§ 5. Гук заңы жəне күштер əсерінің тəуелсіздігі

20
2
2
2
A
x
C
P
δ =
⋅
                                             (1.8)
Р
1
 жəне Р
2
 күштері жүйенің əр нүктесіне түскендіктен С
х1 
мен С
х2
 
өзара тең болмауы айтпай-ақ түсінікті.
Енді  осы  екі  күш ( Р
1,
  Р
2 
)  жүйеге  бір  уақытта  əрекет  етсін.  Ол 
үшін, алдымен Р
1 
күшін түсіреміз де, онан кейін Р
2 
күшін түсіреміз. 
Ол кезде орын ауыстыру былайша табылады:
1
1
1
A
x
C
P
δ =
⋅
+
/
2
2
x
C
P
⋅
                                 (1.9)
С
х1 
коэффициентін 7-ші  формуладағыдай  етіп  жазған  себебіміз, 
Р
1
 күші жүйеге бірінші болып түсіп тұр. Екінші коэффициентті 
/
2
x
C
деп белгілеуіміздің себебі, Р
2
 күші бос жүйеге емес, Р
1 
күші əрекет 
етіп  тұрған  жүйеге  түсіп  тұр.  Сондықтан,  əзірге 
2 
/
2
  деп 
қарауымыз керек. Ал енді осы тұжырымға басқа тұрғыдан қарайық. 
С
х2
 коэффициенті 
/
2
 
 өзара тең болмаса, онда С
х2
 коэффициенті Р
1
 
күшіне бағынышты деген сөз. Олай болса, орын ауыстыру мен күш 
арасындағы сызықтық қатынас жоққа шығар еді. Сондықтан, 
/
2
 
 
коэффициенті күшке бағынышты емес деп тағы да тұжырымдаймыз. 
Бұл  сұраққа  енді  басқа  тұрғыдан  қарайық.  Егер  Р
1 
күшін  жоқ  деп 
қарасақ, яғыни, Р
1
=0, онда (1.9) қатынасы (1.7) қатынасына айналуы 
керек, яғни:
                                            
2
1
/
0
A
P
δ
δ
Α
=
=
                             (1.10)
Сондықтан                          
2 
=
/
2
 
                                          (1.11)
Олай болатын болса         
x
C P
δ
Α
=
⋅
+
2
2
x
C
P
⋅
                      (1.12)
Сонымен, жүйедегі толық орын ауыстыру əр күштен пайда бола-
тын орын ауыстырулардың қосындысына тең болады. Осы тұжырым 
ішкі күштерді, кернеулерді анықтағанда да қолданылады.
Қазіргі кезде Гук заңына жаңаша мəн беріліп, оны күш пен орын 
ауыстырудың  арасындағы  ғана  емес,  кернеу  мен  деформацияның 
арасындағы пропорционалдық қатынас деп қарастырылады, яғни
            
i
i
.  
                                 (1.13)

21 
Осыған байланысты С
і
 пропорционалдық коэффициентін бұдан 
былай  материалдардың  физикалық  тұрақтылығы  (константы)  деп 
түсінеміз.  Сондықтан  бұл  тұрақтылық  (С
і
)  жүйенің  геометриялық 
ерекшеліктеріне тəуелді емес деп тұжырымдаймыз.
§6. Беріктіктің негізгі есептерін шығару жоспары.
Конструкцияны, оның бөлшектері мен элементтерін жобалағанда, 
инженердің алдына қоятын негізгі мақсаты: конструкцияның өзі де, 
оның бөлшектері мен элементтері де сыртқы күштердің əрекетінен 
қирамайтындай  берік  болуын  жəне  олардың  геометриялық  пішіні 
мен өлшемдерінiң қайырылмастай өзгерiс алмауларын қамтамасыз 
ету; сонымен қатар, олардың геометриялық пішіні мен өлшемдерінiң 
шамаларын  тағайындау,  конструкцияның  қандай  материалдар-
дан жасалса тиiмдi болатынын анықтау.  Ал, бұл мақсат орындалу 
үшін  инженер  қандай  факторды  негіз  етіп  алу  керек?  Беріктік  пен 
қайырылмас  геометриялық  өзгерiстер    неге  байланысты,  неден 
бағынышты?  Міне осыларды жете түсініп, жобалау кезінде оларды 
саналы түрде тиімді пайдалана білу керек.  
Беріктік 
пен 
элементтердiң 
қайырылмас 
геометриялық 
өзгерiстерi,  көбінесе,  кернеу  мен  деформация  ұғымдарына  байла-
нысты екенін, мол тəжірибе мен көптеген зерттеулер көрсетіп отыр. 
Сондықтан,  конструкцияның  бөлшектерінде  пайда  болатын  керне-
улер  мен  деформаацияларды  шектеп,  олардың  қауіпті  жердегі  ең 
үлкен мəнi, материалдар iстен шығатын (сынатын) шамадан төмен 
болуын  қамтамасыз  ету  жеткілікті  деп  саналады.  Бұл  тұжырым 
беріктік шарты деп аталады. Енді осы айтылғандарға байланысты, 
берiктiк iлiмінің негізгі есептерінінің шығару жоспарын жасауға бо-
лады. Ол жоспарды қысқаша тұжырымдасақ:
1.  Жобаланып  отырған  конструкцияға  əрекет  ететін  сыртқы 
күштердің  саны  мен  сапасын  анықтау  керек. Iшкi  күштердi, 
кернеулердi табу керек.
2. Күштердің (сыртқы, iшкi) жəне конструкцияның ерекшеліктерін 
ескере  отырып,  бөлшектер  мен  элементтердің  қандай  материалдан 
жасалу керектігін анықтап жəне осы материалдың шектеу кернеуін 
тағайындау керек.
3. Қауіпті қимадағы кернеудің ең үлкен шамасын, бөлшектердің 
немесе элементтердің геометриялық өлшемдері арқылы өрнектеу 
керек.
4.  Беріктік  шартын  пайдаланып,  бөлшектердің  (элементтердің) 

22
көлденең  қимасының  өлшемдерін  есептеп  табу  керек  немесе 
тағайындалған өлшемдердің жеткілікті екенін анықтау керек.
Тұжырымдалған «беріктік шартын» дұрыс жəне нəтижелі қолдану 
үшін, кейбір конструкцияның беріктігі, оның белгілі бір элементінің 
беріктігінен жоғары болып келетінін, яғни оның жекеленген элементі 
істен шығып қалғанына қарамай, өзінің негізгі функциясын атқара 
беретінін есте ұстау керек. Мұндай кезде материалдардың беріктік 
шартының  орнына    «конструкцияның  беріктік  шарты»  деген  ұғым 
кіргізіледі.  Бұл  жерде  берiктiк  iлiмінің  есептерін  шешу  жолдары 
қысқаша келтіріліп отыр. Ал, бұл есептердің «қыры мен сыры» өте 
көп, олар берiктiк iлiмiнiң сəйкес тарауларында қарастырылады.
 

23 
2-тарау. ТҮЗУ СЫРЫҚТЫҢ СОЗЫЛУЫ ЖƏНЕ 
СЫҒЫЛУЫ
Кіріспенің 2-ші параграфында элементтің қимасында алты ішкі 
күштердің (N, Q
x
, Q
y
, M
b
, M
x
, M
y
) пайда болуы ықтимал екені толық 
көрсетілген.  Ал,  сол  ішкі  күштердің  əр  уақытта  бəрі  бірдей  пайда 
бола  бермейтіні  тəжірибеден  анық  көрінетіні  де  айтылған  бола-
тын.  Шынында  да,  егер  бір  қимада  екі-үш,  тіпті  одан  да  көп  ішкі 
күштер  болса,  басқа  қимада  бір-ақ  ішкі  күш  болуы  мүмкін.  Осы 
ішкі  күштердің  қаншасының  элемент  қимасында  пайда  болуына 
байланысты деформацияның түрі əрқилы болып келеді. Сондықтан, 
элементті есептеу жолдары да əр түрлі. Есептерді шығару ыңғайлы 
болу  үшін,  элементтердің  қимасындағы  ішкі  күштердің  сандары-
на  жəне  оларды  анықтау  жолдарына  байланысты,  материалдардың 
кедергісіндегі  есептер  бірнеше  топқа  бөлінеді.  Солардың  бірінші 
тобы – осы тарауда қаралатын созылу жəне сығылу.
Сонымен,  сыртқы  күштердің  əрекетінен  элементтердің 
қимасында  тек  қана  бойлық  күш (N)  пайда  болатын 
деформацияның түрін созылу немесе сығылу деп атайды.
§1. Созылудағы жəне сығылудағы кернеулер 
Белгілі  бір  Р  күшінiң  əрекетiнен  созылып,  теңдік  күйде  тұрған 
сырықтың бір бөлігін алып қарайық (18-сурет). Сырық теңдік күйде 
тұрғандықтан, қаралып отырған бөліктің де теңдiк күйде болатыны 
айтпаса да белгілі. Сондықтан бойлық күш қимадағы ішкі күштердің 
жиынтығына тең болады.
Енді  осы  қимадан  элементар  аудан 
d
-ны  бөліп  алайық.  Ол 
аудандағы элементар ішкі күштің (dN) өлшемін 
σ
 кернеуі арқылы 
өрнектеп, былай жазуға болады: 
dN
d
      
                           (2.1)
Бұл теңдiктен iшкi күштi тапсақ
   
N
d
.  
                                 (2.2)   

24
18-сурет
          Интеграл  түрінде  алынған  теңдiктiң (2) шешімі  сансыз  көп 
екеніне күмəн жоқ. Осыған байланысты, бұл интегралды алу үшін 
тік кернеудің (
σ
) қима бетіндегі таралу заңы белгілі болса болғаны, 
ал ондай заңдылықтың мөлшерсіз көп екені де белгілі.
Мысалы, кернеудің қима ауданындағы таралуының бірнеше түрін 
ғана көрсетейік (19-сурет). 
Осындай  көп  шешімдердің  қайсысы,  қаралып  отырған (2.2) 
интегралдың  шешуі  болатынын  білу  үшін,  эксперимент  арқылы 
зерттеу жүргізу керек болады.
 
19-сурет
Бір    шеті  қатаң  бекітілген,  екіншісі  бос  сырықты  алайық.  Осы 
сырықтың екі шетінен едəуір қашықтықта, оның осіне перпендику-
ляр жəне бiр-бiріне параллель бiрнеше сызықтар (аа, вв,сс) жүргізейiк 
(20,а-сурет). Енді сырықтың оң жақтағы шеткі қимасының центріне 
түсіп тұрған күш арқылы оны созайық. Бұл кезде, жаңағы жүргізген 
сызықтардың аралары ашылып, оңға қарай жылжиды (а’а, в’в’, с’с’), 
жəне  олар  сырықтың  осіне  перпендикуляр  жəне  өзара  параллель 
күйінде қалатынын эксперимент көрсетеді (20,б-сурет). Сондықтан, 

25 
бұл  жүргізілген  сызықтың,  шындап  келгенде,  қималардың  ізі 
екенін  еске  алсақ,  мынадай  тұжырым  жасауға  болады:  сырықтың 
деформацияға дейінгі оське перпендикуляр жəне өзара параллель 
болып келетін жазық қималары, күш əрекет еткен кезде де, өзара 
перпендикуляр, өзара параллель жəне сол жазық күйінде қалады.
 
20-сурет
Бұл тұжырым жазық қималар гипотезасы немесе Бернулли ги-
потезасы деп аталады.
Осы  гипотезаға  сүйене  отырып,  жоғарыда  көрсетілген (2.2) 
интегралдың  бір  ғана  шешімi  болатынын,  ол  шешiм  бойынша 
σ
=const  екеніне көзіміз жетеді. Олай болса кернеу интегралдың асты-
нан шығады да, қалған интеграл қиманың ауданын бередi. Демек:
N
A
σ
=
.                                               (2.3)
 
§2. Ұзару жəне сығылу үшін Гук заңы
Күштердің  əсерінен  сырықтың  геометриялық  өлшемдерінің 
өзгеретіні  белгілі.  Егер  сырықтың  күш  əрекет  еткенге  дейінгі 
ұзындығы 
l
 болса, күштің əсерінен оның ұзындығы 
l
l
+ Δ
 болып 
өзгереді (21,а-сурет).  Бұл  жердегі 
l
Δ
  шамасы - сырықтың  толық 
(абсолют)  ұзаруы  немесе  қысқаруы.  Енді  S  жəне  S
1
  қималарының 
арасындағы  элементар  ұзындықты  АВ  деп  белгілейік.  Оның 
ұзаруын 
( )
dz
Δ
 деп алып, олардың қатынасын ε əрпімен таңбалайық 
(21,б-сурет). Сонда:
( )
dz
dz
ε
Δ
=
                                            (2.4)
Бұл  шама  (ε)  сырықтың  салыстырмалы  ұзаруы  немесе  бойлық 
деформация деп аталады. Созылу жəне сығылу механизмі Бернулли 

26
заңына бағынатын болғандықтан, бойлық деформацияны төмендегі 
формуламен де табуға болады.
ε Δ
= l
l
                                               (2.5)    
21-сурет
Созылу мен сығылу деформацияларына да Гук заңын қолдануға 
болады. Ал бұл заңға келесідей анықтама беруге болады.
Серпімділік  шеңберінде  материалдардың  басым  көпшілігінің 
кернеулері  деформацияларымен  пропорционалдық  қатынаста 
болады, яғни
E
σ
ε
= ⋅
.                                        (2.6)
Бұл формуладағы пропорционалдық коэффициенті Е - серпімділік 
модулінің  бірінші  түрі  деп  аталады.  Ол  материалдардың  негізгі 
сипаттамаларының  бірі  болып  табылады  (физикада  бұл    шаманы 
Юнг модулі деп атайды). 
Соңғы  формуладағы  кернеудің  орнына  (2.3)  өрнекті,  ал  бойлық 
деформацияның орнына (2.4) өрнекті қойғанда
dz
N
E
dz
 
бұдан  
( )
dz
Δ
 табайық
N dz
dz
E
. 
.
Алынған теңдіктің екі жағында 
l
 бойынша интегралдап, толық 
ұзаруды табамыз. Ол ұзару:

27 
l
N dz
E
.  
.                        (2.7)
Тəжірибеде  қаралатын  есептердің  басым  көпшілігінде  əр 
алаптағы бойлық күш тұрақты болып келеді. Сонымен қатар, алап-
тар бір материалдан жасалып, олардың аудандары (А) тұрақты бол-
са, соңғы формула төмендегідей болады.
N
E
.   
                                (2.8)
ЕА - сырықтың (созылудағы немесе сығылудағы) қатаңдығы деп 
аталады. 
Кейбір кезде, тек сыртқы күштің əсерінен ғана емес, температу-
ра əсерінен ұзаруды табу керек болады. Бұл кезде элементтің толық 
ұзаруын,  осы  екі  əсерден  пайда  болған  ұзарулардың  қосындысы 
ретінде қарастыруға болады. Мысалы, физика пəнінен белгілі фор-
муланы алайық:
0
t
  
                                (2.9)
α
 - заттың температуралық ұзаруының коэффициенті;
0
t
Δ
- температураның өзгеру шамасы.
Бұл  формула  бойынша  қарастырылып  отырған  элементтің  тем-
пература əсерінен ұзаруын табамыз. Ал енді температура əсерінде 
тұрған элементке сыртқы күш əсер етсе, онда оның ұзаруы төмендегі 
формула арқылы табылады.
(2.10)
                                  
0
N
t
E
 
§3.  Көлденең деформация. Пуассон коэффициенті
Созылғанда,  не  сығылғанда  сырықтың  тек  ұзындығы  ғана 
өзгермейдi, онымен қоса олардың көлденең өлшемдері де өзгереді: 
Мысалы, сырық созылса жіңішкереді (22,а-сурет), ал сығылса - жу-
андайды (22,б-сурет).

28
 
22-сурет      
Өткен параграфта 
/
ε
= Δl l
 қатынасын бойлық деформация деп 
атағанбыз.
  Ендi  сырықтың  көлденеңiнiң  өзгеруiн 
1
a a
a
Δ = −
деп  алып, 
a
a
Δ
қатынасын  көлденең  деформация  деп  атаймыз  да 
ε
′
  əрпiмен 
белгiлеймiз. Демек:
.   
                                      (2.11)
Көлденең  деформацияның  бойлық  деформацияға  қатынасының 
абсолют  шамасы  көлденең  деформацияның  коэффициентi  немесе 
Пуассон коэффициентi деп аталады.
ε
μ
ε
′
=
.                                         (2.12)
Пуассон коэффициентi де (
μ
) серпiмдiлiк модулiнiң бiрiншi түрi 
(Е)  секiлдi,  материалдардың  ерекшелiктерiн  көрсететiн  тағы  бiр 
тұрақты шама
 материалдың сипаттамасы болып табылады.
Көлденең деформацияның коэффициентiнiң көмегiмен, созылған 
немесе сығылған заттардың көлемiнiң өзгеруiн табуға болады.
Сырықтың  ұзындығы  l,  ал  оның  ауданы 
2
k a
 
  болсын. 
Бұл  жердегi 
 
kөлденең  қиманың  геометриялық  ерекшелiктерiне 
бағынышты коэффициент. Мысалы, көлденең  қима төртбұрыш бол-
са  (өлшемдерi «а»  жəне  «в»),  онда  k=a/в;  көлденең  қима  диаметрi 
d-ға тең дөңгелек болса, онда k = p/4.
Сырықтың    деформацияға  дейiнгi  көлемi 
2
V
k a
= ⋅ ⋅l
  бол-
сын. Деформация  кезiнде  сырықтың  ұзындығы
1
= + Δ
l
l
l
,  ал  ау-
даны 
2
1
(
)
k a
 
болып  өзгерсiн.  Ендi  оның  көлемi 

29 
2
1
(
)(
)
V
k l
l a
a
=
+ Δ
+ Δ
  болады.  Көлемiнiң  салыстырмалы  өзгеруiн 
V
Δ
 деп белгiлесек, онда
1
V V
V
V
−
Δ =
.
Соңғы формуланы түрлендiрейiк
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1
(1
)
(1
)(1
)
1
(
)(
)
l
a
kl
a
ka l
kla
k l
l a
a
ka l
l
a
V
ka l
ka l
kla
 
ε
′
-тiң орнына  
με
-дi қоямыз. Содан кейiн:
2
(1
)(1
)
1
V
ε
με
Δ = +
−
−
.
Жақшаны  ашып, 
ε
  аз  шама  болғандықтан,  оның  квадраттары 
мен кубiн абсолют аз шама ретiнде ескерусiз қалдырсақ:
(1 2 )
V
ε
μ
Δ =
−
                                   (2.13)
Тəжiрибенiң  көрсетуiнен  сырықтар  созылғанда  оның  көлемi 
көбейiп,  сығылғанда  көлемiнiң  азаятынын  бiлемiз.  Сондықтан 
барлық дерлiк заттардың көлденең деформациясының коэффициентi 
0,5  санынан  кем  болуы  керек (m<0,5). Өйткенi, m=0,5 болса - 
соңғы формула бойынша, деформация кезiнде материалдың көлемi 
өзгермеу керек. Ондай материалдар жоқтың қасы. Тек каучук тектес 
заттардың коэффициентi 0,5 санына жақындау.
§4. Сырықтың өз салмағының созылу мен сығылуға əсері
Сырықтардың созылуын  жəне сығылуын зерттеп, олардың iшкi 
күштерiн,  кернеулерiн  жəне  деформациясы  мен  орын  ауыстырула-
рын тапқан кезде, бiз сырықтың өз салмағын ескермеген едiк. Ендi 
осы салмақтың созылуға немесе сығылуға əсерi қаншалықты екенiн 
анықтайық.
Жоғарғы шетi қатаң бекiтiлген сырықтың ұзындығы l, ауданы А, 
қатаңдығы EА болсын (23,а-сурет). Материалдың меншiктi салмағы 
g болсын.
Сырықтың  iшкi  күштерiн N, кернеулерiн s жəне  қималарының 
орын ауыстыруын d тауып, олардың эпюраларын тұрғызайық. 
Қималар  тəсiлi  бойынша,  сырықтың  төменгi,  бос  шетiнен z 
қашықтықтан, ойша тiлiп, оны екiге бөлемiз. Жоғарғы бөлiгiн алып 
тастап, оның қалған бөлiкке əсерiн N күшi арқылы өрнектеймiз. Бұл 

30
кезде ұзындығы z-ке тең төменгi бөлiктiң салмағы 
z
-
-ке тең бо-
лады (23,б-суретi).
23-сурет   
     
Қарастырылып  отырған  төменгі  бөлiктiң  статикалық  теңдiгiн 
ескерiп, статиканың теңдеуiн құрамыз.
0
0
z
A z
N
A z
γ
γ
=
⇒
⋅ ⋅ =
⇒
= ⋅ ⋅
∑
                        (2.14)
Бойлық күштiң (N) эпюрасы 23,в-суретте көрсетiлген. Эпюраның 
бұлай  болуының  себебi:  бойлық  күштiң  сырықтың  бойымен  тара-
луы, табылған формула бойынша, сызықтық функция. Сондықтан, 
z=0 болғанда N=0; ал z=l болғанда 
N
A l
γ
= ⋅ ⋅
.
Ендi кернеудi табамыз. Формула бойынша:
z
z
     
                                (2.15)
Бұл функция да сызықтық болғандықтан, оның эпюрасы бойлық 
күштiң эпюрасына ұқсас, ең үлкен кернеу 
l
γ ⋅
-ге тең, ол сырықтың 
қатаң бекiтiлген қимасында пайда болады (23,г-сурет). Қималардың 
орын  ауыстыруын  табу  үшiн,  сырықтың  элементар  d     бөлiгiнiң 
ұзаруын  табамыз.  Осы  элементар  бөлiкке  əсер  етушi  күш 
A z
γ ⋅ ⋅
   
шамасына тең  (23,а-сурет). Белгiлi формуланы пайдаланып келесі 
өрнекті аламыз 
d
d
E
. 

31 
Теңдiктiң  екi  жағын  да  l  бойынша  интегралдасақ,  сол  жақтан 
толық  орын  ауыстыру – d шығады.  Оң  жақты,  əзiрше,  интеграл 
түрiнде қалдырамыз.
d
E
            
                    (2.16)
Орын  ауыстырудың  жалпылама  түрiн  алу  үшiн,  интегралдың 
төменгi шегiн z деп аламыз. Сонда
(
)
2
z
z
A d
EA
E
γ ξ ξ
γ
δ
Ζ
⋅
⋅
=
=
− Ζ
∫
l
l
Сонымен,  қималардың  орын  ауыстыру  заңы  квадраттық  функ-
ция  арқылы  өрнектеледi.  Сырықтың  төменгi  қимасы  (z=0)  ең  көп 
қашықтыққа жылжиды.
2
max
2E
γ
δ
⋅
=
l
.                                  (2.17)
Орын ауыстырудың эпюрасы 23,д-суретінде көрсетiлген.

жүктеу/скачать 4,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: