Бақытжан Күшібарұлы

Бақытжан Күшібарұлы 

http://kushibaruly.kz 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА 

Модуль және 

модульдік теңдеулер 

шешу 

2015 

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 2 бет 

 

Модуль және модульдік теңдеулер шешу 

Орта мектеп бағдарламасында, меніңше, жүйелі қарастырылмайтын тақырыптың 

бірі – санның модулі және модульдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу. Сондықтан, 

осы  тақырыптың  есептерін  шығаруда,  оқушы  былай  тұрсын,  математика 

мұғалімдерінің  көбі  тұқырықтап,  кәдімгідей  қиналады.  Бұл  мақаланың  мақсаты  сол 

қиындықтарды түбегейлі жою. 

Модуль деген не? 

Модуль  -  латынның  «modulus»  сөзінен,  ол  «өлшем»  немесе  «шама»  деген 

мағынаны  білдіреді.  Көбіне  бұл  атау  ерекше  маңызды  коэффициенттерге  не 

шамаларға беріледі. 

Ал енді санның модулі нақты мына анықтамамен тұжырымдалады: 

 ??????  =  

??????,      егер ?????? ≥ ?????? болса,

−??????,   егер ?????? < 0 болса.

      

Шындығын айтайын, менің байқауымша, бұл анықтаманың өзін оқушылар дұрыс 

түсіне бермейді. Сондықтан, оның мәнісін нақты мысалдармен көрсетейік. 

№1.   

 ??????  + ??????

     қарапайым есебі берілген делік. Оны шығару үшін алдымен 

модуль белгісін ашу керек, яғни модульден құтылу керек. Модульдің  анықтамасы осы 

жерде көмекке келеді.  

Модульдің ішіндегі санның таңбасы қандай? Оң -   +2. Бұл анықтаманың жоғарғы 

қатарындағы шартқа сәйкес келеді –  

a ≥ 0

 . Онда жоғарғы тармақты пайдаланып, 

модуль таңбасын ашамыз: 

 ??????  = ??????

 ,      яғни санды модуль таңбасынан құтқардық, онда былай жазуға 

болады: 

 ??????  + ?????? = ?????? + ?????? = ?????? 

.     

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 3 бет 

 

Мұнда  атап  айтатыны

  – 

модульден  құтылмай  жатып,  есепті  шығара 

алмаймыз! 

№2.        

 −????????????  + ???????????? = ?

         

Енді  модульдің  ішіндегі  сан  теріс  -    ─26.    Бұл  модуль  анықтамасының  төменгі 

тармағына сәйкес келеді –    

a < 0 . 

 Онда анықтама бойынша былай жазамыз: 

   

 −????????????  =  ─  ─????????????  = ????????????     !!!

       

Теріс санның модулі ОҢ екен! Мұны қалай түсінеміз?! 

Жоғарыда «модуль» сөзі не нәрсенің де өлшемін немесе шамасын білдіреді дедік, 

олай  болса  оң  да,  теріс  те  санның  модулі  олардың  таңбасын  ескермей,  тек  шамасын 

көрсетеді.  

Назар аударыңыз! 

a)

 

Модульдік  есептерді  шығару  үшін  ең  алдымен  модуль  белгісінен  құтылу 

керек!  Ол  үшін  модульдің  ішіндегі  санның  таңбасын  анық  білу  міндетті 

және тек сонда ғана санды модульден құтқара аласыз! 

b)

 

Кез-келген сандардың (теріс сандардың да) модулі  ОҢ  болады.  

 

№3. Ал енді мынадай есеп берілсін: 

 ??????  + ?????? = ? 

        

Алдыңғы  есептерден  ерекшелігі  –  модульдің  ішінде  айнымалы  шама  тұр.  Оның 

бір  қасиеті  -  тұрақты  бір  мәні  жоқ.  Оң  да,  теріс  те  мәндерді  қабылдай  береді. 

Сондықтан,  оны  модульден  құтқару  үшін,  алдымен  қай  жерде  таңбасы  қалай 

өзгеретінін анықтау керек болады.  Яғни айнымалымен берілген модульдік есептерді, 

мысалы, теңдеу және теңсіздіктерді, шығару үшін мына 

жоспармен

 әрекет ету керек: 

1)

 

Модульдің не модульдердің таңба өзгеру аралықтарын анықтау; 

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 4 бет 

 

2)

 

Таңбаларды  пайдаланып,  модульдерді  ашу,  яғни  модуль  белгілерінен 

құтылу; 

3)

 

Алынған модульсіз теңдеу не теңсіздіктерді шешу; 

4)

 

Шешімдерді зерттеп, бөгде шешімдерді шығарып тастау; 

5)

 

Есептің жауабын беру.    

 

Модульдік теңдеулер шешу 

Модульдік теңдеулерді бірнеше бөліктерге бөліп қарастырайық: 

1)

 

Бір модулі бар қарапайым теңдеулерді шешу; 

2)

 

Бірнеше модулі бар теңдеулерді шешу; 

 

Бір модулі бар қарапайым теңдеулерді шешу 

№1-мысал.  Мына теңдеудің шешімдерін табу керек: 

 ?????? + ??????  = ??????

  . 

Теңдеуді бірнеше жолмен шешуге болады. Олардың кейбірін көрейік.  

1.

 

Модульдің анықтамасы бойынша былай деп аламыз: 

         

 ?????? + ?????? ≥ ??????

?????? + ?????? = ??????

          және         ?????? + ?????? ≤ ??????

−(?????? + ??????) = ??????

 

    ,  

Осыдан 

         

  ?????? ≥ −??????

?????? + ?????? = ??????

          және         ?????? ≤ −??????

?????? + ?????? = −??????

 

    ,  

Яғни 

         

 ?????? ≥ −??????

?????? = ??????

          және        ?????? ≤ −??????

?????? = −??????

 

    ,  

 

Теңдеудің шешімдері:         

-3    және   1 

.  

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 5 бет 

 

2.

 

Мұндай  теңдеулерді  теңдіктің  екі  жағын  бір  мезгілде  квадраттау  (екінші 

дәрежесін есептеу) арқылы да шешуге болады:  

 ?????? + ?????? 

??????

= ??????

??????

        

⟹

           

 ?????? + ?????? 

??????

= ??????

??????

         

⟹

      

 

 

   

??????

??????

+ ???????????? − ?????? = ?????? 

    

⟹

       

x

1

 = -3 , x

2

 = 1 . 

 

№2-мысал.

 

 Енді мынадай есеп: 

 

 ??????

??????

+ ???????????? − ??????  = ?????? 

 .     

 

Мұнда  да  бір-ақ  модуль  бар,  бірақ  оны  енді  теңдіктің  екі  жағын  да  квадраттау 

арқылы шешу өте қиын. Тек алғашқы жолымызбен шығарамыз: 

 

 

 ??????

??????

+ ???????????? − ?????? ≥ ??????

??????

??????

+ ???????????? − ?????? = ??????

         ⟹      ??????

??????

+ ???????????? − ?????? ≤ ??????

− ??????

??????

+ ???????????? − ??????  = ??????

      

 

 

 

 ??????

??????

+ ???????????? − ?????? ≥ ??????

??????

??????

+ ???????????? − ?????? = ??????

         ⟹      ??????

??????

+ ???????????? − ?????? ≤ ??????

−??????

??????

− ???????????? − ?????? = ??????

      

 

 

 

  ??????

??????

+ ???????????? − ?????? ≥ ??????

??????

??????

= −?????? , ??????

??????

= ??????.

         ⟹      ??????

??????

+ ???????????? − ?????? ≤ ??????

??????

??????

= −?????? , ??????

??????

= −?????? .

      

 

Мынадай сұрақ тууы мүмкін – «Жүйенің жоғарғы теңсіздіктері не үшін керек? 

Оларды бостан босқа неге қайталап жаза береміз?». 

Бұл өте дұрыс сұрақ. Оған жауап – табылған шешімдерді сол теңсіз-діктермен 

тексеру керек!!! (Әрине, оларды қайталап жаза бермей-ақ қойса да болады, бірақ 

ұмытып кетпеңіз!)  Егер шешімді өз теңсіздігіндегі х-тің орнына қойып есептегенде 

ол  дұрыс  сандық  теңсіздікке  айналса,  ол  ақиқат  шешім  болады.  Ал  теңсіздік  қате 

сандық теңсіздікке келіп тірелсе, шешіміміз жалған немесе бөгде шешім, яғни шешім 

емес  деген  қорытынды  жасаймыз.  Есептің  жауабы  ретінде  тек  ақиқат  шешімдер 

беріледі. 

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 6 бет 

 

Сонымен, біздің теңдеуіміздің төрт шешімі де тексеруден өтті ( 3 ≥ 0 және -3 ≤ 0 

дұрыс сандық теңсіздіктері шықты) , олай болса 

                        

Жауап:       -4 , -2 , -1 , 1 . 

   

 

 

№3-мысал. Модульдік теңдеудің шешімдерін табу керек: 

 

 ??????

??????

+ ??????  = ?????? . 

Бұл  есептің  бір  қызығы    -  модульдің  ішіндегі  өрнек  «х

2

  +  1»    айнымалы  х-тің 

мәндеріне тәуелсіз түрде тек оң таңбалы болатыны көрініп тұр!  Яғни х-тің кез-келген 

мәні үшін  х

2

  +  1  >  0  .  Олай  болса,  модуль  амалының  анықтамасы  бойынша,  модуль 

белгісін ашамыз да, кәдімгі қарапайым теңдеу аламыз: 

x

2

 + 1 = 2      

⟹      x

2

 = 1     

⟹       x = ±1  . 

 

Теңдеудің шешімдері:     

-1

     және    

1

   .   

 

Назар аударыңыз! 

Егер  модульдің  ішіндегі  өрнектің  таңбасы  алдын-ала  анық  белгілі  болып 

тұрса, оны модуль таңбасынан бірден-ақ  шығарып жазу керек! 

 

№4-мысал.

   

Модульдік теңдеуді шешіңіз: 

 

 ??????

??????

− ???????????? − ??????  = −??????  .  

 

Кез-келген санның модулі тек оң болады!!!

   

Яғни ешқандай модуль теріс санға теңесе алмайды! Онда х-тің барлық мәндерінде  

 

 ??????

??????

− ???????????? − ??????  ≠ −??????  . 

 

Бұл бізге берілген теңдеудің ешқандай шешімі болуы мүмкін емес деген сөз.  

        Жауап:         

шешім жоқ

        (немесе   

ø

 - бос жиын). 

 

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 7 бет 

 

№5-мысал. Модульдік теңдеуді шешіңіз: 

 

 ?????? + ??????  = ??????  .  

 

Мұндай  жағдайда  бірден-ақ  модуль  ішіндегі  өрнекті  нөлге  теңестіріп,  шешімді 

таба саламыз: 

               x + 1 = 0       

⟹        x = -1  . 

 

 

Екі не одан көп модулі бар  

теңдеулерді шешу 

Теңдеудің ішіндегі модульдер саны көбейген сайын оны шешу жолы қиындайды 

және ұзара береді. Бұл жағдайда ең сенімді де көрнекі жол  – интервалдар әдісі! О-о, 

бұл әдісті  өте жақсы деңгейде игеріп алсаңыз, математикада қор болмайсыз. Бұл өте 

маңызды да тиімді әдістердің бірі жалпы теңсіздіктерді шешуге де қолданылады, яғни 

әмбебап. Менің бұл әдісті өте ұнату себебім – өте көрнекілігі, яғни барынша визуалды, 

бар  іс-әрекет  көз  алдыңда,  ашық  көріп  отырып  орындайсың.  Есеп  толық  қаламның 

ұшымен шығарылады. «Ойша» немесе «қиялда» дегеннің еш қажеті жоқ. Көрейік. 

 

№6-мысал. Екі модульмен берілген теңдеуді шешіңіз: 

 

               

?????? − ??????  −  ?????? + ??????  = ??????     

 

Бұл  теңдеуді  әлі  де  кәдімгі  квадраттау  тәсілімен  шығаруға  болады.  Модульдің 

бірін теңдіктің оң жағына өткізіп, екі жағын бір мезгілде квадраттаймыз: 

 

 ?????? − ?????? 

??????

=  ?????? + ?????? 

??????

    

⟹     ?????? − ?????? 

??????

=  ?????? + ?????? 

??????

   

 

                 6x = -3     

⟹       x = - 

??????

??????

   

 

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 8 бет 

 

Бірақ  дәл  осы  есепті  интервалдар  әдісімен  шығарып  көрейік.  Ол  үшін  әрбір 

модульдің нөльдік нүктесін тауып, жеке сан осьтеріне саламыз: 

 

x – 1 = 0,    x = 1     және     x + 2 = 0,   x = -2  

 

Бұл нүктелер сан осін интервалдарға, яғни аралықтарға бөледі: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 0  деп алып, модульдердің таңбасын анықтаймыз: 

 

| 0 – 1 | = | -1|       және      | 0 + 2| = |+2|   , 

 

Яғни  бірінші  модульдің  (ішіндегі)  таңба  теріс  те,  екінші  модульдің  таңбасы  оң. 

Бұл нөль жатқан интервалдардың таңбасын береді: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ал көрші интервалдың таңбасы кері болады! 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

1 

-2 

0 

0 

1 

-2 

0 

0 

1 

-2 

0 

0 

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 9 бет 

 

 

Назар салыңыз! 

Ешқашан көрші интервалдардың таңбасы бірдей болмайды!

   

Біз  әрқашан  осы  қағиданы  сақтап,  жолымызды  жеңілдетуге  пайдала-намыз. 

Оның өте пайдалы екенін кейін көреміз. 

 

Енді сан осьтерін нөльдік нүктелерден облыстарға  бөлеміз: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     ( - ∞; -2 ]                      (-2; 1]                                 (1; ∞)     

        1 облыс                    2 облыс                           3 облыс             

 

Әр  облыстағы  таңбаларды  қолданып,  модульдерден  құтыламыз  да,    қарапайым 

теңдеулерді шешеміз. Облыс саны қанша болса, сонша рет теңдеу шешу қажет! 

1 облыста:         

  -x + 1 + x + 2 = 0   3 = 0 

??? әрине

   3 ≠ 0, 

Яғни 1-ші облыста шешім жоқ. 

 

2 облыста: 

-x + 1 – x – 2 = 0      -2x = 1        

?????? = −

??????

??????

 . 

Бұл  сан  теңдеуді  шығарып  отырған  2  облысқа  кіреді,  сондықтан  да  ол  шешім 

болады. 

 

3 облыста: 

x – 1 – x – 2 = 0

      - 3 = 0  ??? бұл да қате  - 3 ≠ 0 , 

яғни бұл облыста да шешім жоқ. 

 

Сонымен, берілген модульдік теңдеудің шешімі біреу-ақ: 

1 

-2 

0 

0 

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 10 бет 

 

Жауап:            

?????? = −

??????

??????

 

 

 

№7 мысал.  Егер былай болса ше: 

 ?????? − ??????  +  ?????? + ??????  = ??????

 

 

Біріншіден, екі модуль де тек оң таңбалы. Онда теңдеудің сол жағы x-тің барлық 

мәндерінде  оң  болатыны  көрініп  тұр.  Сондай-ақ,  x-тің  бір  мәнінде  ішінде  әр  түрлі 

өрнегі  бар  екі  модуль  бір  мезгілде  нөльге  айнала  алмайды.  Шығатын  айқын 

қорытынды: 

 ?????? − ??????  +  ?????? + ??????  ≠ ?????? 

 

 

Жауап:          Шешім жоқ. 

 

№8 мысал.   Модульдік теңдеуді шешу керек: 

 ?????? − ??????  − ?????? =  ?????? − ??????   

Немесе  

 ?????? − ??????  −  ?????? − ??????  = ??????  

Бұл теңдеуді интервалдар әдісімен шешу керек. Ең алдымен модульдердің нөлдік 

нүктелерін табамыз: 

x-5 = 0

   

x = 5

    және   

x - 1 = 0

     

x = 1

  

Осы нүктелер арқылы әр модульге интервалдар саламыз: 

x = 0

   нүктесінде екі модульдің де таңбалары теріс екені көрініп тұр. 

Яғни екі модульде сәйкесінше  

x < 5

  және 

x < 1

  болғанда модульдер теріс таңбалы болады.  

Ал  

x > 5

 және 

x > 1

 болғанда модульдер оң таңбалы болады. 

 

 

 

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 11 бет 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интервалдардың таңбаларын пайдаланып модульдерден құтыламыз да жәй 

теңдеулерді әрбір облыста шешеміз: 

1)

 

  - ∞ < x ≤ 1     - x + 5 + x – 1 = 2     4 = 2 ?     4 ≠ 2  шешім жоқ. 

2)

 

1 < x ≤ 5  - x + 5 – x + 1 = 2  - 2x = - 4   x = 2  шешім! 

3)

 

5 < x < ∞    x – 5 – x + 1 = 2   - 4 = 2 ?   - 4 ≠ 2 шешім жоқ. 

Аңғарыңыз! 

x = 2

 теңдеуді тап сол сәтте шығарып отырған  

1 < x ≤ 5

  облысына кіретін сан 

болғандықтан да шешім болады. Ал табылған сан теңдеуді шығарып отырған аймақта 

жатпайтын да болып шығады, ол кезде оны бөгде не жалған шешім дейміз, яғни 

шешім болмайды.  

Қорытынды -  

модульдік теңдеулерді шешу соңында алынған шешімдерді 

міндетті түрде 

«бөгде»

 шешімдерге тексеру керек!

    

Теңдеуде модульдер саны екіден де көп болса ше? 

Дәл осы интервалдар әдісімен шығарамыз. Тек, модульдер саны қанша болса, сан 

түзулерін де сонша рет бірінің астына бірін салып, барлық модульдердің таңбаларын 

бірге қарастыру керек. Мысалы, теңдеуде үш модуль болса, үш қатар сан түзуі 

олардың таңбаларын анықтап береді. Түрлі таңбалы аймақтар саны көбейеді, есепті 

шешу де соғұрлым созылады. 

 

1 

0 

5 

0 

Модуль 

 

http://kushibaruly.kz 

 12 бет 

 

Модульдік теңсіздіктерді қалай шешу керек?  

Дәл осы интервалдар әдісімен шығарамыз. Тек, модульдердің таңбасын анықтап, 

интервалдарды салған соң дәл солардың астына модульден құтылғаннан кейін пайда 

болған теңсіздіктерді де шешу керек. Оларды да интервалдар әдісімен шешеміз. Сонда 

интервалдар салынған сан түзулері де көбейеді, өйткені модульдердің таңбасын 

анықтайтын интервалдар бір бөлек, кейін теңсіздіктерді шешетін интервалдар 

олардың астына тағы салынады.  

Бұл әдіспен шығарудың бір артықшылығы -  бұл барынша визуалды әдіс, яғни 

әрбір қадамды тікелей көзбен көріп отырып шығарасың, өзіңді-өзің көзбе-көз бақылап 

отырасың, қате кетсе сол жерде жөндеуге мүмкіндік бар. Сондықтан да, бұл өте айқын 

тәсіл.