN SSSR, 102, 2, 1955, 207, 210, Mat. sb., 39, 81, 4, 1956, 491, 552 (in Russ).

8. Kiselev A.A., Ladyzhenskaja O.A., O sushhestvovanii i edinstvennosti reshenija dlja 

nestacionarnoj zadachi vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti. Izv. AN SSSR, Ser. matemat., 21, 5, 

1957, 655, 680 (in Russ).

9. Ladyzhenskaja O.A., Reshenie v celom kraevoj zadachi dlja uravnenij Nav’e Stoksa v 

sluchae dvuh prostranstvennyh peremennyh. DAN SSSR. T. 123, 3, 1958, 427, 429 (in Russ).

10.  Ladyzhenskaja O.A., O reshenii obshhej zadachi difrakcii. DAN SSSR, 96, 3, 1954, 

433, 436 (in Russ).

11.  Ladyzhenskaja  O.A.,  Metod  konechnyh  raznostej  v  teorii  uravnenij  s  chastnymi 

proizvodnymi. UMN, XII, 5, 77, 1957, 123, 148 (in Russ).

ТЕХНИКА, ТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

35

Региональный вестник Востока

  

 

 

 

 

        

Выпускается ежеквартально

ӘОЖ 37.091.3

жүктеу/скачать 13,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: