Теория и методика обучения математике
жүктеу/скачать 5,92 Mb. Pdf көрінісі
|
82781 45b9f85fc5d0cd5ac77346b82675f3ef
| Ь,
Ь > с, следовательно, а > с” или ((а < Ь), (Ъ < с)) -> (а < с). Этому ж е классу принадлеж ит и умозаклю чение равенства ((х = у ), ( у = г)) —> (х = г), содерж ащ ее только суж дения об отнош ении равенства и вы раж аю щ ее свойство тр ан зи ти в ности, а такж е умозаклю чение со степенями отнош ений, вы раж аем ое формулой (( аКЬ ), ( ЬКс )) -» ( а В пс ). Н апример, а = 2Ъ и Ъ = 2с, следовательно, а = 4с. Если умозаклю чение делается в результате одного су ж дения, то оно назы вается прост ы м , а на основе двух — с и л логизмом. Истинность вывода в умозаклю чении зависит от истинности посылок и правильности прим енения законов м ы ш ления в процессе логического действия с посы лкам и, как: тождества, противоположности, исклю чения третьего и достаточного основания. П ервый закон, или закон тож дества, требует н али чи я однозначного соответствия меж ду понятием и его м атем а тическим термином, или символом. Закон противополож ности показы вает принадлеж ность или непринадлеж ность о б ъ е к та к одном у к л ассу по о п р ед ел ен н о м у свой ству. Поэтому истинны м явл яется одно из двух предлож ений, например: “Число п явл яется иррациональны м числом ” и “Число я явл яется рациональны м числом ” ; “П рям оуголь ник явл яется п араллелограм м ом ” и “П рям оугольн ик не явл яется параллелограм м ом ” ; “П араллелограм м , у кото рого ди агон али п ер п ен д и ку л яр н ы , я в л я е т с я ромбом” и “П араллелограм м , у которого диагонали п ерп ен д и куляр ны, не явл яется ромбом”; “у = созх — четная ф у н к ц и я ” и “у = созх — нечетная ф у н к ц и я ” . Закон противополож ности используется в у м озаклю чениях и доказательстве теорем от противного. Суть закона — исклю чение третьего — заклю чается в следующем: рассм атриваем ы й объект обладает или не об ладает каким -нибудь свойством, третьего не дано. Н ап ри мер, рассм атривая натуральны е числа, можно говорить об 131 их четности или нечетности, а третьего случая не может быть. Н а плоскости прям ы е либо пересекаю тся, либо не пересекаю тся; треугольник можно различи ть по прямому углу: прямоугольный треугольник или не прямоугольный. З ак о н достаточного о сн ован и я о зн ач ает, что и сти н ность к аж д о го утверж д ен н ого у м о зак л ю ч ен и я д о л ж н а быть обоснованной. Обоснование — это убеж денность в правильности отраж ения объективной действительности. Достаточное обоснование, во-вторых, опираясь на ранее доказанны е утверж дения, делает вывод об истинности но вого ум озаклю чения. П рям ы е ум озаклю чения в ш кольном курсе математики использую тся для получения п рям ы х, обратных, противо п олож ны х теорем и обратных к противополож ны м теоре мам. Н априм ер, необходимо определить, делится ли число 37 845 на 9. Д ля этого вспомним свойство делимости н а турального числа на 9. “Если сумма циф р натурального числа будет кратной числу 9, то оно делится на 9, сумма цифр числа 37 845 составляет число 27, кратное 9, следова тельно, это число делится на 9”. Умозаключение, сделанное на основе такого вида суж дения, назы вается дедукт ивны м ум озаклю чением. В процессе дедуктивного ум озаклю чения конкретны е ф ак ты п о д во д ятся под общ ие п р а в и л а , от этих общ их правил выводится заклю чение относительно конкретны х ф а к то в . Лю бое д ед у к ти в н о е у м о зак л ю ч ен и е я в л я е т с я следствием, по меньшей мере, двух утверждений. Если при дедуктивном умозаклю чении посы лки будут достоверны ми, соблюдаться логические правила, то следствие будет п р ави л ьн ы м . С труктура дедуктивного ум озаклю чен и я, обязательность соблюдения логических правил и необходи мость, подталкиваю щ ая к выводу заклю чений с опорой на посы лки, зависят от рода, его видов и особенностей между предметами и явлениям и реальной действительности, от нош ения общего к частному. Все свойства, п р и зн ак и и ли особенности, п ри н адле ж ащ и е каком у-либо родовому понятию , являю тся п ри сущ ими всем видовым отличиям и каж дом у из них, при н ад л еж ащ и х этому родовому поняти ю . Н априм ер, все 132 |