Теория и методика обучения математике

1) тезис (суждение, истинность которого надо доказать);
2) аргум енты (истинные суж дения, используемы е при 
доказательстве тезиса);
3) д ем о н стр ац и я, или форма д о к азател ьства (способ 
логической связи м еж ду тезисом и аргументами).
В качестве аргументов выступают:
• удостоверенны е единичны е ф акты (статистические 
данны е, свидетельские п о к азан и я, результаты эксп ери ­
мента или наблю дения и др.), играю щ ие доказательную
роль, при анализе их в совокупности, относящ ейся к рас­
см атриваемому вопросу;
• о п р ед ел ен и е п о н я т и й , к о то р ы е д аю тся в к а ж д о й
науке;
• аксиомы (суж дения, которые принимаю тся в качестве 
аргументов без доказательства) и постулаты (суж дения, 
п р и н и м аем ы е в р а м к а х как о й -л и б о н аучн ой теории за 
истинны е, хотя и недоказуемые ее средствами и поэтому 
играю щ ие в ней роль аксиом);
• законы науки (необходимые, сущ ественные, устойчи­
вые, повторяю щ иеся отнош ения, связи между явлениям и) 
и теоремы.
П ри доказательстве необходимо соблюдать следующие 
правила доказательного рассуж дения:
1) тезис долж ен быть логически определенным, ясны м , 
точным и оставаться тождественным на протяж ении всего 
доказательства или опроверж ения;
2) аргум енты долж н ы быть и стинны м и, не противо­
речащ им и друг другу и являться достаточным основанием 
для подтверж дения тезиса;
3) истинность аргум ентов долж н а быть д о казан а са­
мостоятельно, независимо от тезиса;
4) необходимо, чтобы тезис был заклю чением , л о ги ­
чески следую щ им из аргументов по общим правилам умо­
заклю чений, или был бы получен в соответствии с прави­
лами косвенного доказательства (т.е. доказательство долж ­
но быть полным).
Если эти п р ав и л а н аруш аю тся, то в до казател ьстве 
или опроверж ении возникаю т логические ош ибки.
Все доказательства можно разделить на прямы е и кос­
венные.
134

При 
прямом
доказательстве задача состоит в том, чтобы 
поды скать таки е убедительные аргументы, из которы х, по 
логическим правилам , получается тезис.
Н апример, нуж но доказать, что сумма углов четы рех­
угольника равна 360°. Из к а к и х утверж дений можно было 
бы вы вести этот тезис? О тмечаем, что д и агон аль делит 
четы рехугольник на два треугольника. Значит, сумма его 
углов равна сумме углов двух треугольников. И звестно, 
что сумма углов тр еу го л ьн и ка составляет 180°. Из этих 
полож ений выводим, что сумма углов четы рехугольника 
равна 360°.
Косвенное
д оказательство у стан авл и вает сп р авед л и ­
вость тезиса тем, что вскры вает ошибочность противопо­
лож ного ему допущ ения, антитезиса.
П оскольку косвенное доказательство использует о т­
рицание доказываемого п олож ения, оно явл яется 
доказа­
тельством от противного.
Н апример, нуж но построить косвенное доказательство 
весьма тривиального тезиса: “Квадрат не явл яется о к р у ж ­
ностью ” . В ы двигается антитезис: “К вадрат есть о к р у ж ­
ность” . Нетрудно п оказать лож ность этого утверж дения. 
С этой целью вы водят из него следствия. Если хо тя бы 
одно из них о каж ется лож ны м , это будет означать, что и 
само утверж дение, из которого выведено следствие, так ж е 
лож но. Н еверным явл яется, в частности, такое следствие: 
“У квадрата нет углов” . П оскольку антитезис лож ен, зн а­
чит тезис долж ен быть истинны м .
В споре при умелом применении такие доказательства 
могут обладать особенной убедительностью.
В зависимости от того, к а к стремятся показать состоя­
тельность его отри ц ан и я, можно выделить несколько р а з­
новидностей косвенного доказательства.
1. 
Следст вия, противоречащие фактам.
Ч ащ е всего 
лож ность антитезиса удается установить простым сопос­
тавлением вы текаю щ их из него следствий с ф актам и. Н а­
пример, врач, убеж дая пациента, что тот не болеет гри п ­
пом, рассуждает так. Если бы это действительно был грипп, 
то были бы х ар ак те р н ы е д л я него сим птом ы : головн ая 
боль, повыш енная температура и т. п. Но ничего подобного 
нет. Значит, нет и гриппа.
135

2. 
В н у т р е н н е противоречивые следствия.
По логиче­
скому закону непротиворечивости, одно из двух противо­
р е ч а щ и х д р у г д р у гу у т в е р ж д е н и й я в л я е т с я л о ж н ы м . 
Поэтому, если в числе следствий какого-либо полож ения 
встретились и утверж дение, и отрицание (одного и того 
ж е), можно сразу ж е заклю чить, что это положение ложно.
П римером такого рассуж дения служ и т известное до­
казательство Е вклида, что ряд простых чисел бесконечен. 
П ростые — это натуральны е числа больше единицы , д ел я ­
щ иеся только на себя и на единицу. Простые числа — это 
к а к бы первичны е элементы, на которые все целые числа 
(больш е 1) могут быть р азлож ен ы . Естественно предпо­
лож и ть, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... — бес­
конечен. Д ля доказательства данного тезиса допустим, что 
это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущ ение. 
Если ряд просты х чисел конечен, сущ ествует последнее 
простое число р яд а — 
А.
Образуем далее другое число: 
В =
(2*3*5* ... 
*А)
+ 1. Число 
В
больше 
А,
поэтому 
В
не 
может быть простым числом. Значит, 
В
долж но делиться 
на простое число. Но если 
В

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: