Ту хабаршысы
жүктеу/скачать 15,98 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Численное моделирование.
- Рис. 2.
- Жылдамдықтар кеңістігінде сыртқы күш бар болған кезде бүртіксымақтыларды диффузия ретінде релаксациялау. Түйіндеме.
- Quasiparticle relaxation in the velocity space as the diffusion due to an external force. Summary
- Key words
- Ключевые слова
- 1. Признак устойчивости диффузии.
- 2. Моделирование диффузии и вычисление коэффициентов.
● Технические науки
№5 2014 Вестник КазНТУ
294
стягивающей частицы к центру – точке пространства скоростей, где все компоненты скорости равны нулю.
Повторяя феноменологический вывод уравнения диффузии в терминах квазичастиц в пространстве скоростей, вместо (3) получим «уравнение диффузии» для функции распределения f(υ):
(5)
где α, β – коэффициенты «диффузии» для квазичастиц, F – внешняя сила,
В пространстве скоростей нет выделенных направлений, следовательно, внешняя сила F зависит только от величины скорости F=F(υ), где
Переписывая уравнение (4) в пространстве скоростей для квазичастиц, где «поток массы» имеет смысл ускорений, помноженных на функцию распределения, получим:
или (6) Равновесная функция распределения молекул известна, не меняется с течением времени и тоже зависит только от величины скорости:
где k, T – постоянная Больцмана и абсолютная температура. Ускорения квазичастиц в равновесии равны нулю. Тогда из (6) получим выражение для внешней силы, стягивающей квазичастицы в пространстве скоростей к нормальному распределению:
(7) (знак минус указывает, что направление силы F всегда противоположно направлению вектора скорости υ.) В прямоугольной системе координат с учетом формулы (7) уравнение (6) для ускорений квазичастиц принимает вид:
(8)
На основе аналогии между диффузией при наличии внешней центральной силы и движением квазичастиц в пространстве скоростей построен алгоритм (алгоритм-диффузия), который тестировался в ходе численных экспериментов для расчета нескольких задач релаксации однородного газа. Алгоритм-диффузия состоит из следующих пунктов: 1. В соответствии с начальными данными задачи выбирался стартовый набор квазичастиц υ i ,
начального момента. Выбирался достаточно малый интервал времени dt.
● Техникалыќ єылымдар
ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014 295
2. По формулам (8) и известным в момент времени dt скоростям квазичастиц вычислялись ускорения квазичастиц в пространстве скоростей и новые скорости каждой частицы (по методу Эйлера или методам Рунге-Кутты), соответствующие моменту времени (t+dt). Дифференцирование функции распределения выполнялось по формулам численного дифференцирования с помощью интерполяционных полиномов. При выполнении этой операции импульс и энергия системы сохраняются неточно. Для компенсации избытка энергии применялось сжатие всего пространства скоростей, а для компенсации импульса – сдвиг. Избыток энергии и отклонение импульса системы от нуля пропорциональны шагу по времени dt. 3. Для момента времени (t+dt) по формуле (2) восстанавливалась функция распределения.
Для проверки работы алгоритма-диффузии решалась задача трехмерной релаксации двух встречных молекулярных слаборасходящихся пучков одинаковой плотности. Алгоритм тестировался при условии постоянной частоты столкновений молекул (максвелловские молекулы), что дает возможность сравнить расчетные моменты функции распределения с их точными значениями, полученными из уравнения Больцмана. Начальное распределение частиц в каждом пучке предполагалось нормальным со средними скоростями ±1.0 и стандартным отклонением κ = 0.1; в каждом пучке было задействовано по 50 квазичастиц (Рис. 1, 2). На рис. 3 представлены функции распределения системы в различные моменты времени: функции распределения постепенно приближаются к равновесному распределению.
Рис. 1. Положения квазичастиц в пространстве скоростей: в начальный момент (слева) и в конечный момент (справа)
Рис. 2. Траектории квазичастиц в пространстве скоростей в процессе релаксации
● Технические науки
№5 2014 Вестник КазНТУ
296
Рис. 3. Функция распределения f(υ x ) (слева) и f(υ у ) (справа) в моменты времени: 0.0, 1.0, 2.0, 3.0, …
В ходе моделирования строились графики зависимости от времени безразмерных моментов функции распределения. На рисунке 4 показаны графики известных точных безразмерных вторых и четвертого моментов функции распределения и их приближенные значения в системе единиц <υ 2 >=1, ν = 1. Сравнив точные значения с численным экспериментом, находим параметр диффузии: α ≈ 1/2π. Тестовые вычисления показали замечательное совпадение графиков зависимости от времени расчетных и точных вторых моментов функции распределения, даже если задействовано малое количество квазичастиц. На рисунке 4 точные значения показаны сплошной линией, а расчетные – пунктиром; но из-за практически точного совпадения, пунктир почти не просматривается. Расхождения между точным и расчетным значениями четвертого момента уменьшаются при уменьшении временного шага dt .
Рис. 4. Графики зависимости от времени безразмерных моментов функции распределения: (а) второго момента <υ 2 х>; (б) второго момента <υ 2 у>; (в) четвертого момента <υ 4 >.
Сплошная линия – точный момент, пунктир – расчетный
В статье изучались возможности для моделирования, которые дает аналогия между движением квазичастиц в пространстве скоростей и диффузией вещества под действием внешней центральной силы. Эта аналогия позволяет трактовать кинетическую силу как аналог суммы двух сил: «силы давления», стремящейся разбросать квазичастицы по всему пространству скоростей, и «внешней силы», стягивающей частицы к центру. На основе этого подхода был разработан алгоритм (алгоритм-диффузия), работоспособность которого подтвердили численные эксперименты. Преимуществом алгоритма-диффузии по сравнению с другими алгоритмами метода кинетической силы является исключительная быстрота счета, т.к. количество вычислений в нем пропорционально количеству квазичастиц N (в других алгоритмах – N
), и сами расчетные формулы очень просты. С другой стороны, алгоритм-диффузия не гарантирует автоматическое выполнение законов сохранения и нуждается в корректирующих поправках на каждом шаге.
● Техникалыќ єылымдар
ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014 297
ЛИТЕРАТУРА 1. Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. — Oxford: Oxford University Press, 1994. — 459 р. 2. Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики. — М., Наука, 1973. — 424 с. 3. Saveliev V.L., Nanbu K. Collision group and renormalization of the Boltzmann collision integral // Phys. Rev. — 2002, E — V. 65, 051205. 4. Saveliev V.L., Filko S.A. Kinetic force method for numerical modeling 3D relaxation in homogeneous rarefied gas // AIP Conf. Proc. 1084. Proceedings of the 26th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. – Kyoto, Japan, 2008. – P. 513-518. 5. Saveliev V.L., Filko S.A., Tomarikawa K., Yonemura S. Kinetic Force Method for Rarefied Gas flows // Proceedings of the 9th International Symposium on Advanced Fluid Information and Transdisciplinary Fluid Integration. – Sendai, Japan, 2009. – P. 104-105. 6. Филько С.А. Метод численного решения уравнения Больцмана с дивергентной формой интеграла столкновений для трехмерных задач атмосферной динамики: диссертация канд. физ.-мат. наук: 25.00.29: защищена 27.03.09: утверждена 22.06.09. – АО «Национальный центр космических исследований и технологий», Алматы, 2009. – 132 с. 7. Saveliev V.L. Kinetic Equation for Two-Particle Distribution Function in Boltzmann Gas Mixtures and Equation of Motion for Quasiparticle Pairs // AIP Conf. Proc. 1333. Proceedings of the 27th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. – Pacific Grove, USA, 2010. – P. 134-139. 8. Saveliev V.L., Filko S.A., Tomarikawa K., Yonemura S. Kinetic Force Method with Quasiparticle Pairs for Numerical Modeling 3D Rarefied Gas Flows // AIP Conf. Proc. 1333. Proceedings of the 27th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. – Pacific Grove, USA, 2010. – P. 974-979. 9. Saveliev V.L., Filko S.A., Yonemura S. A View On Kinetic Force Method From Two-Particle Kinetic Equation // Proceedings of the 13th International symposium on Advanced Fluid Information. – Sendai, Japan, 2013. – P. 160-161. 10. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. – М., Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – С. 312-318. 11. Бекман И.Н. Математический аппарат диффузии. Методы решений диффузионных уравнений. Учебное пособие. – М.: Изд. МГУ им. Ломоносова,1990. –150 c.
REFERENCES 1. Bird G.A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. – Oxford: Oxford University Press, 1994. – 459 р. 2. Anselm А.I. Fundamentals of statistical physics and thermodynamics. – М., Nauka, 1973. – 424 p. 3. Saveliev V.L., Nanbu K. Collision group and renormalization of the Boltzmann collision integral // Phys. Rev. – 2002, E – V. 65, 051205. 12. Saveliev V.L., Filko S.A. Kinetic force method for numerical modeling 3D relaxation in homogeneous rarefied gas // AIP Conf. Proc. 1084. Proceedings of the 26th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. – Kyoto, Japan, 2008. – P. 513-518. 13. Saveliev V.L., Filko S.A., Tomarikawa K., Yonemura S. Kinetic Force Method for Rarefied Gas flows // Proceedings of the 9th International Symposium on Advanced Fluid Information and Transdisciplinary Fluid Integration. – Sendai, Japan, 2009. – P. 104-105. 6. Filko S.A. The method of numerical solution of the Boltzmann's kinetic equation with the divergence form of the collision integral for three-dimensional problems of atmosphere’s dynamics: the dissertation on competition of a scientific degree of the Candidate of physical and mathematical sciences: 25.00.29: presented 27.03.09: approved 22.06.09. – « National Center for Space Researches and Technologies», Almaty, 2009. – 132 р. 7. Saveliev V.L. Kinetic Equation for Two-Particle Distribution Function in Boltzmann Gas Mixtures and Equation of Motion for Quasiparticle Pairs // AIP Conf. Proc. 1333. Proceedings of the 27th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. – Pacific Grove, USA, 2010. – P. 134-139. 8. Saveliev V.L., Filko S.A., Tomarikawa K., Yonemura S. Kinetic Force Method with Quasiparticle Pairs for Numerical Modeling 3D Rarefied Gas Flows // AIP Conf. Proc. 1333. Proceedings of the 27th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. – Pacific Grove, USA, 2010. – P. 974-979. 9. Saveliev V.L., Filko S.A., Yonemura S. A View On Kinetic Force Method From Two-Particle Kinetic Equation // Proceedings of the 13th International symposium on Advanced Fluid Information. – Sendai, Japan, 2013. – P. 160-161. 10. Zeldovich A.B., Myshkis А.D. Elements of Mathematical Physics. –M., Nauka., 1973. – P.312-318. 11. Bekman I.N. The mathematical apparatus of the diffusion. Methods of solutions of diffusion equations. Study Guide. – Moscow: МSU press,1990. – 150 р.
● Технические науки
№5 2014 Вестник КазНТУ
298
Филько С.А. Жылдамдықтар кеңістігінде сыртқы күш бар болған кезде бүртіксымақтыларды диффузия ретінде релаксациялау. Түйіндеме. Мақалада сыртқы орталық күштің əсерімен жылдамдықтар кеңістігінде жəне заттардың араласуында квазибөлшектер қозғалысы арасындағы ұқсастық негізінде кинетикалық күш əдісіндегі газдың релаксациясын үлгілеу мүмкіндігі зерделенген. Квазибөлшектерды жеделдетуге арналған есептеу формулалары алынды, біртекті газды релаксациялаудың тестілік есептеулері орындалып, олар осы тəсілдің жұмыс істеу қабілетін растады.
: Кинетикалық күш əдісі, квазибөлшектер, диффузия
Filko S.A. Quasiparticle relaxation in the velocity space as the diffusion due to an external force. Summary . In the article, the new possibility of simulation of the gas relaxation in the Kinetic Force Method is investigated. It is based on the analogy between the motion of quasiparticles in the velocity space and the diffusion of the substance under the action of an external central force. Calculation formulas for the acceleration of the quasiparticles are obtained. Test calculations of the relaxation of homogeneous gas are performed; they have confirmed the efficiency of this approach. Key words: Kinetic Force Method, quasiparticles, diffusion.
С.А. Филько 1 , И.Н. Филько 2 , А.Е. Абденбаева 2 ( 1 Жетысуский государственный университет им. И.Жансугурова, г. Талдыкорган 2 Международный университет информационных технологий, Алматы, Республика Казахстан) УСТОЙЧИВОСТЬ САМОДИФФУЗИИ ГЕЛИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И РАЗНОСТИ ТЕМПЕРАТУР
В статье коэффициент самодиффузии в газе вычисляется двумя способами: через соотношение Эйнштейна и по формулам кинетической теории. Совпадение коэффициентов рассматривается как признак устойчивой диффузии. Методом DSMC вычислены коэффициенты самодиффузии гелия, ограниченного горизонтальными пластинами с разными температурами в поле тяжести. Показано, что только при достаточно большом значении числа Кнудсена тепловое движение частиц преобладает над конвективным.
: коэффициент диффузии, устойчивость диффузии, соотношение Эйнштейна, конвекция.
В основе явления диффузии в газах лежит механизм перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом. Процесс диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика:
согласно которому плотность потока вещества j m пропорциональна коэффициенту диффузии D x и
градиенту концентрации ∂n/∂x. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания концентрации. Этот закон подразумевает, что нет никаких внешних воздействия на жидкость или газ, способных привести к перемешиванию, и что выравнивание концентраций происходит только благодаря тепловому движению молекул. В экспериментальных измерениях коэффициентов диффузии необходимым условием корректности является отсутствие конвекции, быстро выравнивающей концентрацию. На интенсивность конвективного переноса влияют как термодинамические, так и геометрические параметры системы [1, 2], которые приводят к систематическим погрешностям измерений и могут непредсказуемо исказить результат измерений. В данной работе в ходе численных экспериментов изучается влияние на устойчивость самодиффузии газа геометрических факторов, описываемых числом Кнудсена Kn. Для примера рассматривается тонкий слой гелия, заключенный между двумя бесконечными параллельными горизонтальными диффузно отражающими пластинами, расположенными на расстоянии h друг от друга. Соответствующее число Кнудсена равно Kn = λ/h, где λ – средняя длина свободного пробега. ● Техникалыќ єылымдар
ЌазЎТУ хабаршысы №5 2014 299
Как в задаче Рэлея - Бенара, действует сила тяжести, и поддерживается постоянная разность температур между пластинами. В начальный момент предполагается линейное распределение температуры гелия, давление нормальное.
Изучить зависимость устойчивости самодиффузии гелия от числа Кнудсена при наличии силы тяжести и разности температур. Указать значения Kn, для которых тепловое хаотичное движение молекул преобладает над конвективным. 1. Признак устойчивости диффузии. Известны два подхода к расчету коэффициента диффузии: соотношение Эйнштейна и кинетическая теория. Согласно соотношению Эйнштейна для подвижности частиц в некотором направлении x коэффициент диффузии равен [3, 4]: D х =<∆x 2
когда t >> τ, где скобки <…> обозначают статистическое усреднение, ∆x – это смещение в течение интервала времени t, и τ – среднее время между столкновениями. С другой стороны, в кинетической теории получена формула для коэффициента диффузии [5]: D k = ⅓ λ=<υ>, (2)
где
– средняя арифметическая скорость теплового движения молекул, m – масса одной молекулы, k, T – постоянная Больцмана и термодинамическая температура,
– средняя длина свободного пробега, σ – эффективное сечение взаимодействия молекул. Значения коэффициентов диффузии, найденные по формулам (1) и (2) не всегда совпадают, следовательно, процесс переноса не всегда обуславливается только тепловым движенияем молекул. Поэтому совпадение коэффициентов (1) и (2) может служить признаком устойчивости диффузии и отсутствием конвекции. Положим, что температуры верхней и нижней пластин равны 310 K и 300 K соответственно. В начальный момент предполагается линейное распределение температуры гелия; его концентрация 2.42 × 10 25 м -3 , давление нормальное. Полагая σ
-19
м 2 , <υ>= 1256 м/с, получим длину свободного пробега атомов гелия в условиях рассматриваемой задачи λ ≈ 2.34 × 10 -7 м. Тогда коэффициент диффузии согласно кинетической теории равен: D k ≈
9.81 × 10 -5 м 2 /с. 2. Моделирование диффузии и вычисление коэффициентов. Направим оси x и y вдоль пластин, ось z – перпендикулярно им. Вычислим коэффициенты диффузии D
, D y соответствующие различным значениям Kn. Движение i-го атома определяется двумя силами: силой ударов о встречные атомы F 1,i и внешней силой тяжести F 2,i :
Здесь «штрих» обозначает скорость атома после столкновения. Столкновение пары атомов удобно моделировать по методу DSMC с помощью величины их относительной скорости υ r и
параметризации двумя случайными числами r и θ, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π [6, 7]. В условиях рассматриваемой задачи получим:
● Технические науки
№5 2014 Вестник КазНТУ
300
где υ s – скорость одного из окружающих атомов, налетающего на данный атом, g – ускорение свободного падения. По формулам (3) моделировались смещения атомов, затем после усреднения по формуле (1) вычислялись коэффициенты диффузии D
и D y для двух значений расстояния между пластинками h =10λ и h =1000λ. Смещения молекул в направлениях x и y не ограничивались. Размеры вычислительной ячейки и шага по времени были выбраны 0.2λ и 0.2τ соответственно. Полное число атомов гелия, задействованных в моделировании, равнялось 20 000. На рис. 1 представлены графики зависимости безразмерных коэффициентов диффузии d x =D x /D k
и d y =D y /D k от безразмерного времени t/τ в направлениях осей x и y. Если h =10λ и Kn = 0.1 оба коэффициента близки к единице, и, следовательно, они хорошо согласуются с кинетической теорией. Если расстояние между пластинками увеличить до h =1000λ, Kn = 0.001, то коэффициенты d x и d y
будут значительно отличаться от единицы; кроме того, они хаотично меняются с течением времени.
жүктеу/скачать 15,98 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|